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Desigualdades de una variable

Aprenderás qué es una desigualdad, su notación, algunas de sus propiedades y cómo se representa geométricamente.

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Nosotros ya sabemos que podemos ordenar los números de un conjunto, bien de mayor a menor, bien de menor a mayor. Este orden está definido por la definición de las desigualdades siguientes.


Desigualdad

Una desigualdad es una expresión de la forma:

    \begin{equation*}    a > b %\qquad\mbox{ ó }\qquad a < b \end{equation*}

que se lee el número a es mayor que el número b, y esto es verdadero siempre que
la diferencia a - b resulta ser un número positivo. Otra desigualdad es:

    \begin{equation*}    a < b \end{equation*}

que se lee el número a es menor que el número b, y es verdadera siempre que
la diferencia a - b es un número negativo.



Ejemplo 1

Indica CIERTO o FALSO para cada una de las desiguadades, según corresponda.

  • 2 > 1
    Para que sea verdadero, se requiere que 2 - 1 sea positivo. Y 2 - 1 = 1, luego es CIERTO.
  • 2 < 5
    Esto es CIERTO, porque 2 - 5 es negativo.
  • 10 > 20
    Esto es FALSO, porque 10 - 20 = -10 es negativo.
  • 10 < 20
    Es CIERTO, porque 10 - 20 = -10 es negativo.

Cuando incluimos una variable en la desigualdad, podemos preguntarnos: ¿para qué valores de la variable la desigualdad resulta ser verdadera?


Solución de una desigualdad

La solución de una desigualdad es el conjunto de todos los valores de la(s) variable(s) que hacen que la desigualdad sea verdadera.


Propiedades de las desigualdades

Así como la igualdad tiene algunas propiedades, la desigualdad también tiene algunas
propiedades que nos facilitan su tratamiento algebraico para la solución de problemas.


Propiedades de las desigualdades


Suponga que se cumple a > b, x > y, y sea c cualquier número real (constante).
Entonces, también se cumplen:

  • (i) a + c > b + c.
  • (ii) \displaystyle\frac{a}{c} > \displaystyle\frac{d}{c}, supuesto que c > 0.
  • (iii) a\cdot c > b\cdot c, supuesto que c > 0.
  • (iv) a + x > b + y.
  • (v) \displaystyle\frac{a}{c} < \displaystyle\frac{d}{c}, supuesto que c < 0.
  • (vi) a\cdot c < b\cdot c, supuesto que c < 0.


Ejemplo 2

Indica si se siguen cumpliendo cada una de las desigualdades, dado que la original es cierta.

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  • Considerando que x > 2, entonces, x + 7 > 9, se cumple, por la propiedad (i).
  • También, \displaystyle\frac{x}{3} > \displaystyle\frac{2}{3}, se cumple, porque 3 > 0. (prop. ii)
  • Igualmente, 5\,x > 10, se cumple porque 5 > 0 (prop. iii).
  • Dado que 5 > 3, se cumple: x + 5 > 5 por la propiedad (iv).
  • Como -3 < 0, si x > 2, se sigue que: -\displaystyle\frac{x}{3} < -\displaystyle\frac{2}{3} por la propiedad (v).
  • De manera semejante, se cumple: -3\,x < -6, por la propiedad (vi).

Como puedes ver, las propiedades de las desigualdades son prácticamente las mismas que las propiedades de la igualdad, con la diferencia de que cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo el sentido de la desigualdad cambia. Siempre debes tener eso en cuenta.


Tricotomía

Dados dos números reales a,b satisfacen una y
solamente una de las siguientes condiciones:

    \begin{equation*} a < b\qquad\qquad\qquad\qquad a = b\qquad\qquad\qquad\qquad a > b \end{equation*}


En palabras, la tricotomía nos indica que entre Aarón y Benjamín, bien Aarón es menor que Benjamín, bien ambos tienen la misma edad, bien Aarón es mayor que Benjamín. No pueden ocurrir dos o tres de esas condiciones simultáneamente. En otras palabras, la tricotomía me dice:
o tengo tu edad, o eres mayor que yo, o eres menor que yo.
Es imposible que se satisfagan dos de esas condiciones al mismo tiempo y mucho menos las tres.

Representación geométrica de una desigualdad de una variable

En matemáticas muchas veces nos ayuda a entender mejor un concepto conocer una interpretación geométrica del mismo.
Supongamos que x > 2. Geométricamente tenemos:

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Ahora elegimos un número que satisfaga esa desigualdad, digamos x = 3. Entonces, 3 > 2 se satisface. Como puedes ver, la parte que se ha marcado con la linea en zig-zag incluye al punto x = 3, porque este punto satisface la desigualdad. Sin embargo el punto x = 2 no está incluido en este conjunto porque
por tricotomía, 2 \ngtr 2 (2\ngtr2 se lee: 2 no es mayor que 2.) Por lo que 2 no tasisface la desigualdad x > 2.

La propiedad (vi) también tiene una interpretación geométrica. Si multiplicamos la desigualdad por un número negativo, cualquiera, digamos -1, entonces el sentido de la desigualdad cambia: -3 < -2. Observa que los valores de la desigualdad: x < -2 son el reflejo respecto del origen (del eje x) de la desigualdad x > 2. Geométricamente:

Rendered by QuickLaTeX.com

Observa que el círculo que indica el inicio de la solución de la desigualdad está vacío. Esto se justifica con la tricotomía: dado que 2 \ngtr 2, 2 no satisface la desigualdad x > 2.

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