Ecuación de la circunferencia con centro fuera del origen

Ejemplo 4

Calcula la ecuación de la circunferencia circunscrita a un triángulo, sabiendo que dos de sus mediatrices son las rectas $\ell_1:\; 3\,x + y - 8 = 0$ y $\ell_2:\; x - y = 0$ , y pasa por el punto $P(6,5)$ .

De nuevo, es mejor empezar dibujando la situación. Pero debemos primero graficar las rectas. La mediatriz $\ell_2:\; x - y = 0$

es muy sencilla de graficar. La mediatriz $\ell_1:\; 3\,x + y - 8 = 0$

pasa por los puntos $A(1,5)$

y $B(3,-1)$

Debemos calcular el punto donde se intersectan las dos mediatrices del triángulo. Para eso debemos resolver el sistema de ecuaciones lineales formado por sus ecuaciones.

$\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcr} 3\,x &+& y &=& 8\\ x &-& y &=& 0 \end{array}$

Al sumar ambas ecuaciones obtenemos: $4\,x = 8$ , que implica $x = 2$ . Pero ya sabemos por la mediatriz $\ell_2$ que $y = x = 2$ . Entonces, el centro de la circunferencia es $C(2,2)$ . Calculemos su radio. Sabemos que la circunferencia pasa por el punto $P(6,5)$ . El radio es la distancia entre los puntos $C(2,2)$ y $P(6,5)$ .

$\begin{eqnarray*} r &=& \sqrt{(6 - 2)^2 + (5 - 2)^2}\\ &=& \sqrt{(4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} \\ &=& \sqrt{25} = 5 \end{eqnarray*}$

Ahora que conocemos el radio y el centro de la circunferencia, podemos calcular su ecuación:

$\begin{eqnarray*} (x - 2)^2 + (y - 2)^2 &=& (5)^2\\ (x - 2)^2 + (y - 2)^2 &=& 25 \end{eqnarray*}$

Ejemplo 5

Calcula la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta $2\,x - y - 2 = 0$ , y que tiene su centro en el punto $C(0,3)$ .

Dibujamos la situación en un sistema de coordenadas:

De la figura vemos que el radio de la circunferencia es igual a la distancia desde la recta $2\,x - y - 2 = 0$ hasta el punto $C(0,3)$ . Vamos a utilizar la fórmula de distancia de un punto a una recta para calcular la longitud del radio:

$\begin{eqnarray*} r &=& \displaystyle\frac{|A\,x_0 + B\,y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\\ &=& \displaystyle\frac{|2\,(0) -1\,(3) - 2|}{\sqrt{(2)^2 + (-1)^2}}\\ &=& \displaystyle\frac{|-5|}{\sqrt{4 + 1}}\\ &=& \displaystyle\frac{5}{\sqrt{5}} = \frac{5\,\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{5\,\sqrt{5}}{5} = \sqrt{5}\\ \end{eqnarray*}$

Entonces, el radio mide $\sqrt{5}$ unidades. Ahora podemos calcular la ecuación de la circunferencia:

$\begin{eqnarray*} (x - 0)^2 + (y - 2)^2 &=& \left(\sqrt{5}\right)^2\\ x^2 + (y - 2)^2 &=& 5\\ \end{eqnarray*}$

Cuando encuentres un problema que no te da mucha información, es posible resolverlo si trabajas con orden y vas encontrarndo sugerencias conforme avanzas en su solución. Algunas veces encontrarás un sistema de ecuaciones lineales, en otros casos encontrarás una ecuación cuadrática, pero siempre (al menos en este curso), encontrarás suficiente información para resolver el problema. Pero recuerda, es importante hacer un dibujo para reconocer toda la información contenida en el texto de problema, porque muchas veces estará «escondida», es decir, no estará escrita explícitamente, sino que deberás darte cuenta por la situación geométrica.

Ejemplo 6

Calcula la ecuación de la circunferencia que es tangente a la recta $3\,x - 4\,y = 2$ en el punto $P(2,1)$ y que pasa por el origen.

