Distancia de un punto a una recta

Ejemplo 3

Las rectas $\ell_1:\; 3\,x + 4\,y - 20 = 0$ , y $\ell_2:\; 3\,x + 4\,y + 20 = 0$ son paralelas. Encuentra la distancia que hay entre ellas.

Nosotros no tenemos una fórmula para calcular la distancia entre dos rectas, pero podemos transformar este problema en uno que sí podamos resolver. Nosotros ya sabemos cómo encontrar la distancia de un punto a una recta. Así que vamos a encontrar un punto que esté sobre cualquiera de las rectas y de ahí vamos a calcular la distancia del punto a la otra recta. Podemos encontrar, por ejemplo, la intersección de la recta $\ell_1$

con el eje $y$

sustituyendo $x=0$

$\begin{equation*} 3\,(0) + 4\,y - 20 = 0\qquad\Rightarrow\qquad y = \frac{20}{4} = 5 \end{equation*}$

Esto nos indica que la recta corta al eje $y$ en el punto $B(0,5)$ . Igualmente, podemos encontrar el punto de intersección con el eje $x$ , por ejemplo, de la recta $\ell_2$ y calcular su distancia a la recta $\ell_1$ . En ambos casos obtendremos el mismo resultado porque la distancia de $\ell_1$ a $\ell_2$ es la misma que de la recta $\ell_2$ a la recta $\ell_1$ .

Ahora podemos encontrar la distancia del punto $B(0,5)$ a la recta $\ell_2$ : % $:\; 3\,x + 4\,y + 20 = 0$

$\begin{eqnarray*} D &=& \frac{|\textcolor{blue}{A}\,\textcolor{red}{x_1} + \textcolor{blue}{B}\,\textcolor{red}{y_1} + \textcolor{blue}{C}|}{\sqrt{\textcolor{blue}{A}^2 + \textcolor{blue}{B}^2}}\\ &=& \frac{|\textcolor{blue}{3}\,(\textcolor{red}{0}) + \textcolor{blue}{4}\,(\textcolor{red}{5}) + \textcolor{blue}{20}|}{\sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{blue}{4}^2}} = \frac{|20+20|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|40|}{\sqrt{25}} = \frac{40}{5} = 8 \end{eqnarray*}$

Entonces, las rectas se encuentran alejadas una de otra a 8 unidades de distancia.

Un ejemplo de aplicación se muestra a continuación.

Ejemplo 4

Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos $A(1,3)$ , $B(-3,1)$ y $C(2,-2)$ .

La fórmula para calcular el área de un triángulo es base $\times$

altura entre dos.
Podemos calcular la longitud de la base del triángulo con la fórmula de distancia entre dos puntos.
La altura la calculamos con la fórmula de distancia de un punto a una recta.
Pero primero debemos calcular la ecuación de la base del triángulo que elijamos.
Elegiremos la base $\segm{BC}$

.
La longitud de este lado es:

$\begin{eqnarray*} |\segm{BC}| &=& \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\ &=& \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2}\\ &=& \sqrt{(2 + 3)^2 + (- 3)^2}\\ &=& \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \end{eqnarray*}$

Ahora vamos a calcular la altura del triángulo. Primero encontramos la ecuación de la recta en forma general que pasa por los puntos $B$ y $C$ (porque esos puntos elegimos para la base). Calculamos la pendiente de esa recta:

$\begin{equation*} m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-2 - 1}{2 - (-3)} = -\frac{3}{5} \end{equation*}$

Ahora sustituimos la pendiente y un punto para encontrar la ecuación de la recta:

$\begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - (-3) &=& -\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)(x - 1)\\ 5\,(y - 1) &=& -3\,(x - (-3))\\ 5\,y - 5 &=& -3\,x - 9\\ 3\,x + 5\,y + 4 &=& 0 \end{eqnarray*}$

Ahora que conocemos la ecuación de la base, podemos calcular la distancia de la base al vértice opuesto, que es el punto $A(1,3)$ :

$\begin{eqnarray*} D &=& \displaystyle\frac{|\textcolor{blue}{A}\,\textcolor{red}{x_1} + \textcolor{blue}{B}\,\textcolor{red}{y_1} + \textcolor{blue}{C}|}{\sqrt{\textcolor{blue}{A}^2 + \textcolor{blue}{B}^2}}\\ &=& \displaystyle\frac{|\textcolor{blue}{3}\,(\textcolor{red}{1}) + \textcolor{blue}{5}\,(\textcolor{red}{3}) + \textcolor{blue}{4}|}{\sqrt{\textcolor{blue}{3}^2 + \textcolor{blue}{5}^2}} = \displaystyle\frac{|3 + 15 + 4|}{\sqrt{9 + 25}} = \displaystyle\frac{22}{\sqrt{34}} \end{eqnarray*}$

