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Ecuación general de la hipérbola

Aprenderás a convertir la ecuación ordinaria de la hipérbola a la forma general.

Ahora vamos a la forma general de la ecuación de la hipérbola. Recuerda que para convertir de la forma ordinaria a la forma general, basta desarrollar las operaciones necesarias para llevar la ecuación ordinaria a la forma:

    \begin{equation*}    A\,x^2 + B\,y^2 + D\,x + E\,y + F = 0 \end{equation*}

independientemente de que el centro de la hipérbola esté o no en el origen del sistema de coordenadas.

Conversión de la forma ordinaria a la forma general


Ejemplo 1

Expresa la ecuación ordinaria de la hipérbola:

    \begin{equation*}    \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{25} = 1 \end{equation*}

en la forma general.

Empezamos multiplicando ambos lados de la igualdad por 16 \times 25 = 400:

    \begin{eqnarray*}    \frac{400\cdot x^2}{16} - \frac{400\cdot y^2}{25} &=& 400\\    25\,x^2 - 16\,y^2 - 400 &=& 0 \end{eqnarray*}

Y hemos terminado.



Ejemplo 2

Convierte la ecuación ordinaria de la hipérbola

    \begin{equation*}    -\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1 \end{equation*}

a su forma general.

Empezamos multiplicando por 64\times 16 = 1024 ambos lados de la igualdad:

    \begin{eqnarray*}    -\frac{1024\cdot x^2}{64} + \frac{1024\cdot y^2}{16} &=& 1024\\    -16\,x^2 + 64\,y^2 -1024 &=& 0 \end{eqnarray*}

Y hemos terminado.



Ejemplo 3

Convierte la ecuación ordinaria de la hipérbola:

    \begin{equation*}    \frac{(x-4)^2}{16} - \frac{(y - 1)^2}{9} = 1 \end{equation*}

a su forma general.

Empezamos multiplicando ambos lados de la igualdad por 16\times 9 = 144:

    \begin{eqnarray*}    \frac{144\,(x-4)^2}{16} - \frac{144\,(y - 1)^2}{9} &=& 144\\    9\,(x-4)^2 - 16\,(y - 1)^2 &=& 144 \end{eqnarray*}

Ahora debemos elevar al cuadrado los binomios que están indicados:

    \begin{eqnarray*}    9\,(x^2 - 8\,x + 16) - 16\,(y^2 - 2\,y + 1) - 144  &=& 0\\    9\,x^2 - 72\,x + \cancel{144} - 16\,y^2 + 32\,y - 16 - \cancel{144} &=& 0\\    9\,x^2 - 16\,y^2 - 72\,x + 32\,y - 16 &=& 0 \end{eqnarray*}

Y hemos terminado multiplicando por cada factor dentro del paréntesis y después ordenando los términos.



Ejemplo 4

Convierte la ecuación odinaria de la hipérbola:

    \begin{equation*}    -\frac{(x + 3)^2}{25} + \frac{(y - 7)^2}{4} = 1 \end{equation*}

a su forma general.

En este caso multiplicaremos primero la ecuación por 25 \times 4 = 100:

    \begin{eqnarray*}    -\frac{100\,(x + 3)^2}{25} + \frac{100\,(y - 7)^2}{4} &=& 100\\    -4\,(x + 3)^2 + 25\,(y - 7)^2 - 100 &=& 0 \end{eqnarray*}

Y ahora vamos a elevar al cuadrado los binomios y a simplificar:

    \begin{eqnarray*}    -4\,(x^2 + 6\,x + 9) + 25\,(y^2 - 14\,y + 49) - 100 &=& 0\\    -4\,x^2 - 24\,x - 36 + 25\,y^2 - 350\,y + 1225 - 100 &=& 0\\    -4\,x^2 + 25\,y^2 - 24\,x - 350\,y + 1089 &=& 0 \end{eqnarray*}

Y hemos terminado.



Ejemplo 5

Convierte la ecuación ordinaria de la hipérbola:

    \begin{equation*}    \frac{(x - 5)^2}{576} - \frac{(y + 7)^2}{49} = 1 \end{equation*}

a su forma general.

Multiplicamos ambos lados de la igualdad por 576\times 49 = 28224:

    \begin{eqnarray*}    \frac{28224\,(x - 5)^2}{576} - \frac{28224\,(y + 7)^2}{49} &=& 28224\\    49\,(x - 5)^2 - 576\,(y + 7)^2 - 28224 &=& 0 \end{eqnarray*}

Ahora elevamos al cuadrado ambos binomios y luego simplificamos:

    \begin{eqnarray*}    49\,(x^2 - 10\,x + 25) - 576\,(y^2 + 14\,y + 49) - 28224 &=& 0\\    49\,x^2 - 490\,x + 1225 - 576\,y^2 - 8064\,y - 28224 - 28224 &=& 0\\    49\,x^2 - 576\,y^2 - 490\,x - 8064\,y - 55223 &=& 0 \end{eqnarray*}

Y terminamos.


Y ahora nos vamos con la parte más interesante, que consiste en convertir la ecuación general a la forma ordinaria.

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