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Derivadas de orden superior

Aprenderás la notación de las derivadas de orden superior y a calcularlas.



Ejemplo 4

Calcula la velocidad y la aceleración de un cuerpo que se mueve sobre el eje y con posición:

    \begin{equation*}    y = -\frac{1}{3}\,t^3 + \frac{1}{16}\,t^2 + 6\,t + 2 \end{equation*}

donde t es el tiempo medido en segundos, para t = 1, 2, 3 y 4.

Empezamos graficando la función para tener una idea de su comportamiento:

Rendered by QuickLaTeX.com

De la gráfica vemos que la función es creciente en t = 1, 2, y decreciente en t = 3, y en adelante. Así que esperamos que la derivada de la función sea positiva en t=1,2 y negativa para los demás valores. Enseguida se muestran las dos primeras derivadas:

    \begin{equation*} \frac{dy}{dt} = -t^2 + \frac{1}{8}\,t + 6 		\qquad\text{ y }\qquad  \frac{d^2y}{dt^2} = -2\,t + \frac{1}{8} \end{equation*}

Ahora vamos a evaluarlas en t = 1, 2, 3 y 4 segundos.

    \[\begin{array}{ccr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcr@{.}lcc}\hline t			&& 1&0 	&& 2&0	&&  3&0	&& 4&0 					&& \text{tiempo}\\ 	\hline \textcolor{red}{f(t)}		&& 7&729 	&& 11&583	&&	 11&563	&&  5&667 	&& \textcolor{red}{\text{posici\'on}}\\ \textcolor{blue}{f'(t)}		&& 5&125		&&  2&25		&&  -2&625	&& -9&5		&& \textcolor{blue}{\text{velocidad}}\\ \textcolor{cyan}{f''(t)} 	&& -2&0		&& -4&0		&&  -6&0		&& -8&0 		&& \textcolor{cyan}{\text{aceleraci\'on}}\\ 	\hline \end{array}\]



Ejemplo 5

Calcula todas las derivadas de la función polinomial de tercer grado:

    \begin{equation*}    y = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 \end{equation*}

La primera derivada de esta función es:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx}= 3\,a_3x^2 + 2\,a_2x + a_1 \end{equation*}

La segunda derivada es:

    \begin{equation*}    \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 6\,a_3x + 2\,a_2 \end{equation*}

porque a_1 es una constante real. La tercera derivada es:

    \begin{equation*}    \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = 6\,a_3 \end{equation*}

porque ahora la constante es 2\,a_2. La cuarta derivada y todas las derivadas sucesivas son cero, porque en cada caso estamos calculando la derivada de una constante. Es decir,

    \begin{equation*}    \frac{d^{k}y}{dx^{k}} = 0\qquad\qquad k \geq 4,k\in\mathbb{N} \end{equation*}



Ejemplo 6

Calcula las derivadas de todos los ordenes (posiivos) de la función:

    \begin{equation*}    y = e^x \end{equation*}

Dado que la derivada de la función y = e^x es igual a la función misma, todas sus derivadas son iguales a e^x:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx}= e^x 		\qquad & \qquad & \qquad 	\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = e^x\\    \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = e^x 	\qquad & \qquad & \qquad	\frac{d^{4}y}{dx^{4}} = e^x\\ \vdots 				\qquad & \qquad & \qquad 	\vdots\\  				\qquad & \qquad & \qquad 	\frac{d^{k}y}{dx^{k}}{k} = e^x\qquad\qquad k\in\mathbb{N}\\ \end{eqnarray*}



Ejemplo 7

Calcula todas las derivadas de la función:

    \begin{equation*}    y = \sin x \end{equation*}

Primera derivada:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx}= \cos x \end{equation*}

Segunda derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\sin x \end{equation*}

Tercera derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^{3}y}{dx^{3}} = -\cos x \end{equation*}

Cuarta derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^{4}y}{dx^{4}} = \sin x \end{equation*}

Observa que la cuarta derivada es igual a la función inicial. Entonces, la derivada de orden cinco es igual a la primera derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^{5}y}{dx^{5}} = \cos x = \frac{dy}{dx} \end{equation*}

Y la derivada de orden seis es igual a la segunda derivada:

    \begin{equation*}    \frac{d^{6}y}{dx^{6}} = -\sin x = \frac{d^{#1}y}{dx^{#1}}{2} \end{equation*}

Y así sucesivamente. Entonces, las derivadas de la función son:

    \begin{eqnarray*}    \frac{d^{(4k)}y}{dx^{(4k)}} = \sin x \qquad & \qquad & \qquad \frac{d^{(4k+1)}y}{dx^{(4k+1)}} = \cos x\\    \frac{d^{(4k+2)}y}{dx^{(4k+2)}} = -\sin x \qquad & \qquad & \qquad \frac{d^{(4k+3)}y}{dx^{(4k+3)}} = -\cos x \end{eqnarray*}

donde k es un entero no negativo.


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