Ejemplo 3
Las rectas , y
son paralelas. Encuentra la distancia que hay entre ellas.



Esto nos indica que la recta corta al eje en el punto
. Igualmente, podemos encontrar el punto de intersección con el eje
, por ejemplo, de la recta
y calcular su distancia a la recta
. En ambos casos obtendremos el mismo resultado porque la distancia de
a
es la misma que de la recta
a la recta
.
Ahora podemos encontrar la distancia del punto a la recta
: %
Entonces, las rectas se encuentran alejadas una de otra a 8 unidades de distancia.
Un ejemplo de aplicación se muestra a continuación.
Ejemplo 4
Calcula el área del triángulo que tiene sus vértices en los puntos ,
y
.

Podemos calcular la longitud de la base del triángulo con la fórmula de distancia entre dos puntos.
La altura la calculamos con la fórmula de distancia de un punto a una recta.
Pero primero debemos calcular la ecuación de la base del triángulo que elijamos.
Elegiremos la base

La longitud de este lado es:
Ahora vamos a calcular la altura del triángulo. Primero encontramos la ecuación de la recta en forma general que pasa por los puntos y
(porque esos puntos elegimos para la base). Calculamos la pendiente de esa recta:
Ahora sustituimos la pendiente y un punto para encontrar la ecuación de la recta:
Ahora que conocemos la ecuación de la base, podemos calcular la distancia de la base al vértice opuesto, que es el punto :
Ahora sustituimos los valores de las longitudes de la base y la altura en la fórmula para encontrar el área del triángulo:
Es decir, el área del triángulo es de 11 unidades cuadradas.
Se te queda como ejercicio verificar que el área de este triángulo es 11 unidades cuadradas utilizando triángulos envolventes para formar un rectángulo alrededor del mismo.
Ejemplo 5
Calcula el área del cuadrilátero que tiene sus vértices en los puntos ,
,
y
.
Vamos a calcular la longitud de la diagonal usando la fórmula para calcular la distancia entre dos puntos:
Ya tenemos la longitud de la base de los triángulos. Calculemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos
y
. Primero encontramos su pendiente:
Ahora calculamos la ecuación con la forma punto-pendiente:
Ahora calculamos la altura del triángulo usando la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta:
Ya puedo calcular el área de este triángulo:
Entonces, para calcular el área del triángulo , calculamos su altura:
Y el área de este triángulo es:
Finalmente, como ya sabemos que el área del cuadrilátero es igual a la suma de las áreas de los dos triángulos, sumamos esas áreas:
Verifica que este cálculo es correcto usando triángulos envolventes.
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