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Desigualdades de dos variables

Aprenderás a representar una desigualdad de dos variables en el plano cartesiano.

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Ahora vamos a estudiar un caso más general.

Cuando graficamos la ecuación:

    \begin{equation*}    x + y = 10 \end{equation*}

obtenemos una recta en al plano.

Cada punto que está sobre la recta satisface la ecuación. Es decir, si sumamos las coordenadas
del punto obtenemos 10. Ningún otro punto del plano satisface esa condición. Por tricotomía, bien x + y > 10, bien x + y < 10 para los demás puntos del plano.

Vamos a tomar el origen: (0,0) y vamos a sustituir los valores en cada una de las dos ecuaciones.
Obviamente, satisface la desigualdad:

    \begin{equation*}    x + y < 10 \end{equation*}

Observa que si vamos cambiando una coordenada, digamos y dejando constante la otra (x), antes de que cambie el sentido de la desigualdad debe cumplirse la igualdad. Esto nos obliga a concluir que la recta divide el plano cartesiano en dos regiones, cada una de las cuales satisface una desigualdad.

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Cualquier punto que elijamos que esté a la derecha de la recta x + y = 10 satisface la desigualdad x + y > 10. De manera semejante, cualquier punto de la región a la izquierda de la recta x + y = 10 satisface la desigualdad x + y  < 10. Geométricamente podemos pensar que la recta x + y = 10 es la frontera entre las regiones x + y < 10, y x + y > 10.


Ejemplo 1

Representa la región del plano cartesiano cuyos puntos satisfacen la desigualdad:

    \begin{equation*}    2\,x - y < 10 \end{equation*}

Empezamos considerando la ecuación 2\,x - y = 10.
Su gráfica es una recta con pendiente 2 y que pasa por el punto B(0,10). Esta recta es la frontera entre las desigualdades 2\,x - y < 10, y 2\,x - y > 10. Al sustituir las coordenadas del origen en la desigualdad dada en el problema vemos que éste punto la satisface. Entonces, las regiones quedan:

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Si sutituimos las coordenadas de un punto cualquiera que se encuentre en la región a la izquierda de la recta 2\,x - y = 10 en la desigualdad 2\,x - y < 10, la desigualdad se cumple. Verifica esto para al menos cinco puntos de esa región.

De manera semejante, si sustituimos las coordenadas de cualquiera de los puntos que se encuentran a la derecha de la recta 2\,x - y = 10 en la desigualdad 2\,x - y > 10, la desigualdad se cumple. Verifica esto para al menos diez puntos de esa región.



Ejemplo 2

Muestra en el plano cartesiano la región que es solución de la desigualdad:

    \begin{equation*}    x - y > 2 \end{equation*}

De nuevo, dado que la recta x - y = 2 no pasa por el origen, sustituimos x=0, y =0 en la desigualdad para ver si las satisface. Dado que 0 \ngtr 2, la región en la cual se encuentra el origen no es la solución de nuestra desigualdad. La otra región es la solución. Vamos a verificarlo sustituyendo un punto que se encuentre allí. Elegimos el punto P(10,2):

    \begin{equation*}    10 - 2 > 2 \end{equation*}

Como la desigualdad se cumple para ese punto, la región a la derecha de la recta es la solución de la desigualdad:

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Recuerda que la recta: a\,x + by = c, siempre divide al plano cartesiano en dos regiones.

Una de ellas es la solución de la desigualdad:

    \begin{equation*}    a\,x + by > c \end{equation*}

y la otra región es la solución de la desigualdad:

    \begin{equation*}    a\,x + by < c \end{equation*}

Para verificar cuál región es solución de cada desigualdad, basta sustituir las coordenadas de
cualquiera de los puntos que esté en alguna de las regiones (por consiguiente, que no esté sobre
la recta).

Las coordenadas del punto que satisfaga una desigualdad nos indicarán que ese punto satisface
la desigualdad, y por tanto, todos los puntos de esa región.

Por otra parte, si no satisface la desigualdad, ese punto satisface a la otra desigualdad, al
igual que todos los puntos de esa región.


Ejemplo 3

Muestra la región del plano cartesiano que es solución de la siguiente desigualdad:

    \begin{equation*}    x + 2\,y > 11 \end{equation*}

Al sustituir las coordenadas del origen vemos que la desigualdad no se satisface.
Entonces, la región a la cual pertenece el origen satisface la desigualdad:

    \begin{equation*}    x + 2\,y < 11 \end{equation*}

La otra región es la región que nosotros buscamos:

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Se te queda como ejercicio verificar que los puntos: A(10,1), B(5,5), C(0,6) y D(12,0) satisfacen la desigualdad: x + 2\,y > 11.
Igualmente, verifica que los puntos P(2,2), Q(4,3) y R(7,1) no la satisfacen.


De manera semejante a las ecuaciones lineales, es posible modelar problemas a través de las desigualdades. Primero tenemos que definir qué representa cada variable y después aplicar las propiedades algebraicas de las desigualdades para encontrar la solución. La diferencia con las ecuaciones consiste en que la representación geométrica de una ecuación es una recta, mientras que para la desigualdad tendremos una región del plano.


Ejemplo 4

Benjamín tiene monedas de $2.00 y de $5.00 pesos. Se sabe que tiene más de 10 monedas.
Si x es la cantidad de monedas de $2.00 pesos y y es la cantidad de monedas
de $5.00 pesos que él tiene, muestra la región del plano cartesiano que representa
las posibles cantidades de monedas que él tiene.

Dado que tiene más de 10 monedas, tenemos la siguiente desigualdad:

    \begin{equation*}    x + y > 10 \end{equation*}

En este caso, el número de monedas de $2.00 o de $5.00 pesos debe ser un número entero.
Pues no tiene sentido hablar de, por ejemplo, 2.37 monedas de alguna denomina\-ción.

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Es importante enfatizar que la solución de este problema están representados por los puntos que están en el primer cuadrante, porque no es posible tener, por ejemplo, -5 monedas de $2.00 pesos.


Si nosotros mostramos la solución de dos desigualdades diferentes en el mismo plano cartesiano tendremos una situación interesante. En ese caso decimos que estamos resolviendo un sistema de desigualdades, pues las soluciones no tienen por qué intersectarse. Es posible que las soluciones sean disjuntas. Es decir, que no existan puntos que satisfagan las dos desigualdades simultáneamente. En otras palabras, que existan puntos que satisfacen una desigualdad o la otra, pero no ambas.

La solución del sistema de desigualdades está dado por la intersección de las regiones que son solución para cada una de las desigualdades que forman el sistema. En la siguiente lección resolveremos sistemas de ecuaciones más interesantes que el de este ejemplo.

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