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El diferencial como aproximación al incremento

Aprenderás a utilizar el diferencial para aproximar el valor del cambio de una función debido a un cambio en la variable independiente.

Ahora vamos a utilizar la diferencial para hacer aproximaciones. Esta aproximación está basada en la interpretación geométrica que acabamos de dar de la diferencial.

Ejemplo

Aproxime con diferenciales el valor de \sqrt{402}.

Consideremos la función: y = \sqrt{x} = x^{1/2}. Sabemos que la raíz cuadrada de 400 es 20. Podemos utilizar este valor para aproximar el valor de la raíz cuadrada de 402. Primero encontramos la diferencial de la función:

    \begin{equation*} dy = \frac{\Delta x}{2\,\sqrt{x}} \end{equation*}

Para este caso hacemos \Delta x = 2, y x = 400. Esto es así porque x + \Delta x = 400 + 2 = 402.

Entonces, sustituyendo los valores en la diferencial obtenemos:

    \begin{equation*} dy = \frac{\Delta x}{2\,\sqrt{x}} = \frac{2}{2\,\sqrt{400}} = \frac{1}{20} = 0.05 \end{equation*}

Ahora, y + dy = 20 + 0.05 = 20.05 El valor exacto a 7 decimales es: \sqrt{402} = 20.0499377. Nos resultó una buena aproximación.

Ejemplo

Aproxime con diferenciales el valor de \sqrt{25.2}.

De nuevo, consideramos la función y = \sqrt{x} = x^{1/2}. Ya sabemos que la diferencial correspondiente es:

    \begin{equation*} dy = \frac{\Delta x}{2\,\sqrt{x}} \end{equation*}

Al sustituir \Delta x = 0.2, y x = 25 en esta fórmula, obtenemos:

    \begin{equation*} dy = \frac{\Delta x}{2\,\sqrt{x}} = \frac{0.2}{2\,\sqrt{25}} = \frac{0.2}{10} = 0.02 \end{equation*}

De manera que \sqrt{25.2}\approx \sqrt{25} + dy = 5 + 0.02 = 5.002. El valor arrojado por la calculadora científica es de: 5.019960159.

Ejemplo

Aproxime con diferenciales la raíz cúbica de 28.

Ahora consideramos la función: y = \sqrt[3]{x} = x^{1/3}. Sabemos de antemano que la raíz cúbica de 27 es 3. Esto sugiere que utilicemos \Delta x = 1 y x = 27. Ahora encontramos la diferencial de la función:

    \begin{equation*} dy = \frac{\Delta x}{3\,x^{2/3}} \end{equation*}

Sustituyendo los valores de las incógnitas encontramos el valor buscado:

    \begin{eqnarray*} dy & = & \frac{\Delta x}{3\,x^{2/3}} = \frac{1}{3\,(27)^{2/3}}\\ & = & \frac{1}{3\,(3)^2} = \frac{1}{3\,(9)}\\ & = & \frac{1}{27} \end{eqnarray*}

Entonces, de acuerdo a lo sugerido, tenemos que:

    \begin{equation*} \sqrt[3]{28}\approx \sqrt[3]{27} + \frac{1}{27} = 3 + \frac{1}{27} = \frac{81}{27} + \frac{1}{27} = \frac{82}{27} \end{equation*}

Podemos verificar la exactitud del resultado elevándolo al cubo:

    \begin{equation*} \left(\frac{82}{27}\right)^3 = \frac{551\,368}{19\,683} = 28.01239648\cdots \end{equation*}

Buena aproximación.

