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Diferenciabilidad en un intervalo

Aprenderás cuáles son las condiciones de diferenciabilidad de una función de una variable.

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Ahora que conocemos cómo calcular la derivada de una función en un punto conviene hacer la pregunta más general: ¿Cómo podemos saber si una derivada se puede derivar en un intervalo (a,b) dado? Para responder a esta pregunta debemos considerar el caso particular de diferenciabilidad en un punto.

Obviamente si existe la derivada de una función y = f(x) en un punto (x_0, f(x_0)), es obvio que la función debe estar definida en ese punto. Pues si no fuera así, ¿cómo podríamos definir la derivada de la función en ese punto, si no pertenece a la función?

Basándonos en la definición de derivada usando los cuatro pasos vemos que la derivada de la función y = f(x) existirá en el intervalo (a,b) siempre que el límite

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\displaystyle\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)} \end{equation*}

exista para cualquier punto x_0\in(a,b).

Pero primero debemos entender qué significa el hecho de que la función y = f(x) sea derivable en un punto de su dominio. Basándonos en la regla de los 4 pasos concluimos que se deben cumplir las siguientes dos condiciones:

  • i La función debe ser contínua en el punto x_0, y
  • ii Los dos límites laterales:

        \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}{\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}    \qquad\mbox{ y }\qquad    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}{\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} \end{equation*}

    deben existir para que exista la derivada en ese punto (por la definición de límite).

Si la derivada existe para todo punto del intervalo, entonces decimos que la función es diferenciable en ese intervalo.


Ejemplo

Verifica si la función

    \begin{equation*}    y = x^2 \end{equation*}

es diferenciable en el intervalo (-\infty,\infty).

Primero debemos verificar que la función es contínua en ese punto. Pero como toda función polinomial es contínua en todo el conjunto de los números reales, y la función y = x^2 es polinomial, se sigue que la función es cntínua en el intervalo (-\infty,\infty). Ahora debemos verificar que la función es diferenciable para todo número real.
Empezamos aplicando la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = (x + \Delta x)^2 = x^2 + 2\,x\,(\Delta x) + (\Delta x)^2 \end{equation*}

Paso 2:

    \begin{equation*}    \Delta y = 2\,x\,(\Delta x) + (\Delta x)^2 \end{equation*}

Paso 3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} &=& \frac{2\,x\,(\Delta x) + (\Delta x)^2}{\Delta x}\\ 	&=& 2\,x + \Delta x \end{eqnarray*}

Paso 4:

    \begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}\\ 	&=& \mylim{2\,x + \Delta x}\\ 	&=& 2\,x \end{eqnarray*}

La derivada de la función polinomial: y = x^2 es una nueva función polinomial: y' = 2\,x. Como la derivada en sí es otra función polinomial, es contínua y suave en todo el conjunto de los números reales. En otras palabras, los límites:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0^{-}}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}\qquad\mbox{ y }    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0^{+}}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} \end{equation*}

existen para todo x_0\in\mathbb{R}. Esto se hace evidente al observar que la derivada y' = 2\,x es una línea recta. Entonces, la derivada de y = x^2 está definida para todos los números reales, pues siempre es posible calcular y' dado un valor x_0-.


El hecho de que una función sea contínua en un punto no significa que su derivada exista ahí. El siguiente ejemplo es uno de los clásicos del caso en el que la función es contínua en un punto, pero su derivada no se define ahí.


Ejemplo

Verifica si la función

    \begin{equation*}    y = |x| \end{equation*}

es derivable en el el punto x = 0.

La función valor absoluto es contínua en todo el conjunto de los números reales. Por ende, es contínua en x = 0. Ahora vamos a ver si su derivada existe en ese punto. Aplicamos la regla de los 4 pasos.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = |x + \Delta x| \end{equation*}

Paso 2:

    \begin{equation*}    \Delta y = |x + \Delta x| - |\Delta x| \end{equation*}

Paso 3:

    \begin{equation*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \displaystyle\frac{|x + \Delta x| - |\Delta x|}{\Delta x} \end{equation*}

Paso 4:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}\\ 	&=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{|x + \Delta x| - |\Delta x|}{\Delta x}} \end{eqnarray*}

Para verificar si existe este límite, debemos verificar que los límites:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{-}}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}\qquad\mbox{ y }\qquad    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{+}}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} \end{equation*}

coincidan. Primero calculamos el límite por la izquierda:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{-}}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}  	= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{-}}{\left(\frac{|x + \Delta x| - |\Delta x|}{\Delta x}\right)} = -1 \end{equation*}

Y por otra parte, el límite por la derecha es:

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    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{+}}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}  	= \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{+}}{\left(\frac{|x + \Delta x| - |\Delta x|}{\Delta x}\right)} = 1 \end{equation*}

lo cual puedes verificar usando una tabla.
Entonces, dado que los últimos dos límites no coinciden, el límite:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\frac{|x + \Delta x| - |\Delta x|}{\Delta x}} \end{equation*}

no existe. En conclusión, la función y = |x| no es derivable en el punto x = 0 a pesar de que es contínua ahí.



