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Ecuación ordinaria de la hipérbola

Aprenderás a calcular la ecuación de la hipérbola con centro en el origen.

Empezamos estudiando la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, que es la ecuación que se deduce anteriormente. Ahora vamos a utilizarla para calcular ecuaciones de hipérbolas para las cuales se conocen ciertos datos.

Como en las cónicas que ya hemos estudiado, el problema de calcular la ecuación de la hipérbola se centra en el cálculo de los coeficientes a, b y c que caracterizan de manera única a la hipérbola. Siempre debes observar si la hipérbola es horizontal o vertical. Recuerda que las coordenadas de cada elemento de la misma cambian.


Ejemplo 1

Calcula la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el origen, uno de sus focos está en el punto F(5,0) y la longitud de su eje transverso es de 6 unidades.

A partir de la definición de eje transverso, podemos deducir que, para esta hipérbola, a = 3. También, dado que el foco está en F(c,0), la hipérbola es horizontal y c = 5. Usando la relación: c^2 = a^2 + b^2, podemos fácilmente calcular el valor de b:

    \begin{equation*} b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \end{equation*}

Y a partir de estos valores podemos calcular los demás elementos asociados a la hipérbola:

  • Vértices: V(3,0), V'(-3,0).
  • Focos: F(5,0), F'(-5,0).
  • Longitud del eje conjugado: 2\,b = 8.
  • Asíntotas: y = -\displaystyle\frac{4}{3}\,x, y = -\displaystyle\frac{4}{3}\,x.
  • Excentricidad: e = \displaystyle\frac{c}{a} = \frac{5}{3}.

La ecuación de esta hipérbola es la siguiente:

    \begin{equation*} \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \end{equation*}

Y su gráfica es la siguiente:

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Ejemplo 2

Calcula la ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el origen con excentricidad e = 2.6 y uno de sus vértices está en el punto V(0,5).

A partir de la coordenada del vértice sabemos que la hipérbola es vertical y que a = 5.
Usando este valor de a y sabiendo que e = c/a, podemos calcular el valor de c:

    \begin{equation*} 2.6 = \frac{c}{5}\qquad\Rightarrow\qquad c = (5)(2.6) = 13 \end{equation*}

Y a partir de estos valores de a y c podemos calcular el valor de b:

    \begin{equation*} b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \end{equation*}

Y ahora podemos enlistar todos los elementos de esta hipérbola:

  • Vértices: V(0,5), V'(0,-5).
  • Focos: F(0,12), F'(0,-12).
  • Longitud del eje transverso: 26
  • Longitud del eje conjugado: 24
  • Asíntotas: y = \frac{a}{b}\,x = \frac{5}{12}\,x, y = - \frac{a}{b}\,x = -\frac{5}{12}\,x.

La ecuación de esta hipérbola es:

    \begin{equation*} -\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{144} = 1 \end{equation*}

Elaborar un bosquejo de la gráfica de esta hipérbola.



Ejemplo 3

Calcula la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y vértice en el punto V(4,0) y foco en F(5,0).

Si graficas los puntos dados en el texto del problema te darás cuenta que se trata de una hipérbola horizontal. También, de la información dada, tenemos: a = 4 y c = 5. A partir de estos datos podemos calcular b:

    \begin{equation*} b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \end{equation*}

Ahora podemos enlistar todos los elementos de la hipérbola:

  • Vértices: V(0,4), V'(0,-4).
  • Focos: F(0,5), F'(0,-5).
  • Longitud del eje transverso: 8
  • Longitud del eje conjugado: 6
  • Asíntotas: y = \frac{3}{4}\,x, y = - \frac{3}{4}\,x.

La ecuación de esta hipérbola es:

    \begin{equation*} \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \end{equation*}

Y su gráfica es la siguiente:

Rendered by QuickLaTeX.com


Para cada uno de los siguientes ejemplos se te queda como ejercicio graficar la hipérbola correspondiente a cada uno de ellos. Se sugiere que leas el texto del problema y que empieces a graficar los datos del problema para calcular los parámetros a, b y c que caracterizan a la cónica.


Ejemplo 4

Calcula la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los puntos F(10,0) y F'(-10,0) y tiene uno de sus vértices en el punto V(6,0).

A partir de los datos dados en el texto del problema podemos calcular c:

    \begin{equation*} 2\,c = \mbox{Distancia entre los focos}\qquad\Rightarrow\qquad c = 10 \end{equation*}

Y dado que el centro de la elipse está en el origen, y V(6,0), se sigue que a = 6. A partir de estos valores podemos calcular b:

    \begin{equation*} b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \end{equation*}

Ahora que conocemos los tres valores de los parámetros, podemos calcular todos los elementos de la hipérbola:

  • Vértices: V(6,0), V'(-6,0).
  • Focos: F(10,0), F'(-10,0).
  • Longitud del eje transverso: 12
  • Longitud del eje conjugado: 16
  • Asíntotas: y = \frac{4}{5}\,x, y = - \frac{4}{5}\,x.

La ecuación de esta hipérbola es:

    \begin{equation*} 	\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{36} = 1 \end{equation*}



Ejemplo 5

Calcula la ecuación de la hipérbola con centro en el origen que tiene uno de sus focos en el punto F(0,3) y su excentricidad es e = 1.5

Sabiendo que el centro de la hipérbola y que uno de sus focos es F(0,3) notamos que se trata de una hipérbola vertical y que c = 3. Por otra parte,

    \begin{equation*} e = \frac{c}{a} = \frac{3}{a} = \frac{3}{2}\qquad\Rightarrow\qquad a = 2. \end{equation*}

Entonces,

    \begin{equation*} b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5} \end{equation*}

Y los elementos de la hipérbola son:

  • Vértices: V(0,2), V'(0,-2).
  • Focos: F(0,3), F'(0,-3).
  • Longitud del eje transverso: 4
  • Longitud del eje conjugado: 2\,\sqrt{5}
  • Asíntotas: y = \frac{\sqrt{5}}{2}\,x, y = - \frac{\sqrt{5}}{2}\,x.

La ecuación de esta hipérbola es:

    \begin{equation*} -\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{5} = 1 \end{equation*}


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