Ecuación general de la hipérbola

Ahora vamos a la forma general de la ecuación de la hipérbola. Recuerda que para convertir de la forma ordinaria a la forma general, basta desarrollar las operaciones necesarias para llevar la ecuación ordinaria a la forma:

$\begin{equation*} A\,x^2 + B\,y^2 + D\,x + E\,y + F = 0 \end{equation*}$

independientemente de que el centro de la hipérbola esté o no en el origen del sistema de coordenadas.

Contenido

1 Conversión de la forma ordinaria a la forma general
2 Ejemplo 1
3 Ejemplo 2
4 Ejemplo 3
5 Ejemplo 4
6 Ejemplo 5

Conversión de la forma ordinaria a la forma general

Ejemplo 1

Expresa la ecuación ordinaria de la hipérbola:

$\begin{equation*} \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{25} = 1 \end{equation*}$

en la forma general.

Empezamos multiplicando ambos lados de la igualdad por $16 \times 25 = 400$

$\begin{eqnarray*} \frac{400\cdot x^2}{16} - \frac{400\cdot y^2}{25} &=& 400\\ 25\,x^2 - 16\,y^2 - 400 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Y hemos terminado.

Ejemplo 2

Convierte la ecuación ordinaria de la hipérbola

$\begin{equation*} -\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1 \end{equation*}$

a su forma general.

Empezamos multiplicando por $64\times 16 = 1024$

ambos lados de la igualdad:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1024\cdot x^2}{64} + \frac{1024\cdot y^2}{16} &=& 1024\\ -16\,x^2 + 64\,y^2 -1024 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Y hemos terminado.

Ejemplo 3

Convierte la ecuación ordinaria de la hipérbola:

$\begin{equation*} \frac{(x-4)^2}{16} - \frac{(y - 1)^2}{9} = 1 \end{equation*}$

a su forma general.

Empezamos multiplicando ambos lados de la igualdad por $16\times 9 = 144$

$\begin{eqnarray*} \frac{144\,(x-4)^2}{16} - \frac{144\,(y - 1)^2}{9} &=& 144\\ 9\,(x-4)^2 - 16\,(y - 1)^2 &=& 144 \end{eqnarray*}$

Ahora debemos elevar al cuadrado los binomios que están indicados:

$\begin{eqnarray*} 9\,(x^2 - 8\,x + 16) - 16\,(y^2 - 2\,y + 1) - 144 &=& 0\\ 9\,x^2 - 72\,x + \cancel{144} - 16\,y^2 + 32\,y - 16 - \cancel{144} &=& 0\\ 9\,x^2 - 16\,y^2 - 72\,x + 32\,y - 16 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Y hemos terminado multiplicando por cada factor dentro del paréntesis y después ordenando los términos.

Ejemplo 4

Convierte la ecuación odinaria de la hipérbola:

$\begin{equation*} -\frac{(x + 3)^2}{25} + \frac{(y - 7)^2}{4} = 1 \end{equation*}$

a su forma general.

En este caso multiplicaremos primero la ecuación por $25 \times 4 = 100$

$\begin{eqnarray*} -\frac{100\,(x + 3)^2}{25} + \frac{100\,(y - 7)^2}{4} &=& 100\\ -4\,(x + 3)^2 + 25\,(y - 7)^2 - 100 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Y ahora vamos a elevar al cuadrado los binomios y a simplificar:

$\begin{eqnarray*} -4\,(x^2 + 6\,x + 9) + 25\,(y^2 - 14\,y + 49) - 100 &=& 0\\ -4\,x^2 - 24\,x - 36 + 25\,y^2 - 350\,y + 1225 - 100 &=& 0\\ -4\,x^2 + 25\,y^2 - 24\,x - 350\,y + 1089 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Y hemos terminado.

Ejemplo 5

Convierte la ecuación ordinaria de la hipérbola:

$\begin{equation*} \frac{(x - 5)^2}{576} - \frac{(y + 7)^2}{49} = 1 \end{equation*}$

a su forma general.

Multiplicamos ambos lados de la igualdad por $576\times 49 = 28224$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{28224\,(x - 5)^2}{576} - \frac{28224\,(y + 7)^2}{49} &=& 28224\\ 49\,(x - 5)^2 - 576\,(y + 7)^2 - 28224 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Ahora elevamos al cuadrado ambos binomios y luego simplificamos:

$\begin{eqnarray*} 49\,(x^2 - 10\,x + 25) - 576\,(y^2 + 14\,y + 49) - 28224 &=& 0\\ 49\,x^2 - 490\,x + 1225 - 576\,y^2 - 8064\,y - 28224 - 28224 &=& 0\\ 49\,x^2 - 576\,y^2 - 490\,x - 8064\,y - 55223 &=& 0 \end{eqnarray*}$