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Ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen

Aprenderás a calcular la ecuación ordinaria de la parábola con vértice en el origen.



Ejemplo 4

Calcula la ecuación de la parábola que es horizontal, tiene su vértice en el origen y pasa por el punto P(-1,3).

Empezamos graficando la situación.

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Como la parábola es horizontal y p < 0, la ecuación de la parábola es de la forma:

    \begin{equation*}    y^2 = 4\,px \end{equation*}

Para calcular el valor de p vamos a sustituir las coordenadas del punto por el cual pasa la parábola. Entonces,

    \begin{equation*}    (3)^2 = 4\,p(-1)\qquad\Rightarrow\qquad 9 = -4\,p\qquad\Rightarrow\qquad p = -\displaystyle\frac{9}{4} = -2.25 \end{equation*}

La ecuación de esta parábola es, entonces:

    \begin{equation*}    y^2 = 4\,\left(-\displaystyle\frac{9}{4}\right)\,x\qquad\Rightarrow\qquad y^2 = -9\,x \end{equation*}

Conociendo el valor de p podemos fácilmente calcular los demás elementos de la parábola:

  • Foco: F(p,0) = F\left(-\displaystyle\frac{9}{4},0\right)
  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4\,p = 4\,\left(-\displaystyle\frac{9}{4}\right) =  -9
  • Directriz: x = h - p = 0 -\left(-\displaystyle\frac{9}{4}\right)\qquad\Rightarrow\qquad x - \displaystyle\frac{9}{4} =0.

Ya que tenemos todos los elementos de la parábola, podemos graficarla.

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La otra versión del problema que hemos estudiado en esta sección consiste en calcular, a partir de la ecuación de la parábola, todos sus elementos.


Ejemplo 5

Calcula todos los elementos de la parábola que tiene por ecuación:

    \begin{equation*}    x^2 = 16\,y \end{equation*}

Para empezar, por la forma de la ecuación podemos deducir que tiene su vértice en el origen. También por la ecuación sabemos que la parábola es vertical. El valor de p lo calculamos a partir de comparar las dos ecuaciones:

    \begin{eqnarray*}    x^2 &=& \textcolor{red}{4p}\,y\\    x^2 &=& \textcolor{red}{16}\,y \end{eqnarray*}

De aquí que 4\,p = 16, de donde p = 4. Ahora podemos utilizar las fórmulas para calcular todos los elementos de la parábola:

  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4p = 4(4) = 16.
  • Foco: F(0,p) = F(0,4).
  • Directriz: y + p = 0\qquad\Rightarrow\qquad y + 4 = 0.

Observa que como p > 0, la parábola abre (tiene concavidad) para arriba. Se te queda como ejercicio graficar la ecuación.



Ejemplo 6

Calcula todos los elementos de la parábola que tiene por ecuación:

    \begin{equation*} y^2 = 12\,x \end{equation*}

Por la ecuación sabemos que la parábola es horizontal y abre hacia la derecha. Al comparar la ecuación básica con la que nos dieron encontramos que 4\,p = 12. Entonces, p = 3.

Los elementos de la parábola son los siguientes:

  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4p = 4(3) = 12.
  • Foco: F(p,0) = F(3,0).
  • Directriz: x + p = 0\qquad\Rightarrow\qquad x + 3 = 0.

Se te queda como ejercicio graficar la parábola.



Ejemplo 7

Calcula todos los elementos de la parábola que tiene por ecuación:

    \begin{equation*}    x^2 = -20\,y \end{equation*}

Para empezar, por la forma de la ecuación podemos deducir que tiene su vértice en el origen, es vertical y abre hacia abajo. El valor de p lo calculamos con el coeficiente:

    \begin{equation*}    4\,p = -40\qquad\Rightarrow\qquad p = -5 \end{equation*}

Ahora podemos utilizar las fórmulas para calcular todos los elementos de la parábola:

  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4|p| = 4(5) = 20.
  • Foco: F(0,p) = F(0,-5).
  • Directriz: y + p = 0\qquad\Rightarrow\qquad y - 5 = 0.

Se te queda como ejercicio graficar la ecuación.



Ejemplo 8

Calcula todos los elementos de la parábola que tiene por ecuación:

    \begin{equation*} y^2 = -3\,x \end{equation*}

Por la ecuación sabemos que la parábola es horizontal y abre hacia la izquierda. El coeficiente indica que 4\,p = -3\qquad\Rightarrow\qquad p = -3/4.

Ahora podemos calcular los elementos de la parábola:

  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4|p| = 4\left(\displaystyle\frac{3}{4}\right) = 3.
  • Foco: F(p,0) = F\left(-\displaystyle\frac{3}{4},0\right).
  • Directriz: x + p = 0\qquad\Rightarrow\qquad x - \displaystyle\frac{3}{4} = 0.

Se te queda como ejercicio graficar la parábola.


Observa que con conocer el valor de p podemos calcular todos los elementos de la parábola. Esto es así porque el vértice de la parábola está en el origen, es decir, V(h,k) = V(0,0). Entonces, h=0, y k=0, por lo que las fórmulas que aparecen en el formulario al final de esta unidad se reducen al caso más simple.

En esta ocasión no necesitábamos encontrar la ecuación del eje de la parábola porque siempre coincide con uno de los ejes, el eje y para las parábolas verticales y con el eje x para las parábolas horizontales. En la siguiente lección estudiaremos el caso más general, cuando el vértice está fuera del origen. Para las parábolas que no tienen su vértice en el origen tendremos que calcularla.

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