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Ecuación de la hipérbola: Conversión de la forma general a la forma ordinaria

Aprenderás a convertir la ecuación general de la hipérbola a su form ordinaria.

Nos vamos directamente a los ejemplos resueltos.


Ejemplo 1

Convierte la ecuación de la hipérbola:

    \begin{equation*}    100\,x^2 - 16\,y^2 - 1600 = 0 \end{equation*}

a su forma ordinaria.

Dividimos ambos lados de la ecuación entre 1600 y pasamos el término independiente al lado derecho de la igualdad:

    \begin{eqnarray*}    \frac{100\,x^2}{1600} - \frac{16\,y^2}{1600} &=& \frac{1600}{1600}\\    \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{100} &=& 1 \end{eqnarray*}

Se trata de una hipérbola horizontal con centro en el origen y parámetros a = 4, b = 10. El valor de c se puede calcular fácilmente:

    \begin{equation*}    c = \sqrt{4^2 + 10^2} = \sqrt{116} \approx 10.77 \end{equation*}

Se te queda como ejercicio enlistar todos los elementos de esta hipérbola y graficarla.



Ejemplo 2

Convierte la ecuación de la hipérbola:

    \begin{equation*}    -36\,x^2 + 64\,y^2  + 288\,x + 128\,y - 2816 = 0 \end{equation*}

a su forma ordinaria y calcula sus tres parámetros a, b y c.

Empezamos ordenando los términos de acuerdo a la literal:

    \begin{equation*}    -36\,x^2 + 288\,x + 64\,y^2 + 128\,y = 2816 \end{equation*}

Ahora vamos a factorizar -36 de los términos que tienen a la literal x y 64 de los términos que incluyen a y:

    \begin{equation*}    -36\,\left(x^2 - 8\,x\right) + 64\,\left(y^2 + 2\,y\right) = 2816 \end{equation*}

Ahora vamos a completar el cuadrado en cada polinomio encerrado entre paréntesis. Para eso, vamos a sumar 16 dentro del primer paréntesis y -36\times 16 afuera. De manera semejante para y, sumamos 1 dentro del paréntesis y afuera 64:

    \begin{eqnarray*}    -36\,\left(x^2 - 8\,x + \textcolor{red}{16}\right) + 64\,\left(y^2 + 2\,y + \textcolor{blue}{1}\right) &=& 2816 \textcolor{red}{- 576} + \textcolor{blue}{64} \\    -36\,\left(x - 4\right)^2 + 64\,\left(y + 1\right)^2 &=& 2304  \end{eqnarray*}

Ahora dividimos ambos lados de la igualdad entre 2304 y simplificamos:

    \begin{eqnarray*}    -\frac{36\,(x - 4)^2}{2304} + \frac{64\,(y + 1)^2}{2304} &=& \frac{2304}{2304} \\    -\frac{(x - 4)^2}{64} + \frac{(y + 1)^2}{36} &=& 1 \end{eqnarray*}

De la ecuación en su forma ordinaria es evidente que:

    \begin{eqnarray*}    a^2 = 64 & \Rightarrow & a = 8\\    b^2 = 36 & \Rightarrow & b = 6 \end{eqnarray*}

A partir de estos valores podemos calcular el valor de c:

    \begin{equation*}    c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \end{equation*}

Y también de la ecuación es evidente que la hipérbola es vertical. Sus elementos son:

  • Centro: C(4, -1)
  • Vértices: V(4, 7), V'(4, -9)
  • Focos: F(4, 9), F'(4, -11)
  • Longitud del eje transverso: 16
  • Longitud del eje conjugado: 12
  • Excentricidad: e = 10 / 8

Se te queda como ejercicio graficar esta hipérbola.



Ejemplo 3

Convierte la ecuación de la hipérbola:

    \begin{equation*}    - 16\,x^2 + 9\,y^2 - 128\,x - 54\,y - 319 = 0 \end{equation*}

a su forma ordinaria y calcula todos sus elementos.

Empezamos ordenando los términos de acuerdo a la literal que contengan:

    \begin{equation*}    - 16\,x^2 - 128\,x + 9\,y^2 - 54\,y - 319 = 0 \end{equation*}

Ahora factorizamos el coeficiente del término cuadrático en todos los términos que contengan la misma literal:

    \begin{equation*}    - 16\,\left(x^2 + 8\,x\right) + 9\,\left(y^2 - 6\,y\right) = 319 \end{equation*}

Es hora de completar cuadrados:

    \begin{eqnarray*}    - 16\,\left(x^2 + 8\,x + 16\right) + 9\,\left(y^2 - 6\,y + 9\right) &=& 319 - 256 + 81\\    -16\,(x + 4)^2 + 9\,(y - 3)^2 &=& 144 \end{eqnarray*}

