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Derivadas de orden superior

Aprenderás la notación de las derivadas de orden superior y a calcularlas.

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Ya habrás observado que al derivar una función obtenemos otra nueva función. Por ejemplo, la derivada de la función y = x^2 es y' = 2\,x. Observa que y' es otra función, generalmente diferente a y. Si volvemos a derivar la función, obtenemos la segunda derivada de la función:

    \begin{eqnarray*} \text{Si } y = f(x) &\Rightarrow& y' = f'(x)\text{ es la primera derivada de la funci\'on,} \\ 	&\Rightarrow& y'' = \dydxf{f'(x)} = f''(x)\text{ es la segunda derivada,} \\ 	&\Rightarrow& y''' = \dydxf{f''(x)} = f'''(x)\text{ es la tercera derivada,} \\ 	&\Rightarrow& y^{(4)} = \dydxf{f'''(x)} = f^{(4)}(x)\text{ es la cuarta derivada, etc.} \end{eqnarray*}


Derivada de orden superior


Sea y = f(x) una función derivable. La derivada de orden k es la función que se obtiene al derivar (respecto de x) la función k veces consecutivas, y se denota como:

    \begin{equation*}    \frac{d^{k}y}{dx^{k}} = f^{(k)}(x) \end{equation*}

El número k se conoce como el orden de la derivada.



Ejemplo

Calcula la derivada de orden 5 de la siguiente función:

    \begin{equation*}    y = \cos x \end{equation*}

Tenemos que derivar tres veces para obtener la derivada de orden 3. Aquí está la primera derivada:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx}= -\sin x \end{equation*}

La segunda derivada es:

    \begin{equation*}    \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\cos x \end{equation*}

La tercera derivada de la función es:

    \begin{equation*}    \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = \sin x \end{equation*}

La derivada de cuarto orden es:

    \begin{equation*}    \frac{d^{4}y}{dx^{4}}{4} = \cos x \end{equation*}

Y Finalmente, la derivada de quinto orden es:

    \begin{equation*}    \frac{d^{5}y}{dx^{5}} = -\sin x \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la derivada de orden 3 de la función:

    \begin{equation*}    y = e^{-x^2} \end{equation*}

Para calcular la primera derivada usamos las reglas de derivación de la función exponencial y de la cadena:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx}= -2\,xe^{-x^2} \end{equation*}

Para calcular la segunda derivada tenemos que aplicar, además, la regla del producto. Definimos u = -2\,x, y v = e^{-x^2}. Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{du}{dx} = -2\qquad\mbox{ y }\qquad\dvdx = -2\,xe^{-x^2} \end{equation*}

Ahora sustituimos en la regla para derivar el producto de dos funciones:

    \begin{equation*}    \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 4\,x^2e^{-x^2} - 2\,e^{-x^2} \end{equation*}

La derivada de tercer orden se obtiene derivando de nuevo. Para eso, definimos: u = 4\,x^2, y v = e^{-x^2}, por lo que ahora:

    \begin{equation*}    \frac{du}{dx} = -8\,x\qquad\mbox{ y }\qquad\dvdx = -2\,xe^{-x^2} \end{equation*}

Ahora sustituimos para terminar:

    \begin{eqnarray*}    \frac{d^{3}y}{dx^{3}} &=& \left(4\,x^2\right)\cdot\left(-2\,xe^{-x^2}\right) + \left(e^{-x^2}\right)\cdot\left(-8\,x\right) + 4\,xe^{-x^2}\\ 	&=& -8\,x^3e^{-x^2} -8\,xe^{-x^2} + 4\,xe^{-x^2}\\ 	&=& \left(-8\,x^3 -8\,x + 4\,x\right)e^{-x^2} \end{eqnarray*}

Con lo que terminamos.


Ahora haremos un paréntesis para entender qué representa la segunda derivada. Esto, a su vez, nos permitirá entender qué representan las derivadas de orden 3, 4, etc.

