Ecuación general de la circunferencia

Hasta aquí hemos calculado la ecuación de la circunferencia dejándola como la suma de binomios al cuadrado igualada a una constante positiva. Ahora vamos a ir un paso más allá. Vamos a desarrollar los binomios y vamos a escribir la ecuación igualada a cero.

Contenido

1 Ecuación general de la circunferencia
2 Conversión de forma ordinaria a forma general
3 Ejemplo 1
4 Ejemplo 2
5 Ejemplo 3
6 Ejemplo 4
7 Ejemplo 5

Ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de la circunferencia es:

$\begin{equation*} x^2 + y^2 + D\,x + E\,y + F = 0 \end{equation*}$

donde los coeficientes $D,E,F$ son números reales.

Conversión de forma ordinaria a forma general

Siempre que calculabamos la ecuación de una circunferencia nos quedábamos con la forma ordinaria. Ahora vamos a empezar a convertir de la forma ordinaria a la forma general.

Ejemplo 1

Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen en la forma general.

Ya sabemos que la forma ordinaria es:

$\begin{equation*} (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \end{equation*}$

Lo único que debemos hacer es desarrollar los binomios y simplificar:

$\begin{eqnarray*} (x - h)^2 + (y - k)^2 &=& r^2\\ x^2 - 2\,hx + h^2 + y^2 - 2\,ky + k^2 - r^2 &=& 0\\ x^2 + y^2 - 2\,hx - 2\,ky + h^2 + k^2 - r^2 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Entonces, si conocemos el centro del la circunferencia $C(h,k)$ y su radio $~r~$ , podemos fácilmente convertir de la forma ordinaria a la forma general usando las siguiente definiciones: $D = - 2\,h$ , $E = -2\,k$ , y $F = h^2 + k^2 - r^2$ .

En el curso de álgebra estudiamos el desarrollo del binomio al cuadrado. Si no recuerdas el procedimiento es una buena idea recordarlo estudiándolo de nuevo.

Ejemplo 2

Transforma la ecuación de la circunferencia $(x - 9)^2 + (y - 1)^2 = 25$ a la forma general.

Desarrollamos los binomios al cuadrado y simplificamos:

$\begin{eqnarray*} (x - 9)^2 + (y - 1)^2 &=& 25\\ x^2 - 18\,x + 81 + y^2 - 2\,y + 1 - 25 &=& 0\\ x^2 + y^2 - 18\,x - 2\,y + 81 + 1 - 25 &=& 0\\ x^2 + y^2 - 18\,x - 2\,y + 57 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Ahora verifica que obtenemos el mismo resultado sustituyendo los valores de $h,k$ y $~r~$ en las fórmulas para transformar la ecuación de la circunferencia.

Ejemplo 3

Calcula la ecuación en forma general de la circunferencia que tiene su centro en el punto $C(7,2)$ y es tangente a la recta: $3\,x - y + 5 = 0$ .

En este caso, no podemos conocer inmediatamente la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria, porque no conocemos el valor de $~r~$

. Primero vamos a calcular $~r~$

, después vamos a calcular la ecuación de la circunferencia en su forma ordinaria y finalmente la vamos a transformar a la forma general. La medida del radio es igual a la distancia del punto $C(7,2)$

a la recta: $3\,x - y + 5 = 0$

$\begin{equation*} r = \frac{|3\,(7) - (2) + 5|}{\sqrt{(3)^2 + (-1)^2}} = \frac{|21 - 2 + 5|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|24|}{\sqrt{10}} \end{equation*}$

Ahora que conocemos el valor de $~r~$ podemos calcular la ecuación en forma ordinaria:

$\begin{equation*} (x - 7)^2 + (y - 2)^2 = \left(\displaystyle\frac{24}{\sqrt{10}}\right)\qquad\Rightarrow\qquad (x - 7)^2 + (y - 2)^2 = \displaystyle\frac{576}{10} \end{equation*}$

Y finalmente vamos a transformarla a la forma general:

$\begin{eqnarray*} (x - 7)^2 + (y - 2)^2 &=& \displaystyle\frac{576}{10}\\ x^2 - 14\,x + 49 + y^2 - 4\,y + 4 - \displaystyle\frac{576}{10} &=& 0\\ x^2 + y^2 - 14\,x - 4\,y + 49 + 4 - 57.6 &=& 0 \end{eqnarray*}$

La ecuación que queríamos calcular es:

$\begin{equation*} x^2 + y^2 - 14\,x - 4\,y - 4.6 = 0 \end{equation*}$

Ejemplo 4

En la lección Ecuaciones de las rectas notables del triángulo calculamos las mediatrices del triángulo que tiene sus vértices en los puntos $A(1,-2)$ , $B(3,6)$ y $C(-2,1)$ . El punto donde se cortan estas mediatrices es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo. Encuentra la ecuación de esa circunferencia en su forma general.

