Ecuación de la Elipse con centro fuera del origen

La siguiente extensión al caso de la ecuación de la elipse en su primera forma ordinaria es considerar con centro fuera del origen, lo que nos lleva a la segunda forma ordinaria.

Contenido

1 Ecuación de la elipse en su segunda forma ordinaria
2 Ejemplo 1
3 Ejemplo 2
4 Ejemplo 3
5 Ejemplo 4
6 Ejemplo 5

Ecuación de la elipse en su segunda forma ordinaria

La ecuación de la elise con centro en el punto $C(h,k)$ es:

$\begin{equation*} \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \end{equation*}$

donde $a$ es la mitad de la longitud del eje mayor y $b$ es la mitad de la longitud del eje menor.

Geométricamente tenemos la siguiente situación:

Como era de esperarse, las fórmulas para el cálculo de los focos, sus vértices, etc. cambian. Por ejemplo, para calcular los vértices de la elipse horizontal, ahora utilizaremos las fórmulas:

$\begin{eqnarray*} V(h + a, k) &\mbox{ y }& V'(h - a , k) \end{eqnarray*}$

Y para el caso de la elipse vertical tenemos:

$\begin{eqnarray*} V(h, k + a) &\mbox{ y }& V'(h , k - a) \end{eqnarray*}$

Por su parte los focos de la elipse horizontal se calculan con:

$\begin{eqnarray*} F(h + c,k) &\mbox{ y }& F'(h - c , k) \end{eqnarray*}$

Y para la elipse vertical:

$\begin{eqnarray*} F(h ,k + c) &\mbox{ y }& F'(h , k - c) \end{eqnarray*}$

Ejemplo 1

Calcula la ecuación de la elipse horizontal que tiene su centro en el punto $C(2,-1)$ y cuyo eje mayor mide 10 unidades y el eje menor mide 6 unidades.

Del texto del problema es facil ver que $h = 2$

y que $k = -1$

. También $a = 5$

y $b = 3$

. Luego, la ecuación de esta elipse es:

$\begin{equation*} \frac{(x - 2)^2}{25} + \frac{(y + 1)^2}{9} = 1 \end{equation*}$

A partir de los valores de $a$ y $b$ podemos calcular el valor de $c$ :

$\begin{equation*} c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \end{equation*}$

Los focos de esta elipse están en los puntos:

$\begin{eqnarray*} F(h + c,k) = F(6,-1) &\mbox{ y }& F'(h - c , k) = F'(-2,-1) \end{eqnarray*}$

Los vértices están en:

$\begin{eqnarray*} V(h + a, k) = V(7,-1) &\mbox{ y }& V'(h - a, k) = V'(-3 , -1) \end{eqnarray*}$

La gráfica de esta elipse es la siguiente:

La excentricidad de esta elipse es:

$\begin{equation*} e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0.6 \end{equation*}$

Ejemplo 2

Calcula la ecuación de la elipse que tiene su centro en el punto $C(-5,2)$ , uno de sus focos está en el punto $F(7,2)$ y un vértice en $V(8,2)$ .

A partir de las coordenadas del centro conocemos los valores de $h$

y $k$

: $h = -5$

y $k = 2$

. Usando las fórmulas para el foco y el vértice podemos calcular los valores de $a$

y $c$

. Empezamos calculando el valor de $a$

a partir de la coordenada del vértice y el valor de $h$

$\begin{equation*} 8 = -5 + a\qquad\Rightarrow\qquad a = 13 \end{equation*}$

De manera semejante, aplicamos la fórmula para calcular la coordenada del foco y así encontramos el valor de $c$ :

$\begin{equation*} 7 = -5 + c\qquad\Rightarrow\qquad c = 12 \end{equation*}$

A partir de los valores de $a$ y $c$ podemos calcular el valor de $b$ :

$\begin{equation*} b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5 \end{equation*}$

Ahora podemos escribir la ecuación de la elipse:

$\begin{equation*} \frac{(x + 5)^2}{169} + \frac{(y - 2)^2}{25} = 1 \end{equation*}$

La excentricidad de esta elipse es:

$\begin{equation*} e = \frac{c}{a} = \frac{12}{13} \approx 0.9230769321 \end{equation*}$

Se te queda como ejercicio graficar esta elipse.

