Setup Menus in Admin Panel

  • LOGIN
  • No hay productos en el carrito.

Ecuación ordinaria de la elipse

Aprenderás a calcular la ecuación ordinaria de la elipse con centro en el origen.



Ejemplo 4

Calcula la ecuación de la elipse con centro en el origen que tiene uno de sus focos en el punto F(6,0) y excentricidad e = 0.6.

Ya sabemos que c = 6. Por definición, e = c/a = 0.6. De aquí podemos calcular el valor de a:

    \begin{equation*}    0.6 = \frac{6}{a} \qquad\Rightarrow\qquad a = \frac{6}{0.6} = 10 \end{equation*}

Entonces, la longitud del eje mayor es 20. Y los vértices de esta elipse están en: V(10,0) y V'(-10,0). A partir de los valoes de a y c podemos calcular el valor de b:

    \begin{equation*}    b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \end{equation*}

Entonces, la longitud del eje menor es 16. Se te queda como ejercicios graficar esta elipse.


Observa que la excentricidad de la elipse (e) mide la proporción entre la distancia del centro al foco y la distancia del centro a uno de sus vértices. Esto implica que 0 < e < 1, dado que los focos de la elipse no pueden estar por fuera de los vértices de la misma.

Cuando e se acerca mucho a 1, los focos tienden a acercarse a los vértices de la elipse. Por otra parte, cuando e tiende a cero, los focos tienden al centro de la elipse.

Para el caso particular e = 0, los dos focos estarán en el centro de la elipse y en este caso, las ecuaciones e = c/a y a^2 = b^2 + c^2 nos indican que c = 0 implica que e = 0 y que a = b. En palabras, la circunferencia es un caso particular de la elipse. La circunferencia, considerada como elipse, tiene sus dos focos en el centro de la misma. Es decir, el centro de la circunferencia es, además del centro de la elipse, los dos focos de la misma.

Es importante mencionar que la excentricidad se define, en general para las demás cónicas con la fórmula:

    \begin{equation*}    e = \frac{c}{a} \end{equation*}

donde c y a están definidas de acuerdo a cada cónica.

Por ejemplo, para la parábola, la excentricidad es 1, porque c es la distancia desde el foco hasta el vértice de la parábola y a es la distancia desde el vértice a la directriz.


Ejemplo 5

Calcula la ecuación de la elipse %con centro en el origen que pasa por el punto P\left(3,2\,\sqrt{3}\right) y cuyos vértices están en los puntos V(6,0) y V'(-6,0).

Para empezar, sabemos que a = 6. También a partir de la ecuación:

    \begin{equation*}    \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{equation*}

podemos despejar y para obtener:

    \begin{equation*}    y = \pm\frac{b}{a}\,\sqrt{a^2 - x^2} \end{equation*}

Dado que sabemos que cuando x = 3, obtenemos: y = 3\sqrt{3} / 4, sustituyendo en el despeje de la ecuación obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    2\,\sqrt{3} &=& \frac{b}{6}\,\sqrt{36 - 9}\qquad\Rightarrow\\    b &=& \frac{12\,\sqrt{3}}{\sqrt{27}}\\ 	&=& 4 \end{eqnarray*}

Ahora podemos calcular el valor de c:

    \begin{equation*}    c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\,\sqrt{5} \end{equation*}

Entonces, los focos están en los puntos F(2\,\sqrt{5},0) y F'(-2\,\sqrt{5},0). Y la ecuación de la elipse es:

    \begin{equation*}    \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1 \end{equation*}

Grafica la elipse mostrando sus focos, vértices y ejes.



Ejemplo 6

Calcula la ecuación de la elipse cuyos focos son los puntos F(0,3), y F'(0,-3) y un vértice está en el punto V(0,5).

A partir de los focos podemos darnos cuenta que el centro de la elipse está en el origen de coordenadas.
Igualmente, dado que los focos están sobre el eje mayor, la elipse es vertical.
Con la información dada en el texto del problema podemos calcular: c = 3, y a = 5.
A partir de estos dos valores podemos calcular el valor de b:

    \begin{equation*}    b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \end{equation*}

Entonces, la longitud del eje menor es: 2\,(4) = 8. Y la ecuación de la elipse es:

    \begin{equation*}    \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1 \end{equation*}

La gráfica de esta elipse es la siguiente:

Rendered by QuickLaTeX.com



Ejemplo 7

Calcula la ecuación de la elipse con centro en el origen que tiene uno de sus focos en el punto F(0,6) y excentricidad e = 0.6.

Dado que la elipse tiene su centro en el origen, el foco nos indica el valor de c: c = 6. Con la ayuda de laexcentricidad podemos calcular el valor de a:

    \begin{equation*}    e = \frac{c}{a} \qquad\Rightarrow\qquad 0.6 = \frac{6}{a} \qquad\Rightarrow\qquad a = 10 \end{equation*}

A partir de estos valores podemos calcular el valor de b:

    \begin{equation*}    b = \sqrt{a^2- c^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \end{equation*}

Y la ecuación de esta elipse es:

    \begin{equation*}    \frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{100} = 1 \end{equation*}

Y su gráfica la siguiente:

Rendered by QuickLaTeX.com


Para encontrar la ecuación de la elipse, solamente debes calcular siempre los valores de a, b y c. A partir de estos valores ya podrás calcular los demás parámetros de la elipse.

También es importante que deduzcas a partir del texto del problema si la elipse es horizontal o vertical. Recuerda siempre que en la ecuación de la elipse horizontal a^2 aparece en el denominador de la fracción que contiene en el numerador a x^2:

    \begin{equation*}    \text{\textcolor{blue}{Elipse horizontal}}}\qquad\Rightarrow\qquad    \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{equation*}

Para la elipse vertical a^2 aparece en el denominador de la fracción que tiene en el numerador a y^2:

    \begin{equation*}    \text{\textcolor{blue}{Elipse vertical}}}\qquad\Rightarrow\qquad    \frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1 \end{equation*}

VER TODO Add a note
Añadir tu comentario
X