En este caso necesitamos calcular primero las coordenadas del centro $C(h,k)$

de la circunferencia. Para esto empezamos dibujando la situación en un sistema de coordenadas:

De la figura se hace evidente que: $r = |\segm{OC}| = |\segm{CP}|$ . Así que de esa condición podemos obtener una ecuación:

$\begin{eqnarray*} r = |\segm{OC}| &=& |\segm{CP}|\\ \sqrt{(h - 0)^2 + (k - 0)^2} &=& \sqrt{(h - 2)^2 + (k - 1)^2}\\ (h - 0)^2 + (k - 0)^2 &=& (h - 2)^2 + (k - 1)^2\\ \cancel{\textcolor{red}{h^2}} + \cancel{\textcolor{blue}{k^2}} &=& \cancel{\textcolor{red}{h^2}} - 4\,h + 4 + \cancel{\textcolor{blue}{k^2}} - 2\,k + 1\\ 4\,h + 2\,k &=& 5 \end{eqnarray*}$

Ahora debemos recordar que el radio de una circunferencia siempre es perpendicular a la tangente a la circunferencia que lo corta. Como el radio $\segm{CP}$ es perpendicular a la recta $3\,x - 4\,y = 2$ , sus pendientes cumplen con:

$\begin{equation*} m_{CP} = -\frac{1}{m_{\ell}} \end{equation*}$

Podemos conocer la pendiente de la recta tangente escribiéndola en la forma pendiente-ordenada al origen:

$\begin{equation*} 3\,x - 4\,y = 2\qquad\Rightarrow\qquad y = \frac{3}{4}\,x - \frac{1}{2} \end{equation*}$

Esto nos indica que la pendiente de la recta es: $m_{\ell} = 3/4$ . Entonces, la pendiente del radio es:

$\begin{equation*} m_{CP} = -\frac{1}{m_{\ell}} = -\frac{4}{3} \end{equation*}$

Pero, a partir de la fórmula de pendiente podemos calcularla también:

$\begin{equation*} m_{CP} = \frac{h - 2}{k -1} = -\frac{4}{3} \end{equation*}$

De aquí obtenemos la otra ecuación:

$\begin{eqnarray*} \frac{k -1}{h - 2} = -\frac{4}{3}\qquad&\Rightarrow&\qquad 3\,(k - 1) = -4\,(h - 2)\\ 3\,k - 3 = -4\,h + 8\qquad&\Rightarrow&\qquad 4\,h + 3\,k = 11 \end{eqnarray*}$

Ahora obtuvimos un sistema de ecuaciones lineales en $h,k$ el cual podemos resolver para conocer las coordenadas del centro de la circunferencia:

$\begin{eqnarray*} 4\,h + 2\,k &=& 5\\ 4\,h + 3\,k &=& 11 \end{eqnarray*}$

Primero multiplicamos la primera ecuación por $-1$ , sumamos las ecuaciones y obtenemos:

$\setlength{\arraycolsep}{.1111em} \begin{array}{rcrcr} -\cancel{4\,h} &-& 2\,k &=& -5\\ \cancel{4\,h} &+& 3\,k &=& 11\\\hline & & k &=& 6 \end{array}$

Ahora podemos conocer el valor de $h$ sustituyendo el valor de $k$ en cualquiera de las ecuaciones:

$\begin{equation*} 4\,h + 2\,(6) = 5\qquad\Rightarrow\qquad 4\,h = 5 - 12\qquad\Rightarrow\qquad h = -\frac{7}{4} = -1.75 \end{equation*}$

Entonces, el centro de la circunferencia está en: $C(-1.75,6)$ . Para poder calcular la ecuación de la circunferencia nos falta conocer el radio. Vamos a calcularlo usando la fórmula de distancia entre dos puntos. El más fácil de usar es el origen:

$\begin{eqnarray*} r & = & \sqrt{(6 - 0)^2 + (-7/4 - 0)^2}%\qquad\Rightarrow\qquad%\\ = \sqrt{(6)^2 + \left(-\displaystyle\frac{7}{4}\right)^2} = \sqrt{36 + \displaystyle\frac{49}{16}}\\ & = & \sqrt{\displaystyle\frac{576}{16} + \displaystyle\frac{49}{16}} = \sqrt{\displaystyle\frac{625}{16}} = \displaystyle\frac{25}{4} = 6.25 \end{eqnarray*}$

Finalmente, la ecuación de la circunferencia es:

$\begin{eqnarray*} \left(x + \frac{7}{4}\right)^2 + (y - 6)^2 = \left(\frac{25}{4}\right)^2\qquad&\Rightarrow&\qquad \left(x + \frac{7}{4}\right)^2 + (y - 6)^2 = \frac{625}{16}\\ \end{eqnarray*}$

Con esto terminamos.

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Aprenderás a calcular la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen.

Ejemplo 4

Ejemplo 5

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