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Ecuación de las rectas notables de un triángulo

Aprenderás a calcular la ecuación de rectas notables del triángulo.


Alturas

Debes recordar que una altura es la recta que es perpendicular a un lado del triángulo y que pasa por el vértice opuesto al lado considerado.


Ejemplo 3

Un triángulo tiene sus vértices en los puntos A(-1,3), B(-3,-1) y C(3,1). Calcula la ecuación de la altura del triángulo que pasa por el vértice A.

Dado que la altura es perpendicular a la base, tenemos que encontrar la pendiente de la base y podremos entonces calcular la pendiente de la altura con la condición de perpendicularidad.

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En este caso, las base es el lado \overline{BC}. Calculamos su pendiente:

    \begin{equation*}    m_{BC} = \frac{1 - (-1)}{3 - (-3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{equation*}

La pendiente de la altura es igual al recíproco de signo cambiado de la pendiente del lado \overline{BC}:

    \begin{equation*}    m_{\perp BC} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)} = -3 \end{equation*}

Ahora podemos calcular la ecuación de la recta, porque sabemos que pasa por el punto A(-1,3) y tiene pendiente m = 3.

    \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 3 &=& -3\,(x - (-1))\\    y - 3 &=& -3\,x - 3\\    3\,x + y &=& 0 \end{eqnarray*}


Ahora vamos a calcular las ecuaciones de las tres alturas de un triángulo.


Ejemplo 4

Un triángulo tiene sus vértices en los puntos A(3,2), B(-3,0) y C(2,-3). Calcula las ecuaciones de cada una de sus alturas.

Iniciamos calculando en el orden alfabético. Primero calculamos la ecuación de la altura que pasa por el punto A(3,2) y es perpendicular al lado \overline{BC}.

  • Altura que pasa por el punto A(3,2)}
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    Calculamos la pendiente del lado \overline{BC}

        \begin{equation*}    m_{BC} = \frac{-3-0}{2-(-3)} = \frac{-3}{5} = -\frac{3}{5} \end{equation*}

    La pendiente de la altura es el recíproco de signo cambiado, porque es perpendicular al lado \overline{BC}:

        \begin{equation*}    m_{h_A} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{\left(-\frac{3}{5}\right)} = \frac{5}{3} \end{equation*}

    Ahora podemos calcular la ecuación de esa altura, porque ya conocemos su pendiente y un punto por el cual pasa:

        \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 2 &=& \left(\frac{5}{3}\right)\,(x - 3)\\    3\,(y - 2) &=& 5\,(x - 3)\\    3\,y - 6 &=& 5\,x - 15\\    -5\,x + 3\,y + 9 &=& 0 \end{eqnarray*}

    Entonces, la ecuación de la altura es: 5\,x - 3\,y - 9  = 0. Vamos con el siguiente caso.

    • Altura que pasa por el punto B(-3,0)}
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      Calculamos la pendiente del lado AC:

          \begin{equation*}    m_{AC} = \frac{-3-2}{2-3} = \frac{-5}{-1} = 5 \end{equation*}

      La pendiente de esta altura es:

          \begin{equation*}    m_{h_B} = -\frac{1}{m_{AC}} = -\frac{1}{5} \end{equation*}

      Y la ecuación de esta altura es:

          \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - 0 &=& -\frac{1}{5}\,(x - (-3))\\    5\,y &=& -x - 3\\    x + 5\,y + 3 &=& 0 \end{eqnarray*}

      Vamos con el último caso

      • Altura que pasa por el punto C(2,-3)}
      • Calculamos la pendiente del lado \overline{AB}:

            \begin{equation*}    m_{AB} = \frac{2 - 0}{3 - (-3)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{equation*}

        Ahora podemos conocer la pendiente de esta altura:

            \begin{equation*}    m_{h_C} = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)} = -3 \end{equation*}

        Finalmente, calculamos la ecuación de esta altura:

            \begin{eqnarray*}    y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\    y - (-3) &=& -3\,(x - 2)\\    y + 3 &=&  -3\,x + 6\\    3\,x + y - 3 &=& 0 \end{eqnarray*}

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