Ecuación de la hipérbola: Conversión de la forma general a la forma ordinaria

Nos vamos directamente a los ejemplos resueltos.

Contenido

1 Ejemplo 1
2 Ejemplo 2
3 Ejemplo 3
4 Ejemplo 4
5 Ejemplo 5

Ejemplo 1

Convierte la ecuación de la hipérbola:

$\begin{equation*} 100\,x^2 - 16\,y^2 - 1600 = 0 \end{equation*}$

a su forma ordinaria.

Dividimos ambos lados de la ecuación entre 1600 y pasamos el término independiente al lado derecho de la igualdad:
$\begin{eqnarray*} \frac{100\,x^2}{1600} - \frac{16\,y^2}{1600} &=& \frac{1600}{1600}\\ \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{100} &=& 1 \end{eqnarray*}$
Se trata de una hipérbola horizontal con centro en el origen y parámetros $a = 4$ , $b = 10$ . El valor de $c$ se puede calcular fácilmente:
$\begin{equation*} c = \sqrt{4^2 + 10^2} = \sqrt{116} \approx 10.77 \end{equation*}$
Se te queda como ejercicio enlistar todos los elementos de esta hipérbola y graficarla.

Ejemplo 2

Convierte la ecuación de la hipérbola:

$\begin{equation*} -36\,x^2 + 64\,y^2 + 288\,x + 128\,y - 2816 = 0 \end{equation*}$

a su forma ordinaria y calcula sus tres parámetros $a$ , $b$ y $c$ .

Empezamos ordenando los términos de acuerdo a la literal:
$\begin{equation*} -36\,x^2 + 288\,x + 64\,y^2 + 128\,y = 2816 \end{equation*}$
Ahora vamos a factorizar $-36$ de los términos que tienen a la literal $x$ y 64 de los términos que incluyen a $y$ :
$\begin{equation*} -36\,\left(x^2 - 8\,x\right) + 64\,\left(y^2 + 2\,y\right) = 2816 \end{equation*}$
Ahora vamos a completar el cuadrado en cada polinomio encerrado entre paréntesis. Para eso, vamos a sumar 16 dentro del primer paréntesis y $-36\times 16$ afuera. De manera semejante para $y$ , sumamos 1 dentro del paréntesis y afuera 64:
$\begin{eqnarray*} -36\,\left(x^2 - 8\,x + \textcolor{red}{16}\right) + 64\,\left(y^2 + 2\,y + \textcolor{blue}{1}\right) &=& 2816 \textcolor{red}{- 576} + \textcolor{blue}{64} \\ -36\,\left(x - 4\right)^2 + 64\,\left(y + 1\right)^2 &=& 2304 \end{eqnarray*}$
Ahora dividimos ambos lados de la igualdad entre $2304$ y simplificamos:
$\begin{eqnarray*} -\frac{36\,(x - 4)^2}{2304} + \frac{64\,(y + 1)^2}{2304} &=& \frac{2304}{2304} \\ -\frac{(x - 4)^2}{64} + \frac{(y + 1)^2}{36} &=& 1 \end{eqnarray*}$
De la ecuación en su forma ordinaria es evidente que:
$\begin{eqnarray*} a^2 = 64 & \Rightarrow & a = 8\\ b^2 = 36 & \Rightarrow & b = 6 \end{eqnarray*}$
A partir de estos valores podemos calcular el valor de $c$ :
$\begin{equation*} c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \end{equation*}$
Y también de la ecuación es evidente que la hipérbola es vertical. Sus elementos son:
Centro: $C(4, -1$ )
Vértices: $V(4, 7)$ , $V'(4, -9)$
Focos: $F(4, 9)$ , $F'(4, -11)$
Longitud del eje transverso: $16$
Longitud del eje conjugado: $12$
Excentricidad: $e = 10 / 8$
Se te queda como ejercicio graficar esta hipérbola.

Ejemplo 3

Convierte la ecuación de la hipérbola:

$\begin{equation*} - 16\,x^2 + 9\,y^2 - 128\,x - 54\,y - 319 = 0 \end{equation*}$

a su forma ordinaria y calcula todos sus elementos.