Ejemplo

Verifica si la función:

    \begin{equation*}    y = \left\{    \begin{array}{ll}    \displaystyle \frac{3}{2}\,x^2 + x & \mbox{ para } x < 1\\    \displaystyle 4\,x - \frac{3}{2} &  \mbox{ para } x \geq 1    \end{array}    \right. \end{equation*}

es derivable en el punto x = 1.

Primera parte

Primero debemos verificar que la función es contínua en x = 1. Para eso, vamos a verificar las condiciones de continuidad de una función.

Primera condición: verificamos que f(1) esté definida:

    \begin{equation*}    y(1) = 4\,(1) - \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \end{equation*}

Segunda condición: verificamos que existe el límite.
Para eso, vamos a verificar por ambos lados.

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow1^{-}}{\left(\frac{3}{2}\,x^2 + x\right)} = \frac{5}{2} \end{equation*}

por otra parte,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow1^{+}}{\left(4\,x - \frac{3}{2}\right)} = \frac{5}{2} \end{equation*}

Como los dos límites anteriores son iguales, el límite existe. Además se cumple la tercera condición, es decir:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1}{\left(y(x)\right)} = y(1) = \frac{5}{2} \end{equation*}

Entonces, la función es contínua en x = 1.

Segunda parte Ahora hay que verificar que la derivada existe en x = 1. Esto significa que debemos verificar que los límites:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{-}}{\frac{\frac{3}{2}\,x^2 + x}{\Delta x}}\qquad\mbox{ y }\qquad    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{+}}{\frac{4\,x - \frac{3}{2}}{\Delta x}} \end{equation*}

evaluados en x = 1 coinciden. El límite por la izquierda es:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{-}}{\frac{\frac{3}{2}\,x^2 + x}{\Delta x}} = 3\,x + 1 \end{equation*}

Cuando x\rightarrow 1, la derivada es: 3\,(1) + 1 = 4 Por otra parte, el límite por la derecha es:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0^{+}}{\frac{4\,x - \frac{3}{2}}{\Delta x}} = 4 \end{equation*}

En este caso la derivada vale siempre 4, independientemente del valor de x. Como los dos límites coinciden, la función es derivable en x = 1.



Ejemplo

Verifica si la función:

    \begin{equation*}    y = \left\{    \begin{array}{ll}    x^2 - 2 & \mbox{ para } x < 2\\    4\,x - 1 &  \mbox{ para } x \geq 2    \end{array}    \right. \end{equation*}

es derivable en el punto x = 2.

Primera parte

Primero verificamos que sea contínua la función

Primera condición: f(2) existe.

    \begin{equation*}    y(2) = 4\,(2) - 1  = 7 \end{equation*}

Segunda condición: verificamos el límite.

Por la izquierda es:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 2^{-}}{\left(x^2 - 2\right)} = 2 \end{equation*}

Y por la derecha:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 2^{+}}{4\,x - 1} = 7 \end{equation*}

No es necesario ir más lejos. Dado que los límites no coinciden, la función no es contínua en x = 2, y por tanto, es imposible calcular su derivada en ese punto.



Ejemplo

Verifica si la función:

    \begin{equation*}    y = \sqrt{x - 2} \end{equation*}

es derivable en el punto x = 2.

Primera parte

Verificamos si la función es contínua en x = 2.

Primera condición: f(2) existe.

    \begin{equation*}    y(2) = \sqrt{2 - 2} = 0 \end{equation*}

Segunda condición: verificamos el límite por la izquierda:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 2^{-}}{\left(\sqrt{x - 2}\right)} \end{equation*}

Recordando que la función y = sqrt{x - 2} está definida para x - 2 \geq 0, nos damos cuenta que es imposible calcular el límite por la izquierda. Esto se debe a que las raíces cuadradas de números negativos no están en el conjunto de los números reales. Entonces, el límite

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 2}{\left(\sqrt{x - 2}\right)} \end{equation*}

no existe. De aquí que la función, no sea ni contínua ni derivable en x = 2.


Observa que ahora estamos utilizando varias cosas que ya has aprendido:

  • continuidad de una función,
  • límites y
  • la regla de los cuatro pasos.

entre otros conceptos más básicos como álgebra. Si te confunden los procedimientos que estamos utilizando para resolver los ejemplos eso significa que no has entendido con suficiente profundidad los conceptos mencionados, así que debes estudiarlos para entender los procedimientos de esta sección.

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