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Ecuación General de la Parábola

Aprenderás a convertir la ecuación de la parábola de la forma ordinaria a la forma general.

Hasta aquí hemos estudiado la ecuación de la parábola en su forma ordinaria. Ahora vamos a estudiar la ecuación en su forma general.


Ecuación General de la Parábola

La ecuación general de la parábola es:

    \begin{equation*}    A\,x^2 + B\,y^2 + D\,x + E\,y + F = 0 \end{equation*}

donde A = 0 y B \neq 0 para las parábolas horizontales y B = 0 con A \neq 0 para las parábolas verticales.


La ecuación general de la parábola se obtiene a partir de la ecuación en su forma ordinaria, desarrollando el binomio y simplificando la expresión.


Ejemplo 1

Convierte la ecuación ordinaria de la parábola vertical a la forma general.

Para las parábolas verticales, la ecuación en su forma ordinaria es:

    \begin{equation*}    (x - h)^2 = 4p\,(y - k) \end{equation*}

Al desarrollar el binomio que está elevado al cuadrado e igualar todo a cero obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    x^2 - 2\,hx + h^2 &=& 4p\,y - 4pk\\    x^2 \textcolor{red}{- 2h}\,x \textcolor{blue}{- 4p}\,y + (\textcolor{red}f{h^2 + 4pk}) &=& 0 \end{eqnarray*}

La forma general de la ecuación de la parábola vertical tiene la forma:

    \begin{equation*}    A\,x^2 + \textcolor{red}{D}\,x + \textcolor{blue}{E}\,y + \textcolor{red}{F} = 0 \end{equation*}

Del desarrollo anterior se hace evidente que:

     \begin{minipage}{0.5\linewidth} \begin{eqnarray*} A &=& 1\\ \textcolor{red}{D} &=& \textcolor{red}{-2\,h} \end{eqnarray*} \end{minipage} % \begin{minipage}{0.5\linewidth} \begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{E} &=& \textcolor{blue}{-4\,p}\\ \textcolor{red}{F} &=& \textcolor{red}{h^2 + 4pk} \end{eqnarray*} \end{minipage}


Estas igualdades nos servirán para convertir las ecuaciones de las parábolas de la forma general a la ordinaria, y viceversa.

Empezaremos con el caso más directo.


Conversión de la forma ordinaria a la forma general


Ejemplo 2

Escribe la ecuación de la parábola: (x-3)^2 = 7\,(y-1) en su forma general.

De manera semejante al ejemplo anterior, desarrollamos el binomio y finalmente igualamos a cero la ecuación:

    \begin{eqnarray*}    (x-3)^2 &=& 7\,(y-1)\\    x^2 - 6\,x + 9 &=& 7\,y - 7\\    x^2 - 6\,x  - 7\,y + 9 + 7 &=& 0\\    x^2 - 6\,x  - 7\,y + 16 &=& 0\\ \end{eqnarray*}

Entonces, la ecuación de la parábola puede expresarse de manera equivalente en cualquiera de las dos formas:
 \begin{minipage}{0.3\linewidth} \begin{center} \enc{Forma Ordinaria:}\\ $(x-3)^2 = 7\,(y-1)$ \end{center} \end{minipage} % \hfill % \begin{minipage}{0.3\linewidth} \begin{center} \enc{Forma General:}\\ $x^2 - 6\,x  - 7\,y + 16 = 0$ \end{center} \end{minipage}


También habrá ocasiones en las que debamos calcular la ecuación en forma general de una parábola. Para este caso podemos primero calcular la ecuación en forma ordinaria y después convertir ésta a la forma general.


Ejemplo 3

Calcula la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el punto V(2,3) y su foco está en F(1,3).

Si graficas en tu cuaderno el vértice y el foco de la parábola te darás cuenta que la distancia entre ellos es de 2 unidades. De la gráfica también te podrás dar cuenta que la parábola es vertical y abre hacia abajo. Entonces, p = -2, y la ecuación es de la forma:

    \begin{equation*}    (x - h)^2 = 4\,p(y - k) \end{equation*}

Al sustituir los datos que ya conocemos (h, k y p) en esta ecuación obtenemos:

    \begin{equation*}    (x - 2)^2 = 4\,(-2)(y - 3)\qquad\Rightarrow\qquad (x - 2)^2 = -8\,y - 12 \end{equation*}

Esta es la ecuación de la parábola en su forma ordinaria. La convertimos a la forma general elevando al cuadrado el binomio (x-2) y simplificando:

    \begin{eqnarray*}    (x - 2)^2 &=& -8\,y + 24\\    x^2 -4\,x + 4 + 8\,y - 24 &=& 0\\    x^2 -4\,x + 8\,y - 20 &=& 0 \end{eqnarray*}

Y hemos terminado.


Algunas veces no conoceremos suficiente información para resolver el problema inmediatamente, así que tendremos que observar la gráfica para poder deducir información que no está indicada explícitamente en el texto.


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