Las ecuaciones de las mediatrices de los lados de ese triángulo son las siguientes:

$\begin{eqnarray*} x + 4\,y - 10 &=& 0\\ x + y - 4 &=& 0\\ y &=& x \end{eqnarray*}$

Para encontrar el punto donde se cortan sustituimos $y=x$ en cualquiera de las dos primeras ecuaciones:

$\begin{eqnarray*} x + 4\,y - 10 &=& 0\\ x + 4\,x - 10 &=& 0\\ 5\,x &=& 10\\ x &=& 2 \end{eqnarray*}$

Y ya sabemos que: $y = x = 2$ . Entonces, el centro de la circunferencia está en el punto $C(2,2)$ . Ahora calculamos la longitud del radio con la fórmula de distancia entre dos puntos. Sabemos que la circunferencia pasa por los tres vértices del triángulo.

$\begin{eqnarray*} r &=& \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - (-2))^2}\\ &=& \sqrt{(1)^2 + (4))^2}\\ &=& \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17}\ \end{eqnarray*}$

Ahora calculamos la ecuación en forma ordinaria y la transformamos a la forma general:

$\begin{eqnarray*} (x - 2)^2 + (y - 2)^2 &=& \left(\sqrt{17}\right)^2\\ x^2 - 4\,x + 4 + y^2 - 4\,y + 4 &=& 17\\ x^2 + y^2 - 4\,x - 4\,y - 9 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Ahora grafica el triángulo, sus tres mediatrices y la circunferencia en un plano cartesiano en tu cuaderno.

Ejemplo 5

Calcula la ecuación de la circunferencia en su forma general que pasa por el punto $Q(0,4)$ y que es tangente a la recta: $2\,x - 3\,y - 1 = 0$ en el punto $P(5,3)$ .

Vamos a dibujar la situación antes de iniciar con las ecuaciones.

Sabemos que $r= |\overline{CP}| = |\overline{CQ}|$ . Algebraicamente tenemos:

$\begin{eqnarray*} |\overline{CQ}| &=& |\overline{CP}|\\ \sqrt{(h - 0)^2 + (k - 4)^2} &=& \sqrt{(h - 5)^2 + (k - 3)^2}\\ (h - 0)^2 + (k - 4)^2 &=& (h - 5)^2 + (k - 3)^2\\ h^2 + k^2 - 8\,k + 16 &=& h^2 - 10\,h + 25 + k^2 - 6\,k + 9\\ 10\,h - 2\,k &=& 18 \end{eqnarray*}$

Por otra parte, podemos conocer la pendiente de la recta tangente expresando su ecuación en la forma pendiente-ordenada al origen:

$\begin{eqnarray*} 2\,x - 3\,y - 1 &=& 0\\ 2\,x - 1 &=& 3\,y\\ \frac{2}{3}\,x - \frac{1}{3} &=& y \end{eqnarray*}$

Entonces, $m_{\ell} = \displaystyle\frac{2}{3}$ . Como el radio $\overline{CP}$ es perpendicular a esta recta, tenemos que:

$\begin{equation*} m_{CP} = -\displaystyle\frac{1}{m_{\ell}} = -\displaystyle\frac{3}{2} \end{equation*}$

Pero también podemos calcular la pendiente a partir de la fórmula de dos puntos:

$\begin{eqnarray*} m_{CP} = \displaystyle\frac{k - 3}{h - 5} &=& -\displaystyle\frac{3}{2}\\ 2\,(k - 3) &=& -3\,(h - 5)\\ 2\,k - 6 &=& -3\,h + 15\\ 3\,h + 2\,k &=& 21 \end{eqnarray*}$

Ahora podemos calcular las coordenadas del centro de la circunferencia resolviendo el siguiente S.E.L.:

$\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcr} 10\,h &-& 2\,k &=& 18\\ 3\,h &+& 2\,k &=& 21 \end{array}$

Al sumar ambas ecuaciones obtenemos: $13\,h = 39$ , que implica $h = 3$ . Para calcular el valor de $k$ sustituimos el valor de $h$ en cualquiera de las ecuaciones del S.E.L.: