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Derivadas de funciones trigonométricas

Aprenderás a calcular la derivada de funciones trigonométricas y sus inversas.

Prestamos fáciles y rápidos

Las funciones trigonométricas se definen a partir de un triángulo rectángulo como sigue:

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Como puedes ver, estas funciones que caracterizan a un ángulo dado \alpha. Sin embargo, al definirlas así, da la impresión que el dominio de estas funciones, es decir, los valores de los ángulos \alpha que pueden tomar como argumento estas funciones está en el intervalo (0,180). Esto no es así.

Las funciones trigonométricas se definen más correctamente a través de una circunferencia de radio r, de manera que podemos dar a \alpha cualquier valor real.

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Observa que, en el caso particular para r = 1, las funciones \cos\alpha y \sin\alpha son iguales a x e y respectivamente. En esta lección nuestra tarea consiste en encontrar las reglas de derviación para las seis
funciones trigonométricas.


Ejemplo

Calcula la regla de derivación para la función:

    \begin{equation*}    y = \sin x \end{equation*}

Debemos aplicar la regla de los cuatro pasos para deducir la regla.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = \sin (x + \Delta x) \end{equation*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& \sin (x + \Delta x) - \sin x\\ 	&=& \sin x \cos(\Delta x) + \cos x \sin (\Delta x) - \sin x \end{eqnarray*}

donde hemos utilizado una identidad trigonométrica (puedes buscarla en cualquier libro de trigonometría: \sin (x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y).

Paso 3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} &=& \frac{\sin x \cos(\Delta x) + \cos x \sin (\Delta x) - \sin x}{\Delta x}\\ 	&=& \cos x\cdot\left(\frac{\sin (\Delta x)}{\Delta x}\right) - \sin x\cdot\left(\frac{1 - \cos (\Delta x)}{\Delta x}\right) \end{eqnarray*}

Paso 4:

    \begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}\\ 	&=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\cos x\cdot\left(\frac{\sin (\Delta x)}{\Delta x}\right) - \sin x\cdot\left(\frac{1 - \cos (\Delta x)}{\Delta x}\right)\right)}\\ 	&=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\cos x\cdot\left(\frac{\sin (\Delta x)}{\Delta x}\right)\right)} - \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\sin x\cdot\left(\frac{1 - \cos (\Delta x)}{\Delta x}\right)\right)}\\ 	&=& \cos x\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\sin (\Delta x)}{\Delta x}\right)} - \sin x\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1 - \cos (\Delta x)}{\Delta x}\right)} \end{eqnarray*}

Ya sabemos que el primer límite de la expresión anterior es igual a 1. Pero el otro límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1 - \cos (\Delta x)}{\Delta x}\right)} \end{equation*}

no. Así que vamos a calcularlo. Aquí también usamos otra identidad: \sin^2 x + \cos^2 x = 1.

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1 - \cos (\Delta x)}{\Delta x}\right)} 	&=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\left(\frac{1 - \cos (\Delta x)}{\Delta x}\right)\cdot\left(\textcolor{red}{\frac{1 + \cos (\Delta x)}{1 + \cos (\Delta x)}}\right)\right)}\\ 	&=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1 - \cos^2(\Delta x)}{(1 + \cos (\Delta x))(\Delta x)}\right)}\\ 	&=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\sin^2(\Delta x)}{(1 + \cos (\Delta x))(\Delta x)}\right)}\\ 	&=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\sin(\Delta x)}{1 + \cos (\Delta x)}\cdot\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\right)} \end{eqnarray*}

Pero el límite de un producto se puede expresar como el producto de los límites, entonces:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1 - \cos (\Delta x)}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\sin(\Delta x)}{1 + \cos (\Delta x)}\right)}\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\right)} \end{equation*}

Cuando \Delta x tiende a cero, \sin (\Delta x) también tiende a cero, mientras que 1 + \cos\Delta x tiende a 1. Entonces,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1 - \cos (\Delta x)}{\Delta x}\right)} = \frac{0}{1} = 0 \end{equation*}

Y la regla para derivar la función y = \sin x es:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \cos x\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\sin (\Delta x)}{\Delta x}\right)} - \sin x\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1 - \cos (\Delta x)}{\Delta x}\right)}\\ 	&=& (\cos x)(1) - (\sin x)(0)\\ 	&=& \cos x \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{d(\sin x)}{dx} = \cos x \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la regla de derivación para la función:

    \begin{equation*}    y = \cos x \end{equation*}

Paso 1: Utilizamos otra identidad trigonométrica:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = \cos(x + \Delta x) = \cos x\cos(\Delta x) - \sin x\sin(\Delta x) \end{equation*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& \cos x\cos(\Delta x) - \sin x\sin(\Delta x) - \cos x\\ 	&=& \cos x\cdot\left[\cos(\Delta x) - 1 \right] - \sin x\sin(\Delta x)\\ 	&=& -\cos x\cdot\left[1 - \cos(\Delta x)\right] - \sin x\sin(\Delta x) \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} &=& \frac{-\cos x\cdot\left[1 - \cos(\Delta x)\right]- \sin x\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ 	%&=& \cos x\cdot\frac{\cos(\Delta x) - 1}{\Delta x} - \sin x\cdot\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ 	&=& -\cos x\cdot\frac{1 - \cos(\Delta x)}{\Delta x} - \sin x\cdot\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ 	&=& -\cos x\cdot\frac{1 - \cos(\Delta x)}{\Delta x}\cdot\textcolor{red}{\frac{1 + \cos (\Delta x)}{1 + \cos (\Delta x)}} - \sin x\cdot\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ 	&=& -\cos x\cdot\frac{1 - \cos^2(\Delta x)}{(\Delta x)\left[1 + \cos (\Delta x)\right]} - \sin x\cdot\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ 	&=& -\cos x\cdot\frac{\sin^2(\Delta x)}{(\Delta x)\left[1 + \cos (\Delta x)\right]} - \sin x\cdot\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\\ 	&=& -\cos x\cdot\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\cdot\frac{\sin(\Delta x)}{1 + \cos (\Delta x)} - \sin x\cdot\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x} \end{eqnarray*}