Empezamos ordenando los términos de acuerdo a la literal que contengan:
$\begin{equation*} - 16\,x^2 - 128\,x + 9\,y^2 - 54\,y - 319 = 0 \end{equation*}$
Ahora factorizamos el coeficiente del término cuadrático en todos los términos que contengan la misma literal:
$\begin{equation*} - 16\,\left(x^2 + 8\,x\right) + 9\,\left(y^2 - 6\,y\right) = 319 \end{equation*}$
Es hora de completar cuadrados:
$\begin{eqnarray*} - 16\,\left(x^2 + 8\,x + 16\right) + 9\,\left(y^2 - 6\,y + 9\right) &=& 319 - 256 + 81\\ -16\,(x + 4)^2 + 9\,(y - 3)^2 &=& 144 \end{eqnarray*}$
Ahora dividimos ambos lados de la ecuación entre 144:

$\begin{eqnarray*} -\frac{16\,(x + 4)^2}{144} + \frac{9\,(y - 3)^2}{144} &=& \frac{144}{144}\\ -\frac{(x + 4)^2}{9} + \frac{(y - 3)^2}{16} &=& 1 \end{eqnarray*}$
De la ecuación es fácil observar que se trata de una hipérbolahorizontal. También, los parámetros se deducen de ella, pues:
$\begin{eqnarray*} a^2 = 9 & \Rightarrow & a = 3\\ b^2 = 16 & \Rightarrow & b = 4 \end{eqnarray*}$
En este caso, el valor de $c$ es 5, porque:
$\begin{equation*} c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \end{equation*}$
Los elementos de esta hipérbola son:
Centro: $C(1, -2$ )
Vértices: $V(4, -2)$ , $V'(-2, -2)$
Focos: $F(6, -2)$ , $F'(-4, -2)$
Longitud del eje transverso: $6$
Longitud del eje conjugado: $8$
Excentricidad: $e = 5 / 3$

Ejemplo 4

Convierte la ecuación de la hipérbola:

$\begin{equation*} 144\,x^2 - 25\,y^2 - 864\,x - 150\,y - 2529 = 0 \end{equation*}$

a su forma ordinaria y calcula todos sus elementos.

Empezamos ordenando los términos de acuerdo a la literal que contengan:
$\begin{equation*} 144\,x^2 - 864\,x - 25\,y^2 - 150\,y = 2529 \end{equation*}$
Ahora factorizamos el coeficiente del término cuadrático para cada grupo:
$\begin{equation*} 144\,\left(x^2 - 6\,x\right) - 25\,\left(y^2 + 6\,y\right) = 2529 \end{equation*}$
Sigue completar el cuadado en cada polinomio:
$\begin{eqnarray*} 144\,\left(x^2 - 6\,x + 9\right) - 25\,\left(y^2 + 6\,y + 9\right) &=& 2529 + 1296 - 225\\ 144\,(x - 3)^2 - 25\,(y + 3)^2 &=& 3600 \end{eqnarray*}$
Ahora dividimos ambos lados de la igualdad entre 3600:
$\begin{eqnarray*} \frac{144\,(x - 3)^2}{3600} - \frac{25\,(y + 3)^2}{3600} &=& \frac{3600}{3600} \\ \frac{(x - 3)^2}{25} - \frac{(y + 3)^2}{144} &=& 1 \end{eqnarray*}$
La hipérbola es horizontal con parámetros: $a = 5$ , $b = 12$ , y
$\begin{equation*} c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \end{equation*}$
Los elementos de esta hipérbola son:
Centro: $C(3, -3$ )
Vértices: $V(8, -3)$ , $V'(-2, -3)$
Focos: $F(16, -3)$ , $F'(-10, -3)$
Longitud del eje transverso: $10$
Longitud del eje conjugado: $24$
Excentricidad: $e = 13 / 5$
Se te queda como ejercicio graficar esta hipérbola.

Ejemplo 5

Convierte la ecuación de la hipérbola:

$\begin{equation*} - 576\,x^2 + 49\,y^2 - 1152\,x - 98\,y - 28751 = 0 \end{equation*}$

a su forma ordinaria y calcula todos sus elementos.

Realizamos el procedimiento de los últimos ejemplos.
$\begin{eqnarray*} - 576\,x^2 - 1152\,x + 49\,y^2 - 98\,y &=& 28751\\ - 576\,\left(x^2 + 2\,x\right) + 49\,\left(y^2 - 2\,y\right) &=& 28751\\ - 576\,\left(x^2 + 2\,x + \textcolor{red}{1}\right) + 49\,\left(y^2 - 2\,y + \textcolor{blue}{1}\right) &=& 28751 \textcolor{red}{- 576} + \textcolor{blue}{49}\\ - 576\,(x + 1)^2 + 49\,(y - 1)^2 &=& 28224\\ -\frac{576\,(x + 1)^2}{28224} + \frac{49\,(y - 1)^2}{28224} &=& \frac{28224}{28224}\\ -\frac{(x + 1)^2}{49} + \frac{(y - 1)^2}{576} &=& 1 \end{eqnarray*}$
Los elementos de la hipérbola son:
Centro: $C(-1, 1$ )
Vértices: $V(-1, 8)$ , $V'(-1, -6)$
Focos: $F(-1, 26)$ , $F'(-1, -24)$
Longitud del eje transverso: $14$
Longitud del eje conjugado: $48$
Excentricidad: $e = 25 / 7$
Grafica esta hipérbola.