Observa cómo es que en estos problemas el truco consiste en conocer los valores de $a$ , $b$ , $c$ , $h$ y $k$ . Una vez que conozcamos sus valores, podemos calcular la ecuación de la elipse. De hecho, conociendo dos de los valores $a,b,c$ , podemos calcular el tercero utilizando la relación:

$\begin{equation*} a^2 = b^2 + c^2 \end{equation*}$

Los valores de $h$ y $k$ que corresponden al centro de la elipse servirán para escribir la ecuación de la elipse en su segunda forma ordinaria, que corresponde a las que tienen su centro fuera del origen.

Recuerda que elaborar una gráfica con los datos que provee el texto del problema siempre nos ayuda a reconocer información geométrica y calcular, sin el uso de las fórmulas, alguno o algunos de los valores de $a$ , $b$ y/o $c$ . Inclusive, también el de las coordenadas del centro en ciertos casos.

Ejemplo 3

Calcula la ecuación de la elipse que tiene sus vértices en $V'(-6,2)$ y $V(4,2)$ , y los extremos del eje menor son los puntos $B(-1,6)$ y $B'(-1,-2)$ .

En este caso, es más conveniente empezar dibujando la elipse para poder tener una mejor idea del problema que estamos enfrentando.

A partir de la gráfica es muy sencillo descubrir las coordenadas del centro de la elipse, pues es el punto donde se intersectan los ejes mayor y menor de la elipse: $C(-1,2)$ . Así también podemos conocer los valores de $a = 5$ y $b = 4$ .

Vamos a calcular el valor de $c$ :

$\begin{equation*} c =\sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \end{equation*}$

Por lo tanto, los focos de esta elipse están en:

$\begin{eqnarray*} F(2,2) &\mbox{ y }& F'(-4,2) \end{eqnarray*}$

Las longitudes de los ejes mayor y menor son: 10 y 8, respectivamente.

Ejemplo 4

Calcula la ecuación de la elipse horizontal que tiene una excentricidad de $e = 0.8$ , con centro en el punto $C(5,4)$ y cuya distancia del centro al foco es de 4 unidades.

La distancia del centro de la elipse a uno de sus focos es $c$

. Por lo que, $c =4$

. A partir de la excentricidad podemos calcular el valor de $a$

$\begin{equation*} e = \frac{c}{a} \qquad\Rightarrow\qquad 0.8 = \frac{4}{a}\qquad\Rightarrow\qquad a = 5 \end{equation*}$

Y con los valores de $a$ y $c$ podemos calcular el valor de $b$ :

$\begin{equation*} b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \end{equation*}$

Entonces, ya tenemos todos los datos que se requieren para conocer la ecuación y todos los elementos de la elipse:

La elipse es horizontal,
$a = 5$ , $b = 3$ y $c = 4$ ,
$h = 5$ y $k=4$ .

La ecuación de esta elipse es:

$\begin{equation*} \frac{(x - 5)^2}{25} + \frac{(y - 4)^2}{9} = 1 \end{equation*}$

A partir de los valores de $h$ , $k$ , $a$ y $c$ podemos fácilmente calcular las coordenadas de los focos y de los vértices de la elipse. Su gráfica es la siguiente:

Ejemplo 5

Calcula la ecuación de la elipse que tiene los extremos de su eje menor en los puntos $B(5,-5)$ y $B'(-1,-5)$ y uno de sus vértices es el punto $V(6,-5)$ .

A partir de las coordenadas de los extremos del eje menor podemos calcular su longitud. Y $b$

es precisamente la mitad de ese valor: $b = 3$

. El centro de la elipse está en el punto medio de los extremos del eje menor: $C(2,-5)$

. El valor de $a$

es igual a la distancia desde el centro hasta uno de sus vértices: $a = 4$

A partir de los valores de $a$ y $b$ podemos calcular el valor de $c$ :

$\begin{equation*} c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \end{equation*}$

Ahora podemos calcular las coordenadas de los focos y del vértice faltante:

$\begin{eqnarray*} && V'(h, k - a) = V'(2, -9)\\ F(h, k + c) = F(2, -5 + \sqrt{7}) && F'(h, k - c) = F'(2, - 5 - \sqrt{7}) \end{eqnarray*}$

Se te queda como ejercicio graficar esta elipse. Observa que esta elipse es vertical. Eso ocasiona que los coeficientes $a$ y $b$ queden cambiados en su ecuación:

$\begin{equation*} \frac{(x - 2)^2}{9} + \frac{(y + 5)^2}{16} = 1 \end{equation*}$