Ahora dividimos ambos lados de la ecuación entre 144:

    \begin{eqnarray*}    -\frac{16\,(x + 4)^2}{144} + \frac{9\,(y - 3)^2}{144} &=& \frac{144}{144}\\    -\frac{(x + 4)^2}{9} + \frac{(y - 3)^2}{16} &=& 1 \end{eqnarray*}

De la ecuación es fácil observar que se trata de una hipérbolahorizontal. También, los parámetros se deducen de ella, pues:

    \begin{eqnarray*}    a^2 = 9 & \Rightarrow & a = 3\\    b^2 = 16 & \Rightarrow & b = 4 \end{eqnarray*}

En este caso, el valor de c es 5, porque:

    \begin{equation*}    c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \end{equation*}

Los elementos de esta hipérbola son:

  • Centro: C(1, -2)
  • Vértices: V(4, -2), V'(-2, -2)
  • Focos: F(6, -2), F'(-4, -2)
  • Longitud del eje transverso: 6
  • Longitud del eje conjugado: 8
  • Excentricidad: e = 5 / 3


Ejemplo 4

Convierte la ecuación de la hipérbola:

    \begin{equation*}    144\,x^2 - 25\,y^2 - 864\,x - 150\,y - 2529 = 0 \end{equation*}

a su forma ordinaria y calcula todos sus elementos.

Empezamos ordenando los términos de acuerdo a la literal que contengan:

    \begin{equation*}    144\,x^2 - 864\,x - 25\,y^2 - 150\,y = 2529 \end{equation*}

Ahora factorizamos el coeficiente del término cuadrático para cada grupo:

    \begin{equation*}    144\,\left(x^2 - 6\,x\right) - 25\,\left(y^2 + 6\,y\right) = 2529 \end{equation*}

Sigue completar el cuadado en cada polinomio:

    \begin{eqnarray*}    144\,\left(x^2 - 6\,x + 9\right) - 25\,\left(y^2 + 6\,y + 9\right) &=& 2529 + 1296 - 225\\    144\,(x - 3)^2 - 25\,(y + 3)^2 &=& 3600 \end{eqnarray*}

Ahora dividimos ambos lados de la igualdad entre 3600:

    \begin{eqnarray*}    \frac{144\,(x - 3)^2}{3600} - \frac{25\,(y + 3)^2}{3600} &=& \frac{3600}{3600} \\    \frac{(x - 3)^2}{25} - \frac{(y + 3)^2}{144} &=& 1 \end{eqnarray*}

La hipérbola es horizontal con parámetros: a = 5, b = 12, y

    \begin{equation*}    c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \end{equation*}

Los elementos de esta hipérbola son:

  • Centro: C(3, -3)
  • Vértices: V(8, -3), V'(-2, -3)
  • Focos: F(16, -3), F'(-10, -3)
  • Longitud del eje transverso: 10
  • Longitud del eje conjugado: 24
  • Excentricidad: e = 13 / 5

Se te queda como ejercicio graficar esta hipérbola.



Ejemplo 5

Convierte la ecuación de la hipérbola:

    \begin{equation*}    - 576\,x^2 + 49\,y^2 - 1152\,x - 98\,y - 28751 = 0 \end{equation*}

a su forma ordinaria y calcula todos sus elementos.

Realizamos el procedimiento de los últimos ejemplos.

    \begin{eqnarray*}    - 576\,x^2 - 1152\,x + 49\,y^2 - 98\,y &=& 28751\\    - 576\,\left(x^2 + 2\,x\right) + 49\,\left(y^2 - 2\,y\right) &=& 28751\\    - 576\,\left(x^2 + 2\,x + \textcolor{red}{1}\right) + 49\,\left(y^2 - 2\,y + \textcolor{blue}{1}\right) &=& 28751 \textcolor{red}{- 576} + \textcolor{blue}{49}\\    - 576\,(x + 1)^2 + 49\,(y - 1)^2 &=& 28224\\    -\frac{576\,(x + 1)^2}{28224} + \frac{49\,(y - 1)^2}{28224} &=& \frac{28224}{28224}\\    -\frac{(x + 1)^2}{49} + \frac{(y - 1)^2}{576} &=& 1 \end{eqnarray*}

Los elementos de la hipérbola son:

  • Centro: C(-1, 1)
  • Vértices: V(-1, 8), V'(-1, -6)
  • Focos: F(-1, 26), F'(-1, -24)
  • Longitud del eje transverso: 14
  • Longitud del eje conjugado: 48
  • Excentricidad: e = 25 / 7

Grafica esta hipérbola.


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