Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen

En la lección anterior dedujimos la ecuación de la parábola en su forma ordinaria. Ahora vamos a utilizar la ecuación. Empezaremos estudiando las parábolas con vértice en el origen.

Ejemplo 1

Calcula la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen y su foco en el punto $F(1,0)$ .

Esta parábola es horizontal y abre hacia la derecha. Puedes darte cuenta de esto graficando el vértice y el foco. Como la parábola es horizontal tenemos que su ecuación es de la forma:

$\begin{equation*} y^2 = 4\,px \end{equation*}$

Sabemos que $p$ es igual a la distancia del vértice al foco. De la gráfica es muy sencillo deducir que esa distancia es 1.

Entonces, la ecuación de esa parábola es:

$\begin{equation*} y^2 = 4x \end{equation*}$

Ahora vamos a calcular sus elementos:

Lado recto: $\textrm{LLR} = 4\,p = 4\,(1) = 4$ .
Directriz: $x = h - p = 0 - 1\qquad\Rightarrow\qquad x + 1 = 0$ .

Se te queda como ejercicio graficar el lado recto y la directriz de esta parábola.

El siguiente ejemplo tratará una parábola vertical.

Ejemplo 2

Calcula la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen y la ecuación de su directriz es: $y + \displaystyle\frac{1}{4} = 0$ .

En este caso no conocemos el foco, pero sí la ecuación de la directriz. Podremos calcular la distancia entre el foco y el vértice porque es exactamente la misma que de la directriz al vértice. Para esto, necesitamos conocer el punto donde intersecta la directriz al eje $y$

. Cualquier punto que se encuentre sobre la directriz satisface: $y = - 1/4$

para cualquier valor de $x$

En el eje $y$ , $x = 0$ , Así que la directriz corta al eje $y$ en el punto $M(0, -0.25)$ . El foco está, entonces, en el punto $F(0,0.25)$ , y dado que el vértice de la parábola está en el origen, $p = 1/4$ .

$\begin{eqnarray*} x^2 &=& 4\,py\\ x^2 &=& 4\,\left(\frac{1}{4}\right)\,y\\ x^2 &=& y \end{eqnarray*}$

La siguiente gráfica muestra la situación:

Ahora vamos a resolver un ejemplo donde se requiere de otro procedimiento para calcular la ecuación de la parábola.

Ejemplo 3

Una parábola vertical tiene su vértice en el origen y pasa por el punto $P(4,2)$ . Encuentra su ecuación.

Dado que la parábola es vertical y tiene su vértice en el origen, la ecuación es de la forma:

$\begin{equation*} \textcolor{red}{x}^2 = 4\,p\textcolor{blue}{y} \end{equation*}$

Sabemos que pasa por el punto $P(\textcolor{red}{4},\textcolor{blue}{2})$ , la parábola abre hacia arriba y la ecuación satisface:

$\begin{eqnarray*} (\textcolor{red}{4})^2 &=& 4\,p(\textcolor{blue}{2})\qquad\Rightarrow\\ 16 &=& 8\,p\qquad\Rightarrow\qquad p = 2 \end{eqnarray*}$

Sabiendo que $p = 2$ podemos calcular los demás elementos de la parábola:

Lado recto: $\textrm{LLR} = 4\,p = 4\,(2) = 8$ .
Directriz: $y = k - p = 0 - 2\qquad\Rightarrow\qquad y + 2 = 0$ .

La siguiente gráfica muestra esta situación:

Observa que el punto $P(4,2)$ es un extremo del lado recto de la parábola. Además, la distancia desde el foco $F(2,0)$ hasta $P(4,2)$ es la misma (4 unidades) que la distancia desde $P(4,2)$ hasta la directriz. Esto es así por la forma como se definió la parábola.