Ahora sustituimos los valores de las longitudes de la base y la altura en la fórmula para encontrar el área del triángulo:

$\begin{eqnarray*} A &=& \displaystyle\frac{\mbox{base}\times\mbox{altura}}{2}\\ &=& \displaystyle\frac{\left(\cancel{\sqrt{34}}\right)\times\left(\displaystyle\frac{22}{\cancel{\sqrt{34}}}\right)}{2}\\ &=& \displaystyle\frac{22}{2} = 11 \end{eqnarray*}$

Es decir, el área del triángulo es de 11 unidades cuadradas.

Se te queda como ejercicio verificar que el área de este triángulo es 11 unidades cuadradas utilizando triángulos envolventes para formar un rectángulo alrededor del mismo.

Ejemplo 5

Calcula el área del cuadrilátero que tiene sus vértices en los puntos $A(-2,-1)$ , $B(2,-2)$ , $C(1,3)$ y $D(-2,2)$ .

Para resolver este problema, vamos a reducirlo a un problema que ya sabemos resolver. Tenemos que encontrar la ecuación de una de las diagonales del cuadrilátero para formar dos triángulos internos. Para ello, calculamos la longitud de esa diagonal para que sirva de base a los dos triángulos. Después calculamos las alturas de los triángulos con la fórmula de distancia de un punto a una recta. Conociendo la base y las alturas de los triángulos, podremos calcular el área de cada triángulo. Finalmente calculamos el área del cuadrilátero sumando las áreas de los triángulos. Empezamos dibujando el cuadrilátero.

Vamos a calcular la longitud de la diagonal $\segm{AC}$ usando la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos:

$\begin{eqnarray*} |\segm{AC}| &=& \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\\ &=& \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{(4)^2 + (3)^2}\\ &=& \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \end{eqnarray*}$

Ya tenemos la longitud de la base de los triángulos. Calculemos la ecuación de la recta $\ell$ que pasa por los puntos $A$ y $C$ . Primero encontramos su pendiente:

$\begin{equation*} m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4}{3} \end{equation*}$

Ahora calculamos la ecuación con la forma punto-pendiente:

$\begin{eqnarray*} y - y_1 &=& m\,(x - x_1)\\ y - 3 &=& \frac{4}{3}\,(x - 1)\\ 3\,(y - 3) &=& 4\,(x - 1)\\ 3\,y - 9 &=& 4\,x - 4\\ -4\,x + 3\,y - 5 &=& 0\qquad\Rightarrow\qquad\ell:\quad 4\,x - 3\,y + 5 = 0 \end{eqnarray*}$

Ahora calculamos la altura del triángulo $\trianglele ACD$ usando la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta:

$\begin{eqnarray*} D_{D\ell} &=& \frac{|A\,x_1 + B\,y_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\\ &=& \frac{|4\,(-2) -3\,(2) + 5|}{\sqrt{(4)^2 + (-3)^2}} = \frac{|-8 -6 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{9}{5} \end{eqnarray*}$

Ya puedo calcular el área de este triángulo:

$\begin{equation*} A_{\trianglele ACD} = \displaystyle\frac{\mbox{base}\times\mbox{altura}}{2} = \frac{\cancel{5}\times \left(\displaystyle\frac{9}{\cancel{5}}\right)}{2} = \frac{9}{2} \end{equation*}$

Entonces, para calcular el área del triángulo $\trianglele ACB$ , calculamos su altura:

$\begin{eqnarray*} D_{B\ell} &=& \frac{|A\,x_1 + B\,y_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\\ &=& \frac{|4\,(2) -3\,(-2) + 5|}{\sqrt{(4)^2 + (-3)^2}} = \frac{|8 + 6 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{19}{5} \end{eqnarray*}$

Y el área de este triángulo es:

$\begin{equation*} A_{\trianglele ACB} = \frac{\mbox{base}\times\mbox{altura}}{2} = \frac{\cancel{5}\times \left(\frac{19}{\cancel{5}}\right)}{2} = \frac{19}{2} \end{equation*}$