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Ecuación ordinaria de la parábola con vertice fuera del origen

Aprenderás a calcular la ecuación ordinaria de la parábola con vértice fuera del origen.

Vamos a extender un poco lo que estudiamos en la unidad de aprendizaje previa, considerando parábolas con vértices fuera del origen. En estos casos, tendremos que aplicar las fórmulas considerando tanto a h como a k distintos de cero.

Recuerda que la ecuación nos indica hacia dónde abre la parábola.


Ejemplo

Calcula todos los elementos de la parábola dada por la ecuación:

    \begin{equation*} (x + 1)^2 = 8\,(y - 1) \end{equation*}

Comparando con la ecuación: (x - h)^2 = 4p\,(y - k) podemos darnos cuenta que: h = -1, k = 1, y p = 2. También vemos que la parábola abre en el sentido positivo del eje y.

A partir de estos datos fácilmente encontramos todos los elementos de la parábola.

  • Vértice: V(h,k) = V(-1,1).
  • Foco: F(h,k+p) = F\left(-1,3\right).
  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4\,p = 4\,(2) = 8.
  • Directriz: y = k - p = 1 - 2 = -1\qquad\Rightarrow\qquad y + 1 = 0.
  • Eje:x = h\qquad\Rightarrow\qquad x = -1\qquad\Rightarrow\qquad x + 1 = 0.

La siguiente gráfica corresponde a la parábola de este ejemplo:

Rendered by QuickLaTeX.com



Ejemplo

Calcula todos los elementos de la parábola dada por la ecuación:

    \begin{equation*} (y - 2)^2 = 6\,(x + 3) \end{equation*}

En este caso, la ecuación indica que la parábola es horizontal y que abre hacia la derecha. Comparando la ecuación dada con (y - k)^2 = 4p\,(x - h), es claro que h=-3, k = 2, y 4\,p = 6, lo que implica que p = 3/2. Con esto podemos calcular todos los elementos de la parábola.

Recuerda que esta parábola es horizontal, por eso cambian las fórmulas que debemos usar para encontrar sus elementos.

  • Vértice: V(h,k) = V(-3,2).
  • Foco: F(h+p,k) = F\left(-3 + \displaystyle\frac{3}{2}, 2\right) = F\left(-\displaystyle\frac{3}{2}, 2\right).
  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4\,p = 4\,\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right) = 6.
  • Directriz: x = h - p = -3 - \displaystyle\frac{3}{2}\qquad\Rightarrow\qquad x + \displaystyle\frac{9}{2} = 0.
  • Eje: y = k\qquad\Rightarrow\qquad y = 2\qquad\Rightarrow\qquad y - 2 = 0.

La siguiente gráfica corresponde a la parábola de este ejemplo:

Rendered by QuickLaTeX.com



Ejemplo

Calcula todos los elementos de la parábola dada por la ecuación:

    \begin{equation*} (x + 2)^2 = -4\,(y + 1) \end{equation*}

Comparando con la ecuación:

    \begin{equation*}    (x - h)^2 = 4p\,(y - k) \end{equation*}

podemos darnos cuenta que: h = -2, k = -1, y p = -1. También podemos deducir de la ecuación que la parábola es vertical. Como p < 0 la parábola abre en el sentido negativo del eje y.

A partir de estos datos fácilmente encontramos todos los elementos de la parábola.

  • Vértice: V(h, k) = V(-2, -1).
  • Foco: F(h, k + p) = F\left(-2, -2\right).
  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4\,|p| = 4\,(|-1|) = 4.
  • Directriz: y = k - p = -1 - (-1) = 0\qquad\Rightarrow\qquad y = 0.
  • Eje: x = h\qquad\Rightarrow\qquad x = -2\qquad\Rightarrow\qquad x + 2 = 0.

La siguiente gráfica corresponde a la parábola de este ejemplo:

Rendered by QuickLaTeX.com



Ejemplo

Calcula todos los elementos de la parábola dada por la ecuación:

    \begin{equation*} (y - 3)^2 = -8\,(x + 1) \end{equation*}

En este caso, la ecuación indica que la parábola es horizontal y que abre hacia la izquierda. Comparando la ecuación vemos que h=-1, k = 3, y 4\,p = -8, lo que implica que p = -2. Ahora encontramos todos los elementos de la parábola. Recuerda que esta parábola es horizontal, por eso cambian las fórmulas que debemos usar para encontrar sus elementos.

  • Vértice: V(h,k) = V(-1,3).
  • Foco: F(h+p,k) = F\left(-1 -2, 3\right) = F\left(-3, 3\right).
  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4\,|p| = 4\,\left(|-2|\right) = 8.
  • Directriz: x = h - p = -1 - (-2)\qquad\Rightarrow\qquad x - 1 = 0.
  • Eje: y = k\qquad\Rightarrow\qquad y = 3\qquad\Rightarrow\qquad y - 3 = 0.

La siguiente gráfica corresponde a la parábola de este ejemplo:

Rendered by QuickLaTeX.com


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