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Ecuación de la elipse: conversión de la forma general a la forma ordinaria

Aprenderás a convertir a su forma ordinaria la ecuación de la elipse en su forma general.

Como en los casos de las otras cónicas, para convertir una ecuación de la forma general a la forma ordinaria, utilizaremos el método de factorización conocido como completar cuadrados.


Ejemplo

Convierte a la forma ordinaria la ecuación general de la elipse:

    \begin{equation*}    x^2 + 4\,y^2 - 4 = 0 \end{equation*}

En este caso no se requiere de completar cuadrados. Basta con dividir ambos lados de la igualdad entre 4:

    \begin{equation*}    \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1 \end{equation*}

Y esta es la ecuación de la elipse, pero en forma ordinaria.



Ejemplo 2

Convierte a la forma ordinaria la ecuación general de la elipse:

    \begin{equation*} 4\,x^2 + 16\,y^2 - 8\,x + 32\,y - 44 = 0 \end{equation*}

Ahora si vamos a aplicar el método de completar cuadrados. Empezamos ordenando los términos: primero los que incluyen a x y después los que incluyen a y:

    \begin{equation*}    \left[4\,x^2 - 8\,x \right] + \left[16\,y^2 + 32\,y \right] = 44 \end{equation*}

Factorizamos el coeficiente del término principal de cada binomio:

    \begin{equation*}    4\,\left[x^2 - 2\,x \right] + 16\,\left[y^2 + 2\,y \right] = 44 \end{equation*}

Ahora vamos a sumar en ambos lados de la igualdad el término independiente que convierte a cada binomio en un trinomio cuadrado perfecto:

    \begin{eqnarray*}    4\,\left[x^2 - 2\,x + \textcolor{red}{1}\right] + 16\,\left[y^2 + 2\,y + \textcolor{blue}{1}\right] &=& 44 + \textcolor{red}{4} + \textcolor{blue}{16}\\    4\,(x - 1)^2 + 16\,(y + 1)^2 &=& 64 \end{eqnarray*}

Al dividir ambos lados de la igualdad entre 64 obtenemos la ecuación en la forma ordinaria:

    \begin{equation*}    \frac{(x - 1)^2}{16} + \frac{(y + 1)^2}{4} = 1 \end{equation*}

Y hemos terminado. A partir de esta ecuación podemos muy fácilmente calcular todos los elementos de la elipse.



Ejemplo 3

Calcula todos los elementos de la elipse cuya ecuación es:

    \begin{equation*}    9\,x^2 + 25\,y^2 + 18\,x - 100\,y - 116 = 0  \end{equation*}

y grafícala.

Empezamos convirtiendo la ecuación de la elipse en su forma ordinaria:

    \begin{eqnarray*}    \left[9\,x^2 + 18\,x \right] + \left[25\,y^2 - 100\,y\right] &=& 116\\    9\,\left[x^2 + 2\,x \right] + 25\,\left[y^2 - 4\,y\right] &=& 116\\    9\,\left[x^2 + 2\,x + \textcolor{red}{1}\right] + 25\,\left[y^2 - 4\,y + \textcolor{blue}{4}\right] &=& 116 + \textcolor{red}{9} + \textcolor{blue}{100}\\    9\,(x + 1)^2 + 25\,(y - 2)^2 &=& 225 \end{eqnarray*}

Ahora solamente dividimos ambos lados de la igualdad entre 225 y obtenemos la ecuación de la elipse en su forma ordinaria:

    \begin{equation*}    \frac{(x + 1)^2}{25} + \frac{(y - 2)^2}{9} = 1 \end{equation*}

A partir de esta ecuación es muy fácil darse cuenta que:

    \begin{eqnarray*}    a = 5 \qquad b = 3 && c = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{25 - 9} = 4\\    h = -1\qquad k = 2 && \end{eqnarray*}

Además, la elipse es horizontal, porque a está en el denominador de la fracción que contiene a x. Conociendo estos valores podemos enlistar todos los elementos de la elipse:

    \begin{eqnarray*}    C(-1,2) && \\    V(4,2) \qquad V'(-6,2)&& F(3,2) \qquad F'(-5,2)\\    \mbox{Longitud del eje mayor:} && 10\mbox{ unidades}\\    \mbox{Longitud del eje menor:} && 6\mbox{ unidades}\\    e = \frac{4}{5} = 0.8 && \end{eqnarray*}

Y la gráfica de esta elipse es la siguiente:

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Observa que es mucho más fácil de graficar la elipse cuando conocemos su ecuación en la forma ordinaria.
Igualmente, es mucho más sencillo calcular todos sus elementos a partir de la forma ordinaria.
Por eso es muy importante saber transformar la ecuación de la forma general a la forma ordinaria.



