Ecuación General de la Parábola

Ejemplo 4

Calcula la ecuación de la parábola en su forma general que tiene su vértice en el punto $V(-2,-1)$ y que pasa por el punto $P(2,-5)$ .

En este caso necesariamente debemos dibujar una gráfica que ilustre la situación, porque la información dada en el texto del problema ni siquiera nos menciona si se trata de una parábola vertical u horizontal.
Con la gráfica es sencillo observar que tenemos dos casos, primero resolveremos el caso para la parábola vertical.
Parábola vertical:

Para la parábola vertical la ecuación ordinaria tiene la forma:

$\begin{equation*} (x - h)^2 = 4\,p(y - k) \end{equation*}$

Conocemos las coordenadas del vértice, así que podemos sustituirlas inmediatamente:

$\begin{equation*} (x + 2)^2 = 4\,p(y + 1) \end{equation*}$

Todavía necesitamos calcular el valor de $p$ . Para eso, vamos a sustituir las coordenadas del punto $P(2,-5)$ por el cual pasa esta parábola:

$\begin{equation*} (2 + 2)^2 = 4\,p(-5 + 1) \end{equation*}$

De aquí podemos despejar $p$ :

$\begin{eqnarray*} (2 + 2)^2 &=& 4\,p(-5 + 1)\\ 16 &=& -16\,p\\ -\frac{16}{16} &=& p = -1 \end{eqnarray*}$

Este valor de $p$ nos indica que la parábola abre hacia abajo. Ahora podemos convertir la ecuación ordinaria a la forma general:

$\begin{eqnarray*} (x + 2)^2 &=& -4\,(y + 1)\\ x^2 + 4\,x + 4 &=& -4\,y - 4\\ x^2 + 4\,x + 4\,y + 8 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Esta es la ecuación del primer caso. Ahora vamos con el siguiente caso del problema.

Parábola horizontal:

En este caso la ecuación ordinaria es:

$\begin{equation*} (y - k)^2 = 4\,p(x - h) \end{equation*}$

Vamos a sustituir las coordenadas del vértice en la ecuación:

$\begin{equation*} (y + 1)^2 = 4\,p(x + 2) \end{equation*}$

Ahora solamente falta por calcular $p$ para conocer la ecuación ordinaria. Para eso vamos a sustituir las coordenadas del punto $P(2,-5)$ por el cual debe pasar esta parábola.

$\begin{eqnarray*} (-5 + 1)^2 &=& 4\,p(2 + 2)\\ 16 &=& 16\,p \end{eqnarray*}$

Esto nos indica que $p = 1$ . Entonces la ecuación en forma ordinaria es:

$\begin{equation*} (y + 1)^2 = 4\,(x + 2) \end{equation*}$

Ahora vamos a transformarla a la forma general:

$\begin{eqnarray*} (y + 1)^2 &=& 4\,x + 8\\ y^2 + 2\,y + 1 - 4\,x - 8 &=& 0\\ y^2 - 4\,x + 2\,y - 7 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Y hemos terminado. Se te queda como ejercicio graficar esta parábola.

Ejemplo 5

Calcula la ecuación en forma general y los sus elementos de la parábola vertical que tiene su foco en el punto $F(2,1)$ y su directriz es la recta: $y + 1 = 0$ . Finalmente, grafica la parábola y verifica si pasa por el punto $P(-2,4)$ .

En este caso el problema dice que se trata de una parábola vertical, así que usaremos a ecuación:

$\begin{equation*} (x - h)^2 = 4\,p(y - k) \end{equation*}$

La ecuación de la directriz nos indica que para cualquier cualquier punto sobre ella, el valor de $y=-1$ , independientemente del valor de $x$ .

El punto sobre la directriz que está exactamente debajo del foco es: $M(2,-1)$ . Recordando que el vértice está a la misma distancia del foco que de la directriz, podemos deducir que $2\,|p|$ es la distancia entre el foco y la directriz.

En este caso, $2\,|p| = 2$ , que corresponde a la distancia desde el punto $M$ hasta el foco. De aquí que $|p| = 1$ .

Si graficas la informacón te darás cuenta que la parábola abre hacia arriba, de manera que $p>0$ , con lo que $p = 1$ . Más aún, el vértice de la parábola es el punto medio del segmento $\segm{MF}$ .

Ahora calculamos sus coordenadas:

$\begin{minipage}{0.5\linewidth} \begin{equation*} h = \frac{2+2}{2} = 2 \end{equation*} \end{minipage} \begin{minipage}{0.5\linewidth} \begin{equation*} k = \frac{1 - 1}{2} = 0 \end{equation*} \end{minipage}$

Entonces, el vértice de la parábola se encuentra en el punto $V(2,0)$ .

Ahora podemos sustituir los valores de $h$ , $k$ y $p$ en la ecuación ordinaria:

$\begin{equation*} (x - 2)^2 = 4\,y \end{equation*}$

Ahora vamos a convertirla a la forma general:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 4\,x + 4 - 4\,y &=& 0\\ x^2 - 4\,x - 4\,y + 4 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Ahora calculamos todos sus elementos. Esto es muy sencillo, dado que ya conocemos $h$ , $k$ y $p$ :

Vértice: $V(h, k) = V(2,0)$ .
Foco: $F(h,k+p) = F(2,1)$ .
Lado recto: $\textrm{LLR} = 4\,p = 4\,(1) = 4$ .
Directriz: $y = k - p = 0 - 1 = -1\qquad\Rightarrow\qquad y + 1 = 0$ .
Eje: $x = h\qquad\Rightarrow\qquad x = 2\qquad\Rightarrow\qquad x - 2 = 0$ .

Los valores conocidos se volvieron a calcular para verificar los resultados. Enseguida se muestra la gráfica de esta parábola:

Para verificar si el punto $P(-2,4)$ está sobre la parábola sustituimos en la ecuación y vemos si se cumple la igualdad:

$\begin{equation*} (-2 - 2)^2 = 4\,(4)\qquad\Rightarrow\qquad 16 = 16 \end{equation*}$

Como la igualdad se cumple, el punto $P(-2,4)$ sí está sobre la parábola. Con esto hemos terminado.

Observa que no utilizamos la ecuación en la forma general para encontrar todos los elementos de la parábola, porque nosotros conocemos las fórmulas para calcular los elementos de la parábola en función de los valores de $h$ , $k$ y $p$ . Para encontrar la ecuación ordinaria necesitamos también estos valores. Pero habrá veces en los que no se conozcan, sino solamente nos den la ecuación general de la parábola. En estos casos vamos a tener que convertir la ecuación a la forma ordinaria y a partir de ahí conocer los valores de $h$ , $k$ y $p$ para deducir todos sus elementos.

En la siguiente lección estudiamos esos casos. El procedimiento que usaremos en este tipo de problemas es esencialmente el mismo que utilizamos en la conversión de la ecuación general a la forma ordinaria para las circunferencias. En esos ejemplos siempre tuvimos que completar cuadrados para $x$ como para $y$ . Ahora bastará una sola vez, dependiendo de la variable que aparezca elevada al cuadrado.

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Aprenderás a convertir la ecuación de la parábola de la forma ordinaria a la forma general.

Ejemplo 4

Ejemplo 5