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Ecuación de las rectas notables de un triángulo

Aprenderás a calcular la ecuación de rectas notables del triángulo.


Mediatrices

Ya sabemos que la mediatriz de un segmento es la recta que pasa por su punto medio y además es perpendicular al mismo.


Ejemplo 5

Un triángulo tiene sus vértices en los puntos A(0,-3), B(3,2) y C(-1,1). Encuentra la mediatriz del lado \overline{AB}.

Sabemos que la mediatriz pasa por el punto medio del lado \overline{AB}. Por eso necesitamos conocer la pendiente de ese lado:

    \begin{equation*}    m_{AB} = \frac{2 - (-3)}{3 - 0} = \frac{5}{3} \end{equation*}

La pendiente de la mediatriz, por ser perpendicular al lado \overline{AB} es:

    \begin{equation*}    m_{\perp AB} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{\left(\frac{5}{3}\right)} = -\frac{3}{5} \end{equation*}

Ya conocemos la pendiente de la mediatriz, pero necesitamos conocer, además, un punto por el cual pase. Ese punto es el punto medio del lado \overline{AB}:

     \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    \bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2}{2}\\    \bar{x} &=& \frac{0 + 3}{2}\\    \bar{x} &=& \frac{3}{2} \end{eqnarray*} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    \bar{y} &=& \frac{y_1 + y_2}{2}\\    \bar{y} &=& \frac{-3 + 2}{2}\\    \bar{y} &=& -\frac{1}{2} \end{eqnarray*} \end{minipage}

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Ahora podemos calcular la ecuación de esta altura:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - \frac{1}{2} &=& \left(-\frac{3}{5}\right)\,\left(x - \frac{3}{2}\right)\\    5\,\left(y - \frac{1}{2}\right) &=& -3,\left(x - \frac{3}{2}\right)\\    5\,y - \frac{5}{2} &=& -3\,x + \frac{9}{2}\\    3\,x + 5\,y - 7 &=& 0 \end{eqnarray*}

Esta es la ecuación de la mediatriz del lado \overline{AB}.



Ejemplo 6

Un triángulo tiene sus vértices en los puntos A(1,-2), B(3,6) y C(-2,1). Encuentra las ecuaciones de las mediatrices de todos sus lados.

De nuevo, iniciamos en orden alfabético.

  • Mediatriz del lado \overline{AB}

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Calculamos la pendiente del lado \overline{AB}:

    \begin{equation*}    m = \frac{6 - (-2)}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4 \end{equation*}

La pendiente de la mediatriz la calculamos con la condición de perpendicularidad:

    \begin{equation*}    m_{\perp AB} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{4} \end{equation*}

Conocemos una condición. (La pendiente de la mediatriz) Falta la segunda: un punto por donde debe pasar la mediatriz. Calculamos el punto medio de ese mismo lado:

     \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*} \bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2}{2}\\ \bar{x} &=& \frac{1+3}{2}\\ \bar{x} &=& 2 \end{eqnarray*} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*} \bar{y} &=& \frac{y_1 + y_2}{2}\\ \bar{y} &=& \frac{-2+6}{2}\\ \bar{y} &=& 2 \end{eqnarray*} \end{minipage}

Ahora calculamos la ecuación de la recta con la forma punto-pendiente:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 2 &=& \left(-\frac{1}{4}\right)\,(x - 2)\\    4\,(y - 2) &=& -(x - 2)\\    4\,y - 8 &=& -x + 2\\    x + 4\,y - 10 &=& 0 \end{eqnarray*}

  • Mediatriz del lado \overline{BC}

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Calculamos el valor de la pendiente del lado \overline{BC}:

    \begin{equation*}    m = \frac{1 - 6}{-2 -3} = \frac{-5}{-5} = 1 \end{equation*}

La pendiente de la mediatriz de este lado debe ser -1. Ahora calculamos las coordenadas del punto medio de ese lado.

     \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    \bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2}{2}\\    \bar{x} &=& \frac{3-2}{2}\\    \bar{x} &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray*} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    \bar{y} &=& \frac{y_1 + y_2}{2}\\    \bar{y} &=& \frac{6+1}{2}\\    \bar{y} &=& \frac{7}{2} \end{eqnarray*} \end{minipage}

Ahora podemos calcular la ecuación de la mediatriz de ese lado:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - \frac{7}{2} &=& (-1)\,\left(x - \frac{1}{2}\right)\\    y - \frac{7}{2} &=& -x + \frac{1}{2}\\    2\,y - 7 &=& -2\,x + 1\\    2\,x + 2\,y - 8 &=& 0\\    x + y - 4 &=& 0 \end{eqnarray*}

  • Mediatriz del lado \overline{AC}

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Empezamos calculando la pendiente de este lado:

    \begin{equation*}    m = \frac{1- (-2)}{-2 - 1} = \frac{3}{-3} = -1 \end{equation*}

La pendiente de la mediatriz de este lado es: 1. Ahora calculamos el punto medio de este lado:

     \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*} \bar{x} &=& \frac{x_1 + x_2}{2}\\ \bar{x} &=& \frac{-2+1}{2}\\ \bar{x} &=& -\frac{1}{2} \end{eqnarray*} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*} \bar{y} &=& \frac{y_1 + y_2}{2}\\ \bar{y} &=& \frac{-2+1}{2}\\ \bar{y} &=& -\frac{1}{2} \end{eqnarray*} \end{minipage}

Finalmente, calculamos la ecuación de la mediatriz con los datos que acabamos de encontrar:

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - \left(-\frac{1}{2}\right) &=& (1)\,\left(x - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)\\    y + \frac{1}{2} &=& x + \frac{1}{2}\\    y &=& x \end{eqnarray*}



Reto

Verifica que las tres mediatrices del triángulo del ejemplo anterior se cortan en un solo punto.


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