Ejemplo 4

Calcula todos los elementos de la elipse cuya ecuación es:

    \begin{equation*}    25\,x^2 + 16\,y^2 - 250\,x - 32\,y + 241 = 0 \end{equation*}

y grafícala.

Empezamos convirtiendo la ecuación a la forma ordinaria:

    \begin{eqnarray*}    25\,x^2 + 16\,y^2 - 250\,x - 32\,y &=& -241\\    \left[25\,x^2 - 250\,x\right] + \left[16\,y^2 - 32\,y\right] &=& -241\\    25\,\left[x^2 - 10\,x\right] + 16\,\left[y^2 - 2\,y\right] &=& -241\\    25\,\left[x^2 - 10\,x + \textcolor{red}{25}\right] + 16\,\left[y^2 - 2\,y + \textcolor{blue}{1}\right] &=& -241 + \textcolor{red}{625} + \textcolor{blue}{16}\\    25\,(x - 5)^2 + 16\,(y - 1)^2&=& 400 \end{eqnarray*}

Dividiendo ambos lados de la ecuación entre 400 obtenemos:

    \begin{equation*}    \frac{(x - 5)^2}{16} + \frac{(y - 1)^2}{25} = 1 \end{equation*}

De esta ecuación en la forma ordinaria deducimos rápidamente que:

    \begin{eqnarray*}    a = 5 \qquad b = 4 && c = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{25 - 16} = 3\\    h = 5\qquad k = 1 && \end{eqnarray*}

Observa que la elipse es vertical. Y a partir de estos valores, podemos calcular los elementos de la elipse:

    \begin{eqnarray*}    C(5,1) && \\    V(5,6) \qquad V'(5,-4)&& F(5,4) \qquad F'(5,-2)\\    \mbox{Longitud del eje mayor:} && 10\mbox{ unidades}\\    \mbox{Longitud del eje menor:} && 8\mbox{ unidades}\\    e = \frac{3}{5} = 0.6 && \end{eqnarray*}

Se te queda como ejercicio graficar la elipse.


En todos los ejemplos que hemos resuelto en esta sección, las coordenadas de los elementos de la elipse han sido valores enteros. Como es obvio suponer, eso no siempre ocurrirá así. Algunas veces encontraremos coordenadas que incluyen raíces, aún cuando la mayoría tenga valores enteros. Esto se debe a la relación que existe entre a, b y c:

    \begin{equation*}    a^2 = b^2 + c^2 \end{equation*}

Pues generalmente conoceremos dos de estos tres valores y el otro tendrá que ser calculado a partir de la relación anterior.


Ejemplo 5

Calcula todos los elementos de la elipse cuya ecuación es:

    \begin{equation*}    16\,x^2 + 4\,y^2 + 32\,x - 8\,y - 44 = 0 \end{equation*}

y grafícala.

Empezamos completando cuadrados:

    \begin{eqnarray*}    16\,x^2 + 32\,x + 4\,y^2 - 8\,y &=& 44\\    16\,\left[x^2 + 2\,x\right] + 4\,\left[y^2 - 2\,y\right] &=& 44\\    16\,\left[x^2 + 2\,x + \textcolor{red}{1}\right] + 4\,\left[y^2 - 2\,y + \textcolor{blue}{1}\right] &=& 44 + \textcolor{red}{16} + \textcolor{blue}{4}\\    16\,(x + 1)^2 + 4\,(y - 1)^2 &=& 64\\    \frac{(x + 1)^2}{4} + \frac{(y - 1)^2}{16} &=& 1 \end{eqnarray*}

De nuevo, esta elipse es vertical. A partir de la ecuación se deducen:

    \begin{eqnarray*}    a = 4 \qquad b = 2 && c = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\\    h = -1\qquad k = 1 && \end{eqnarray*}

Y sus elementos son:

    \begin{eqnarray*}    C(-1,1) && \\    V(-1,5) \qquad V'(-1,-3)&& F(-1, 1 + 2\,\sqrt{3}) \qquad F'(-1, 1 - 2\,\sqrt{3})\\    \mbox{Longitud del eje mayor:} && 8\mbox{ unidades}\\    \mbox{Longitud del eje menor:} && 4\mbox{ unidades}\\    e = \frac{2\sqrt{3}}{4}  = \frac{\sqrt{3}}{2}&& \end{eqnarray*}

Se te queda como ejercicio graficar esta elipse.


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