Ejemplo

Aproxime la raíz cúbica de 0.009

Consideramos la función raiz cúbica:

    \begin{equation*} y = \sqrt[3]{x} \end{equation*}

Ahora hacemos x = 0.008 (porque la raíz cúbica de 0.008 es 0.2) y \Delta x = 0.001. Ya sabemos que la diferencial de la función es:

    \begin{equation*} dy = \frac{\Delta x}{3\,x^{2/3}} \end{equation*}

Utilizando los valores conocidos obtenemos:

    \begin{equation*} dy = \frac{\Delta x}{3\,x^{2/3}} = \frac{0.001}{3\,(0.008)^{2/3}} = \frac{0.001}{3\,(0.02)^2} = \frac{0.001}{3\,(0.04)} = \frac{1}{120} \end{equation*}

Entonces,

    \begin{eqnarray*} \sqrt[3]{0.009} & \approx & \sqrt[3]{0.008}+\frac{1}{120} = 0.2+\frac{1}{120} = \frac{2}{10}+\frac{1}{120}\\ & = & \frac{24}{120}+\frac{1}{120} = \frac{25}{120} = \frac{5}{24} \end{eqnarray*}

Elevando al cubo este resultado, encontramos que:

    \begin{equation*} \left(\frac{5}{24}\right)^3 = \frac{125}{13\,824} = 0.0090422453\cdots \end{equation*}

Ejemplo

Aproxime con diferenciales la raíz cuarta de 15.

Considere la función: y=\sqrt[4]{x}. Encontramos la diferencial correspondiente:

    \begin{equation*} dy = \frac{\Delta x}{4\,x^{3/4}} \end{equation*}

Sabemos que 2^4 es igual a 16. Esto sugiere que hagamos x = 2 y \Delta x = - 1. Sustituyendo estos valores en la diferencial obtenemos:

    \begin{equation*} dy = \frac{\Delta x}{4\,x^{3/4}} = \frac{-1}{4\,(16)^{3/4}} = \frac{-1}{4\,(2)^3} = \frac{-1}{32} \end{equation*}

Por tanto, la aproximación buscada es:

    \begin{equation*} \sqrt[4]{15} = \sqrt[4]{16} - \frac{1}{32} = 2 - \frac{1}{32} = \frac{63}{32} \end{equation*}

Elevando a la cuarta potencia, tenemos:

    \begin{equation*} \left(\frac{63}{32}\right)^4 = \frac{15\,752\,961}{1\,048\,576} = 15.02319431 \end{equation*}

Ejemplo

Utilice diferenciales para estimar (0.98)^4.

Sea y = x^4. Es claro que dy = 4\,x^3\Delta x. Podemos hacer x = 1 y \Delta x = -0.02. Sustituyendo estos valores encontramos:

    \begin{equation*} dy = 4(1)^3(-0.02) = -0.08 \end{equation*}

Entonces, (0.98)^4 es aproximadamente igual a 1^4 - 0.08 = 1 - 0.08 = 0.92. El valor arrojado por una calculadora científica es: 0.92236816

Ejemplo

Use diferenciales para aproximar:

    \begin{equation*} N = (2.01)^4 - 3\,(2.01)^3 + 4\,(2.01)^2 - 5\,(2.01) + 7. \end{equation*}

Sea M = x^4 - 3\,x^3 + 4\,x^2 - 5\,x + 7. Fácilmente podemos encontrar:

    \begin{equation*} dM = (4\,x^3 - 9\,x^2 + 8\,x - 5)\cdot\Delta x \end{equation*}

Ahora hacemos x = 2, y \Delta x = 0.01 y sustituimos estos valores en dM.

    \begin{eqnarray*} dM & = & (4\,(2)^3 - 9\,(2)^2 + 8\,(2) - 5) (0.01) \\ & = & (4\,(8) - 9\,(4) + 8\,(2) - 5) (0.01)\\ & = & (32 - 36 + 16 - 5)(0.01) = (7)(0.01) = 0.07 \end{eqnarray*}

haciendo \Delta x = 0.1, se sigue que M(x + \Delta x) = M(2.01) es aproximadamente igual a M(2) + dM.

    \begin{equation*} M(2) = (2)4 - 3(2)3 + 4(2)2 - 5(2) + 7 = 16 - 24 + 16 - 10 + 7 = 5 \end{equation*}

Luego, M(2.01) = M(2) + dM = 5 + 0.07 = 5.07. Para comparar este resultado con el valor exacto, evalúa M(2.01).

Como puedes ver, el concepto de diferencial se puede utilizar para aproximar el valor de una cantidad relacionada a otras en diferentes situaciones.

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