Ecuación de las rectas notables de un triángulo

Alturas

Debes recordar que una altura es la recta que es perpendicular a un lado del triángulo y que pasa por el vértice opuesto al lado considerado.

Ejemplo 3

Un triángulo tiene sus vértices en los puntos $A(-1,3)$ , $B(-3,-1)$ y $C(3,1)$ . Calcula la ecuación de la altura del triángulo que pasa por el vértice $A$ .

Dado que la altura es perpendicular a la base, tenemos que encontrar la pendiente de la base y podremos entonces calcular la pendiente de la altura con la condición de perpendicularidad.

En este caso, las base es el lado $\overline{BC}$ . Calculamos su pendiente:

$\begin{equation*} m_{BC} = \frac{1 - (-1)}{3 - (-3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{equation*}$

La pendiente de la altura es igual al recíproco de signo cambiado de la pendiente del lado $\overline{BC}$ :

$\begin{equation*} m_{\perp BC} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)} = -3 \end{equation*}$

Ahora podemos calcular la ecuación de la recta, porque sabemos que pasa por el punto $A(-1,3)$ y tiene pendiente $m = 3$ .

$\begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 3 &=& -3\,(x - (-1))\\ y - 3 &=& -3\,x - 3\\ 3\,x + y &=& 0 \end{eqnarray*}$

Ahora vamos a calcular las ecuaciones de las tres alturas de un triángulo.

Ejemplo 4

Un triángulo tiene sus vértices en los puntos $A(3,2)$ , $B(-3,0)$ y $C(2,-3)$ . Calcula las ecuaciones de cada una de sus alturas.

Iniciamos calculando en el orden alfabético. Primero calculamos la ecuación de la altura que pasa por el punto $A(3,2)$

y es perpendicular al lado $\overline{BC}$

Altura que pasa por el punto $A(3,2)$ }

Calculamos la pendiente del lado $\overline{BC}$

$\begin{equation*} m_{BC} = \frac{-3-0}{2-(-3)} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5} \end{equation*}$

La pendiente de la altura es el recíproco de signo cambiado, porque es perpendicular al lado $\overline{BC}$ :

$\begin{equation*} m_{h_A} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{\left(-\frac{3}{5}\right)} = \frac{5}{3} \end{equation*}$

Ahora podemos calcular la ecuación de esa altura, porque ya conocemos su pendiente y un punto por el cual pasa:

$\begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 2 &=& \left(\frac{5}{3}\right)\,(x - 3)\\ 3\,(y - 2) &=& 5\,(x - 3)\\ 3\,y - 6 &=& 5\,x - 15\\ -5\,x + 3\,y + 9 &=& 0 \end{eqnarray*}$