Ecuación ordinaria de la elipse

En la lección anterior se dedujo la ecuación de la elipse con centro en el origen.
Esta es la ecuación que se conoce como la ecuación de la elipse en su primera forma ordinaria y que estudiaremos en esta lección.

Contenido

1 Ejemplo 1
2 Ejemplo 2
3 Ejemplo 3
4 Excentricidad

Ejemplo 1

Calcula la ecuación de la elipse cuyos ejes mayor y menor miden $10$ y $8$ unidades respectivamente.

Dado que conocemos las medidas de los ejes de la elipse, podemos fácilmente calcular los valores de $a$

y $b$

. Puesto que $2\,a = 10$

, se sigue que $a = 5$

. De manera semejante, dado que: $2\,b = 8$

, se sigue que: $b = 4$

La ecuación de la elipse es:

$\begin{equation*} \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \end{equation*}$

Las coordendas de los focos $F(c,0)$ y $F'(-c,0)$ pueden calcularse usando la relación:

$\begin{equation*} a^2 = b^2 + c^2\qquad\Rightarrow\qquad c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 16} = 3 \end{equation*}$

Entonces los focos de la elipse están en los puntos: $F(3,0)$ y $F(-3,0)$ .

Ejemplo 2

Calcula la ecuación de la elipse con centro en el origen, y uno de sus focos es el punto $F(2,0)$ y un vértice está en $V(6,0)$ .

Sabiendo que la elipse tiene su centro en el origen, se deduce que $c = 2$

, porque esa es la abscisa de uno de sus focos. También dado que un vértice está en $V(6,0)$

, se sigue que $a = 6$

Usando la relación:

$\begin{equation*} a^2 = b^2 + c^2 \end{equation*}$

podemos calcular el valor de $b$ :

$\begin{eqnarray*} b &=& \sqrt{a^2 - c^2}\\ &=& \sqrt{36 - 4}\\ &=& \sqrt{32} = 4\,\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Entonces, la longitud del eje menor es: $2\,b = 8\,\sqrt{2}$ . Y la longitud del eje ayor es: $2\,a = 12$ . La ecuación de la elipse es:

$\begin{equation*} \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{32} = 1 \end{equation*}$

y su gráfica se da enseguida:

Observa que para calcular todos los elementos de la elipse se requiere conocer dos de los tres valores de $a$ , $b$ y $c$ . A partir de estos valores podemos calcular el tercero y calcular todos los elementos de la cónica.

Recuerda siempre que:

$a$ es numéricamente igual a la mitad de la longitud del eje mayor,
$b$ es numéricamente igual ala mitad de la longitud del eje menor, y
$c$ representa la distancia del centro de la elipse al foco de la misma.

Ejemplo 3

em>Calcula la ecuación de la elipse con centro en el origen que pasa por el punto $B(0,3)$ y uno de sus vértices es el punto $V(5,0)$ . Calcula también sus demás elementos y grafícala.

Del texto del problema sabemos que $a = 5$

. También nos dieron la intersección de la elipse con el eje $y$

: $B(0,3)$

. Entonces, $b = 3$

. Así, conocemos las longitudes de los ejes mayor y menor, que son: $10$

y $6$

, respectivamente.

La ecuación de la elipse es:

$\begin{equation*} \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \end{equation*}$

La gráfica de esta elipse es la siguiente:

Para calcular las coordenadas de los focos necesitamos calcular el valor de $c$ :

$\begin{equation*} c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = 4 \end{equation*}$

Los focos están en los puntos: $F(4,0)$ y $F'(-4,0)$ .

Un número que mide la forma de la elipse se llama excentricidad.

Excentricidad

La excentricidad de una elipse se define como la razón de la distancia entre los focos de la elipse y la longitud de su eje mayor. Si denotamos la excentricidad por la letra $e$ , tenemos:

$\begin{equation*} e = \frac{c}{a} \end{equation*}$