Ya habrás observado que al derivar una función obtenemos otra nueva función. Por ejemplo, la derivada de la función es
. Observa que
es otra función, generalmente diferente a
. Si volvemos a derivar la función, obtenemos la segunda derivada de la función:
Derivada de orden superior
Sea




El número se conoce como el orden de la derivada.
Ejemplo 1
Calcula la derivada de orden 5 de la siguiente función:
Tenemos que derivar tres veces para obtener la derivada de orden 3. Aquí está la primera derivada:
La segunda derivada es:
La tercera derivada de la función es:
La derivada de cuarto orden es:
Y Finalmente, la derivada de quinto orden es:
Ejemplo 2
Calcula la derivada de orden 3 de la función:
Para calcular la primera derivada usamos las reglas de derivación de la función exponencial y de la cadena:
Para calcular la segunda derivada tenemos que aplicar, además, la regla del producto. Definimos , y
. Entonces,
Ahora sustituimos en la regla para derivar el producto de dos funciones:
La derivada de tercer orden se obtiene derivando de nuevo. Para eso, definimos: , y
, por lo que ahora:
Ahora sustituimos para terminar:
Con lo que terminamos.
Ahora haremos un paréntesis para entender qué representa la segunda derivada. Esto, a su vez, nos permitirá entender qué representan las derivadas de orden 3, 4, etc.
Primero debemos recordar que la derivada es una razón de cambio instantánea, es decir, la primera derivada nos dice si la función está creciendo o decreciendo en un punto. Por ejemplo, cuando estudiamos la parábola , encontramos que la derivada de la función es positiva para valores de
negativos y negativa para valores de
positivos. En otras palabras, la función es creciente a la derecha y decreciente a la izquierda.
Pero observa que la pendiente de las rectas tangentes (es decir, el valor de la derivada de la función evaluada en el punto de tangencia) va disminuyendo cada vez más, porque la primer tangente que se dibujó tiene mayor pendiente que la segunda, y ésta a su vez tiene una pendiente mayor a la siguiente y así sucesivamente, hasta que llegamos a , donde la pendiente es cero y la recta tangente a la parábola es horizontal. A partir de ahí la pendiente se hace negativa y sigue decreciendo, o en otras palabras, crece con signo negativo.
La primera derivada de esta función es: . La segunda derivada es:
. Esto nos dice que la primera derivada tiene una razón de cambio instantánea constante e igual a
. Esto nos indica que la pendiente de la recta tangente (el valor de la primera derivada) cambia en
unidades cada vez que
aumenta 1 unidad. Observa la recta tangente a la función en
. ¿Puedes decir cuánto vale la pendiente de esa recta?
Ahora compara ese valor con la pendiente de la recta tangente en . Y después compara este valor con la
pendiente de la recta tangente a la función en . El valor de la pendiente del siguiente punto de tangencia lo obtienes sumando
al anterior, y esto es así porque la segunda derivada nos dice cómo cambia la primera derivada. A su vez, la tercera derivada nos dice cómo cambia la segunda derivada, y así sucesivamente.
Ejemplo 3
Discute el significado de la segunda derivada de la función:
que describe la tryectoria de una piedra lanzada al aire, donde es la altura (medida en metros) de la piedra medida desde el suelo y
es el tiempo (medido en segundos) que la piedra lleva en el aire.
La primera derivada de esta función representa la razón de cambio de la posición de la piedra respecto al tiempo.
Es decir, la primera derivada es la velocidad instantánea de la piedra:
La primera derivada nos dice cómo cambia la posición de la piedra conforme avanza el tiempo. En otras palabras, indica cuánto cambia la posición de la piedra en un segundo para un valor de específico. Observa que derivar causa que las unidades de
se dividan por el tiempo
.
La segunda derivada representa la razón de cambio instantánea de la velocidad (instantánea) de la piedra. Es decir, nos dice cómo cambia la velocidad de la piedra conforme avanza el tiempo. Esto es, en un segundo, cuánto cambia la velocidad de la piedra, para un valor de dado. Esta magnitud física se conoce como la aceleración instantánea de la piedra:
La aceleración que sufren los cuerpos debido a la atracción gravitacional (al nivel del mar) de la tierra es de , que es el resulado que obtuvimos. El signo negativo nos indica que la aceleración está orientada hacia abajo.
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