Primero debemos recordar que la derivada es una razón de cambio instantánea, es decir, la primera derivada nos dice si la función está creciendo o decreciendo en un punto. Por ejemplo, cuando estudiamos la parábola y = 2 - x^2, encontramos que la derivada de la función es positiva para valores de x negativos y negativa para valores de x positivos. En otras palabras, la función es creciente a la derecha y decreciente a la izquierda.

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Pero observa que la pendiente de las rectas tangentes (es decir, el valor de la derivada de la función evaluada en el punto de tangencia) va disminuyendo cada vez más, porque la primer tangente que se dibujó tiene mayor pendiente que la segunda, y ésta a su vez tiene una pendiente mayor a la siguiente y así sucesivamente, hasta que llegamos a x = 0, donde la pendiente es cero y la recta tangente a la parábola es horizontal. A partir de ahí la pendiente se hace negativa y sigue decreciendo, o en otras palabras, crece con signo negativo.

La primera derivada de esta función es: y' = -2\,x. La segunda derivada es: y'' = -2. Esto nos dice que la primera derivada tiene una razón de cambio instantánea constante e igual a -2. Esto nos indica que la pendiente de la recta tangente (el valor de la primera derivada) cambia en -2 unidades cada vez que x aumenta 1 unidad. Observa la recta tangente a la función en x = -1. ¿Puedes decir cuánto vale la pendiente de esa recta?

Ahora compara ese valor con la pendiente de la recta tangente en x = 0. Y después compara este valor con la
pendiente de la recta tangente a la función en x = 1. El valor de la pendiente del siguiente punto de tangencia lo obtienes sumando -2 al anterior, y esto es así porque la segunda derivada nos dice cómo cambia la primera derivada. A su vez, la tercera derivada nos dice cómo cambia la segunda derivada, y así sucesivamente.


Ejemplo

Discute el significado de la segunda derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = -4.905\,t^2 + 24.535\,t \end{equation*}

que describe la tryectoria de una piedra lanzada al aire, donde y es la altura (medida en metros) de la piedra medida desde el suelo y t es el tiempo (medido en segundos) que la piedra lleva en el aire.

La primera derivada de esta función representa la razón de cambio de la posición de la piedra respecto al tiempo.
Es decir, la primera derivada es la velocidad instantánea de la piedra:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx}= -9.81\,t + 24.535\qquad\qquad\left[\text{m/s}\right] \end{equation*}

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La primera derivada nos dice cómo cambia la posición de la piedra conforme avanza el tiempo. En otras palabras, indica cuánto cambia la posición de la piedra en un segundo para un valor de t específico. Observa que derivar causa que las unidades de y se dividan por el tiempo t.

La segunda derivada representa la razón de cambio instantánea de la velocidad (instantánea) de la piedra. Es decir, nos dice cómo cambia la velocidad de la piedra conforme avanza el tiempo. Esto es, en un segundo, cuánto cambia la velocidad de la piedra, para un valor de t dado. Esta magnitud física se conoce como la aceleración instantánea de la piedra:

    \begin{equation*}    \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -9.81\qquad\qquad\left[\text{m/s}^2\right] \end{equation*}

La aceleración que sufren los cuerpos debido a la atracción gravitacional (al nivel del mar) de la tierra es de g = 9.81\text{ m/s}^2, que es el resulado que obtuvimos. El signo negativo nos indica que la aceleración está orientada hacia abajo.



Ejemplo

Calcula la velocidad y la aceleración de un cuerpo que se mueve sobre el eje y con posición:

    \begin{equation*}    y = -\frac{1}{3}\,t^3 + \frac{1}{16}\,t^2 + 6\,t + 2 \end{equation*}

donde t es el tiempo medido en segundos, para t = 1, 2, 3 y 4.

