Ecuación ordinaria de la parábola con vertice fuera del origen

Vamos a extender un poco lo que estudiamos en la unidad de aprendizaje previa, considerando parábolas con vértices fuera del origen. En estos casos, tendremos que aplicar las fórmulas considerando tanto a $h$ como a $k$ distintos de cero.

Recuerda que la ecuación nos indica hacia dónde abre la parábola.

Contenido

1 Ejemplo
2 Ejemplo
3 Ejemplo
4 Ejemplo

Ejemplo

Calcula todos los elementos de la parábola dada por la ecuación:

$\begin{equation*} (x + 1)^2 = 8\,(y - 1) \end{equation*}$

Comparando con la ecuación: $(x - h)^2 = 4p\,(y - k)$

podemos darnos cuenta que: $h = -1$

, $k = 1$

, y $p = 2$

. También vemos que la parábola abre en el sentido positivo del eje $y$

A partir de estos datos fácilmente encontramos todos los elementos de la parábola.

Vértice: $V(h,k) = V(-1,1)$ .
Foco: $F(h,k+p) = F\left(-1,3\right)$ .
Lado recto: $\textrm{LLR} = 4\,p = 4\,(2) = 8$ .
Directriz: $y = k - p = 1 - 2 = -1\qquad\Rightarrow\qquad y + 1 = 0$ .
Eje: $x = h\qquad\Rightarrow\qquad x = -1\qquad\Rightarrow\qquad x + 1 = 0$ .

La siguiente gráfica corresponde a la parábola de este ejemplo:

Ejemplo

Calcula todos los elementos de la parábola dada por la ecuación:

$\begin{equation*} (y - 2)^2 = 6\,(x + 3) \end{equation*}$

En este caso, la ecuación indica que la parábola es horizontal y que abre hacia la derecha. Comparando la ecuación dada con $(y - k)^2 = 4p\,(x - h)$

, es claro que $h=-3$

, $k = 2$

, y $4\,p = 6$

, lo que implica que $p = 3/2$

. Con esto podemos calcular todos los elementos de la parábola.

Recuerda que esta parábola es horizontal, por eso cambian las fórmulas que debemos usar para encontrar sus elementos.

Vértice: $V(h,k) = V(-3,2)$ .
Foco: $F(h+p,k) = F\left(-3 + \displaystyle\frac{3}{2}, 2\right) = F\left(-\displaystyle\frac{3}{2}, 2\right)$ .
Lado recto: $\textrm{LLR} = 4\,p = 4\,\left(\displaystyle\frac{3}{2}\right) = 6$ .
Directriz: $x = h - p = -3 - \displaystyle\frac{3}{2}\qquad\Rightarrow\qquad x + \displaystyle\frac{9}{2} = 0$ .
Eje: $y = k\qquad\Rightarrow\qquad y = 2\qquad\Rightarrow\qquad y - 2 = 0$ .

La siguiente gráfica corresponde a la parábola de este ejemplo:

Ejemplo

Calcula todos los elementos de la parábola dada por la ecuación:

$\begin{equation*} (x + 2)^2 = -4\,(y + 1) \end{equation*}$

Comparando con la ecuación:

$\begin{equation*} (x - h)^2 = 4p\,(y - k) \end{equation*}$

podemos darnos cuenta que: $h = -2$ , $k = -1$ , y $p = -1$ . También podemos deducir de la ecuación que la parábola es vertical. Como $p < 0$ la parábola abre en el sentido negativo del eje $y$ .

A partir de estos datos fácilmente encontramos todos los elementos de la parábola.

Vértice: $V(h, k) = V(-2, -1)$ .
Foco: $F(h, k + p) = F\left(-2, -2\right)$ .
Lado recto: $\textrm{LLR} = 4\,|p| = 4\,(|-1|) = 4$ .
Directriz: $y = k - p = -1 - (-1) = 0\qquad\Rightarrow\qquad y = 0$ .
Eje: $x = h\qquad\Rightarrow\qquad x = -2\qquad\Rightarrow\qquad x + 2 = 0$ .

La siguiente gráfica corresponde a la parábola de este ejemplo:

Ejemplo

Calcula todos los elementos de la parábola dada por la ecuación:

$\begin{equation*} (y - 3)^2 = -8\,(x + 1) \end{equation*}$

En este caso, la ecuación indica que la parábola es horizontal y que abre hacia la izquierda. Comparando la ecuación vemos que $h=-1$

, $k = 3$

, y $4\,p = -8$

, lo que implica que $p = -2$

. Ahora encontramos todos los elementos de la parábola. Recuerda que esta parábola es horizontal, por eso cambian las fórmulas que debemos usar para encontrar sus elementos.

Vértice: $V(h,k) = V(-1,3)$ .
Foco: $F(h+p,k) = F\left(-1 -2, 3\right) = F\left(-3, 3\right)$ .
Lado recto: $\textrm{LLR} = 4\,|p| = 4\,\left(|-2|\right) = 8$ .
Directriz: $x = h - p = -1 - (-2)\qquad\Rightarrow\qquad x - 1 = 0$ .
Eje: $y = k\qquad\Rightarrow\qquad y = 3\qquad\Rightarrow\qquad y - 3 = 0$ .