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Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen

Aprenderás a calcular la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen.

En la lección anterior dedujimos la ecuación de la parábola en su forma ordinaria. Ahora vamos a utilizar la ecuación. Empezaremos estudiando las parábolas con vértice en el origen.


Ejemplo 1

Calcula la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen y su foco en el punto F(1,0).

Esta parábola es horizontal y abre hacia la derecha. Puedes darte cuenta de esto graficando el vértice y el foco. Como la parábola es horizontal tenemos que su ecuación es de la forma:

    \begin{equation*}    y^2 = 4\,px \end{equation*}

Sabemos que p es igual a la distancia del vértice al foco. De la gráfica es muy sencillo deducir que esa distancia es 1.

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Entonces, la ecuación de esa parábola es:

    \begin{equation*}    y^2 = 4x \end{equation*}

Ahora vamos a calcular sus elementos:

  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4\,p = 4\,(1) = 4.
  • Directriz: x = h - p = 0 - 1\qquad\Rightarrow\qquad x + 1 = 0.

Se te queda como ejercicio graficar el lado recto y la directriz de esta parábola.


El siguiente ejemplo tratará una parábola vertical.


Ejemplo 2

Calcula la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen y la ecuación de su directriz es: y + \displaystyle\frac{1}{4} = 0.

En este caso no conocemos el foco, pero sí la ecuación de la directriz. Podremos calcular la distancia entre el foco y el vértice porque es exactamente la misma que de la directriz al vértice. Para esto, necesitamos conocer el punto donde intersecta la directriz al eje y. Cualquier punto que se encuentre sobre la directriz satisface: y = - 1/4 para cualquier valor de x.

En el eje y, x = 0, Así que la directriz corta al eje y en el punto M(0, -0.25). El foco está, entonces, en el punto F(0,0.25), y dado que el vértice de la parábola está en el origen, p = 1/4.

    \begin{eqnarray*}    x^2 &=& 4\,py\\    x^2 &=& 4\,\left(\frac{1}{4}\right)\,y\\    x^2 &=& y \end{eqnarray*}

La siguiente gráfica muestra la situación:

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Ahora vamos a resolver un ejemplo donde se requiere de otro procedimiento para calcular la ecuación de la parábola.


Ejemplo 3

Una parábola vertical tiene su vértice en el origen y pasa por el punto P(4,2). Encuentra su ecuación.

Dado que la parábola es vertical y tiene su vértice en el origen, la ecuación es de la forma:

    \begin{equation*}    \textcolor{red}{x}^2 = 4\,p\textcolor{blue}{y} \end{equation*}

Sabemos que pasa por el punto P(\textcolor{red}{4},\textcolor{blue}{2}), la parábola abre hacia arriba y la ecuación satisface:

    \begin{eqnarray*}    (\textcolor{red}{4})^2 &=& 4\,p(\textcolor{blue}{2})\qquad\Rightarrow\\    16 &=& 8\,p\qquad\Rightarrow\qquad p = 2 \end{eqnarray*}

Sabiendo que p = 2 podemos calcular los demás elementos de la parábola:

  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4\,p = 4\,(2) = 8.
  • Directriz: y = k - p = 0 - 2\qquad\Rightarrow\qquad y + 2 = 0.

La siguiente gráfica muestra esta situación:

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Observa que el punto P(4,2) es un extremo del lado recto de la parábola. Además, la distancia desde el foco F(2,0) hasta P(4,2) es la misma (4 unidades) que la distancia desde P(4,2) hasta la directriz. Esto es así por la forma como se definió la parábola.



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