Empezamos graficando la función para tener una idea de su comportamiento:

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De la gráfica vemos que la función es creciente en t = 1, 2, y decreciente en t = 3, y en adelante. Así que esperamos que la derivada de la función sea positiva en t=1,2 y negativa para los demás valores. Enseguida se muestran las dos primeras derivadas:

    \begin{equation*} \frac{dy}{dt} = -t^2 + \frac{1}{8}\,t + 6 		\qquad\text{ y }\qquad  \frac{d^2y}{dt^2} = -2\,t + \frac{1}{8} \end{equation*}

Ahora vamos a evaluarlas en t = 1, 2, 3 y 4 segundos.

    \[\begin{array}{ccr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcc}\hline t			&& 1&0 	&& 2&0	&&  3&0	&& 4&0 					&& \text{tiempo}\\ 	\hline \textcolor{red}{f(t)}		&& 7&729 	&& 11&583	&&	 11&563	&&  5&667 	&& \textcolor{red}{\text{posici\'on}}\\ \textcolor{blue}{f'(t)}		&& 5&125		&&  2&25		&&  -2&625	&& -9&5		&& \textcolor{blue}{\text{velocidad}}\\ \textcolor{cyan}{f''(t)} 	&& -2&0		&& -4&0		&&  -6&0		&& -8&0 		&& \textcolor{cyan}{\text{aceleraci\'on}}\\ 	\hline \end{array}\]



Ejemplo

Calcula todas las derivadas de la función polinomial de tercer grado:

    \begin{equation*}    y = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \end{equation*}

La primera derivada de esta función es:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx}= 3\,a_3x^2 + 2\,a_2x + a_1 \end{equation*}

La segunda derivada es:

    \begin{equation*}    \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6\,a_3x + 2\,a_2 \end{equation*}

porque a_1 es una constante real. La tercera derivada es:

    \begin{equation*}    \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = 6\,a_3 \end{equation*}

porque ahora la constante es 2\,a_2. La cuarta derivada y todas las derivadas sucesivas son cero, porque en cada caso estamos calculando la derivada de una constante. Es decir,

    \begin{equation*}    \frac{d^{k}y}{dx^{k}} = 0\qquad\qquad k \geq 4,k\in\mathbb{N} \end{equation*}



Ejemplo

Calcula las derivadas de todos los ordenes (posiivos) de la función:

    \begin{equation*}    y = e^x \end{equation*}

Dado que la derivada de la función y = e^x es igual a la función misma, todas sus derivadas son iguales a e^x:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx}= e^x 		\qquad & \qquad & \qquad 	\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^x\\    \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = e^x 	\qquad & \qquad & \qquad	\frac{d^{4}y}{dx^{4}} = e^x\\ \vdots 				\qquad & \qquad & \qquad 	\vdots\\  				\qquad & \qquad & \qquad 	\frac{d^{k}y}{dx^{k}}{k} = e^x\qquad\qquad k\in\mathbb{N}\\ \end{eqnarray*}



Ejemplo

Calcula todas las derivadas de la función:

    \begin{equation*}    y = \sin x \end{equation*}

Primera derivada:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx}= \cos x \end{equation*}

Segunda derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\sin x \end{equation*}

Tercera derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = -\cos x \end{equation*}

Cuarta derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^{4}y}{dx^{4}} = \sin x \end{equation*}

Observa que la cuarta derivada es igual a la función inicial. Entonces, la derivada de orden cinco es igual a la primera derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^{5}y}{dx^{5}} = \cos x = \dydx \end{equation*}

Y la derivada de orden seis es igual a la segunda derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^{6}y}{dx^{6}} = -\sin x = \frac{d^{#1}y}{dx^{#1}}{2} \end{equation*}

Y así sucesivamente. Entonces, las derivadas de la función son:

    \begin{eqnarray*}    \frac{d^{(4k)}y}{dx^{(4k)}} = \sin x \qquad & \qquad & \qquad \frac{d^{(4k+1)}y}{dx^{(4k+1)}} = \cos x\\    \frac{d^{(4k+2)}y}{dx^{(4k+2)}} = -\sin x \qquad & \qquad & \qquad \frac{d^{(4k+3)}y}{dx^{(4k+3)}} = -\cos x \end{eqnarray*}

donde k es un entero no negativo.


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