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Ecuación general de la elipse

Aprenderás a convertir la ecuación ordinaria de la elipse a la forma general.

Como en las cónicas anteriores, para calcular la ecuación general de la elipse, a partir de la ecuación en su forma ordinaria, vamos a expresarla en la forma:

    \begin{equation*} A\,x^2 + B\,y^2 + D\,x + E\,y + F = 0 \end{equation*}

Si la ecuación corresponde a una elipse, entonces los signos de A y B deben ser iguales.

Conversión de la forma ordinaria a la forma general

Ejemplo 1

Calcula la ecuación general de la siguiente elipse:

    \begin{equation*} \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1 \end{equation*}

Esta ecuación es la que encontramos en el ejemplo que se resolvió previamente. Ahora solamente vamos a multiplicar ambos lados de la igualdad por 25 y después por 16:

    \begin{eqnarray*} 16\,x^2 + 25\,y^2 &=& 400\\ 16\,x^2 + 25\,y^2 - 400 &=& 0 \end{eqnarray*}

Esta es la ecuación de la elipse, pero en la forma general.

Ejemplo 2

Calcula la ecuación (en su forma general) de la elipse con centro en el origen, y uno de sus focos es el punto F(2,0) y un vértice está en V(6,0).

Es muy fácil calcular la ecuación de la elipse.

    \begin{equation*} \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{32} = 1 \end{equation*}

Ahora solamente vamos a transformarla a la forma general:

    \begin{eqnarray*} 32\,x^2 + 36\,y^2 &=& 1152\\ 32\,x^2 + 36\,y^2 - 1152 &=& 0 \end{eqnarray*}

Ejemplo 3

Calcula la ecuación de la elipse que tiene su centro en el punto C(-5,2), uno de sus focos está en el punto F(7,2) y un vértice en V(8,2).

Primero calculamos la ecuación en forma ordinaria de esta elipse.

    \begin{equation*} \frac{(x + 5)^2}{169} + \frac{(y - 2)^2}{25} = 1 \end{equation*}

Ahora solamente la vamos a escribir en la forma general. Empezamos multiplicando ambos lados de la igualdad por los denominadores de las fracciones:

    \begin{eqnarray*} 25\,(x + 5)^2 + 169\,(y - 2)^2 &=& 4\,225\\ 25\,(x + 5)^2 + 169\,(y - 2)^2 - 4\,225 &=& 0 \end{eqnarray*}

Ahora desarrollamos los binomios que están elevados al cuadrado:

    \begin{eqnarray*} 25\,\left(x^2 + 10\,x + 25\right) + 169\,\left(y^2 - 2\,y + 4\right) - 4\,225 &=& 0\\ 25\,x^2 + 250\,x + 625 + 169\,y^2 - 338\,y + 676 - 4\,225 &=& 0\\ 25\,x^2 + 250\,x + 169\,y^2 - 338\,y - 2\,924 &=& 0 \end{eqnarray*}

Y hemos terminado.

Ejemplo 4

Calcula la ecuación de la elipse horizontal que tiene una excentricidad de e = 0.8, con centro en el punto C(5,4) y cuya distancia del centro al foco es de 4 unidades.

Empezamos calculando la ecuación en forma ordinaria de esta elipse.

    \begin{equation*} \frac{(x - 5)^2}{25} + \frac{(y - 4)^2}{9} = 1 \end{equation*}

Ahora la transformamos a la forma general:

    \begin{eqnarray*} 9\,(x - 5)^2 + 25\,(y - 4)^2 &=& 225\\ 9\,(x - 5)^2 + 25\,(y - 4)^2 - 225 &=& 0 \end{eqnarray*}

Ahora desarrollamos los binomios que están elevados al cuadrado:

    \begin{eqnarray*} 9\,\left(x^2 - 10\,x + 25\right) + 25\,\left(y^2 - 8\,y + 16\right) - 225 &=& 0\\ 9\,x^2 - 90\,x + 225 + 25\,y^2 - 200\,y + 400 - 225 &=& 0\\ 9\,x^2 - 90\,x + 25\,y^2 - 200\,y + 400 &=& 0 \end{eqnarray*}

Y hemos terminado.

Ejemplo 5

Calcula la ecuación de la elipse que tiene los extremos de su eje menor en los puntos B(5,-5) y B'(-1,-5) y uno de sus vértices es el punto V(6,-5).

La ecuación de esta elipse en forma ordinaria es muy fácil de calcular:

    \begin{equation*} \frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 5)^2}{16} = 1 \end{equation*}

Ahora la transformamos a la forma general:

    \begin{eqnarray*} 16\,(x - 2)^2 + 9\,(y + 5)^2 &=& 144\\ 16\,(x - 2)^2 + 9\,(y + 5)^2 - 144 &=& 0\\ 16\,\left(x^2 - 4\,x + 4\right) + 9\,\left(y^2 + 10\,y + 25\right) - 144 &=& 0\\ 16\,x^2 - 32\,x + 64 + 9\,y^2 + 90\,y + 225 - 144 &=& 0\\ 16\,x^2 - 32\,x + 9\,y^2 + 90\,y + 145 &=& 0 \end{eqnarray*}

Y listo.

En resumen, para convertir de la forma ordinaria a la forma general, basta con multiplicar ambos lados de la ecuación por cada uno de los denominadores que aparecen en la ecuación, después desarrollar los binomios (en caso de que el centro de la elipse esté fuera del origen) y simplificar. Recuerda que la ecuación debe quedar igualada a cero.

Como hemos visto con la parábola y la circunferencia, la parte más interesante llega cuando convertimos la ecuación general a la forma ordinaria, que es el siguiente tema que estudiaremos.

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