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Distancia de un punto a una recta

Aprenderás a calcular la distancia de un punto a una recta.

Frecuentemente en geometría nos encontramos con el problema de calcular la distancia desde un punto a una recta.


Distancia de un punto a una recta

La fórmula para calcular la mínima distancia medida desde el punto P(x_1, y_1) hasta la recta \hspace{0.25em}\ell:\hspace{0.25em} A\,x + B\,y + C = 0, es:

    \begin{equation*}    D_{P\ell} = \frac{|A\,x_1 + B\,y_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \end{equation*}


Obviamente, suponemos que el punto en cuestión no está sobre la recta, porque en ese caso, la distancia buscada es cero.

Observa que si el punto P(x_1, y_1) está sobre la recta, entonces satisface su ecuación y como su ecuación, tanto en forma general como en forma normal, están igualadas a cero, al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta en forma normal (que corresponde a fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta) obtenemos cero:

    \begin{equation*}    \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}\,x + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}\,\,y + \frac{C}{\sqrt{A^2 + B^2}} = 0 \end{equation*}


Ejemplo 1

Calcula la distancia desde la recta 5\,x - 12\,y - 10 = 0 hasta el punto P(4,3).

Sustituimos los datos conocidos en la fórmula:

    \begin{eqnarray*}    D &=& \frac{|\textcolor{blue}{A}\,\textcolor{red}{x_1} + \textcolor{blue}{B}\,\textcolor{red}{y_1} + \textcolor{blue}{C}|}{\sqrt{\textcolor{blue}{A}^2 + \textcolor{blue}{B}^2}}\\   &=& \frac{|\textcolor{blue}{5}\,(\textcolor{red}{4}) - \textcolor{blue}{12}\,(\textcolor{red}{3}) - \textcolor{blue}{10}|}{\sqrt{\textcolor{blue}{5}^2 + \textcolor{blue}{12}^2}}   = \frac{|20 - 36 - 10|}{\sqrt{25 + 144}}\\   &=& \frac{|26|}{\sqrt{169}}   = \frac{26}{13} = 2 \end{eqnarray*}

Entonces, desde la recta 5\,x - 12\,y - 10 = 0 hasta el punto P(4,3) hay 2 unidades de distancia.



Ejemplo 2

¿A qué distancia pasa la recta 3\,x + 4\,y + 15 = 0 del origen?

Este problema es equivalente a la siguiente solicitud:

Calcula la distancia desde la recta 3\,x + 4\,y + 15 = 0 hasta el punto P(0,0).

Ahora que conocemos los datos, basta sustituir en la fórmula de distancia de un punto a una recta y realizar las operaciones que quedan indicadas:

    \begin{eqnarray*}    D &=& \frac{|\textcolor{blue}{A}\,\textcolor{red}{x_1} + \textcolor{blue}{B}\,\textcolor{red}{y_1} + \textcolor{blue}{C}|}{\sqrt{\textcolor{blue}{A}^2 + \textcolor{blue}{B}^2}}\\   &=& \frac{|\textcolor{blue}{3}\,(\textcolor{red}{0}) - \textcolor{blue}{4}\,(\textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{15}|}{\sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{blue}{4}^2}}    =  \frac{|0 - 0 + 15|}{\sqrt{25}}\\   &=& \frac{|15|}{5} = 3 \end{eqnarray*}

Entonces, la recta pasa a 3 unidades del origen. Para graficar la recta podemos transformarla a la forma simétrica:

    \begin{eqnarray*}    3\,x + 4\,y + 15 &=& 0 \\    3\,x + 4\,y &=& -15 \\    \frac{3\,x}{-15} + \frac{4\,y}{-15} &=& \frac{-15}{-15}\\    \frac{x}{-5} + \frac{y}{-15/4} &=& 1 \end{eqnarray*}

Ahora podemos graficar la recta y mostrar que la distancia al origen es de 3 unidades:

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La fórmula para encontrar la distancia de un punto a una recta tiene muchas aplicaciones, sobre todo en problemas de lugar geométrico.

En la siguiente unidad vamos a encontrar el lugar geométrico del punto P(x,y) que se mueve de tal manera que su distancia a una recta es igual a la distancia a otro punto F(h,k) que no se encuentra sobre la recta.

Los problemas que podemos resolver con esta fórmula son muy diversos.


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