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Paso 4:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)}\\ 	&=& -\cos x\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\right)}\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\sin(\Delta x)}{1 + \cos (\Delta x)}\right)} - \sin x\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\sin(\Delta x)}{\Delta x}\right)}\\ 	&=& -(\cos x)\cdot (1)\cdot(0) - (\sin x)\cdot(1)\\ 	&=& - \sin x \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{d(\cos x)}{dx} = -\sin x \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la regla de derivación para la función:

    \begin{equation*}    y = \tan x \end{equation*}

Aquí usaremos la identidad trigonométrica:

    \begin{equation*}    \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \end{equation*}

y la regla para derivar el cociente de dos funciones. Para eso definimos: f(x) = \sin x, y g(x) = \cos x. Sus derivadas son conocidas ahora, f'(x) = \cos x, y g'(x) = -\sin x. Sustituyendo estos valores en la regla para derivar al cociente \sin x / \cos x obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x}\\ 	&=& \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}\\ 	&=& \frac{1}{\cos^2 x}\\ 	&=& \sec^2 x \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{d(\tan x)}{dx} = \sec^2 x \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la derivada de la función: y = \sec x.

Usaremos la identidad trigonométrica:

    \begin{equation*}    \sec x = \frac{1}{\cos x} \end{equation*}

y la regla para derivar el cociente de dos funciones. Para eso definimos: f(x) = 1, y g(x) = \cos x. Luego, f'(x) = 0, y g'(x) = -\sin x. Sustituyendo estos valores en la regla para derivar el cociente obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{(\cos x)\cdot(0) - (1)\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}\\ 	&=& \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}   \frac{d(\sec x)}{dx} = \sec x\cdot \tan x \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la derivada de la función: y = \csc x.

Ahora utilizaremos la identidad:

    \begin{equation*}    \csc x = \frac{1}{\sin x} \end{equation*}

Definiendo f(x) = 1 y g(x) = \sin x, tenemos que f'(x) = 0 y g'(x) = \cos x. Sustituyendo en la regla para la derivada de un cociente de dos funciones, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{(\sin x)\cdot(0) - (1)\cdot(\cos x)}{\sin^2 x}\\ 	&=& \frac{-\cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x}\\ 	&=& -\csc x\cdot\cot x \end{eqnarray*}

Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{d(\csc x)}{dx} = -\csc x\cdot\cot x \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = \cot x \end{equation*}

Utilizaremos la identidad:

    \begin{equation*}    \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \end{equation*}

Definiendo: f(x) = \cos x, g(x) = \sin x, se sigue: f'(x) = -\sin x, g'(x) = \cos x. Sustituyendo en la regla de derivación correspondiente obtenemos:

    \begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \frac{(\sin x)\cdot(-\sin x) - (\cos x)\cdot(\cos x)}{\sin^2 x}\\ 	&=& \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x}\\ 	&=& \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \end{eqnarray*}

Luego,

    \begin{equation*}    \frac{d(\cot x)}{dx} = -\csc^2 x \end{equation*}


Más adelante utilizaremos las reglas de derivación que hemos deducido en esta sección para derivar funciones trigonométricas. Por ahora solamente es importante que sepas que existen.

Hay otras funciones que se llaman trigonométricas inversas. Por ejemplo y = \arcsin x es la función inversa de y = \sin. Algunas veces se escribe también como y = \sin^{-1}x para enfatizar que se trata de la función inversa
de la función seno. Es importante hacer notar que el super-índice -1 no es un exponente, sino un índice
para aclarar que se trata de la función inversa. Es decir:

    \begin{equation*}    \sin^{-1}(x) \neq \frac{1}{\sin x}\qquad\mbox{ sino }\qquad\sin^{-1}(x) = \arcsin x \end{equation*}

En palabras, \arcsin x es la medida del ángulo (en radianes) en el intervalo de \left(-\pi/2,\pi/2\right)
cuyo seno es x. Por ejemplo, el seno de \pi/4 radianes es \sqrt{2}/2. Entonces, \arcsin (\sqrt{2}/2) = \pi/4. De manera semejante se definen las otras funciones trigonométricas inversas: \arccos x, \arctan x, \mathrm{arccot}\; x, \mathrm{arcsec}\; x y \mathrm{arccsc}\; x.

Las reglas para derivar las funciones trigonométricas inversas se dan enseguida sin demostración:

    \begin{eqnarray*} \frac{d(\arcsin x)}{dx} &=& \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\\ \frac{d(\arccos x)}{dx} &=& -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\\ \frac{d(\arctan x)}{dx} &=& \frac{1}{1 + x^2}\\ % \frac{d(\mathrm{arccsc}\; x)}{dx} &=& -\frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}\\ \frac{d(\mathrm{arcsec}\; x)}{dx} &=& \frac{1}{x\sqrt{x^2 - 1}}\\ \frac{d(\mathrm{arccot}\; x)}{dx} &=& -\frac{1}{1 + x^2}\\ \end{eqnarray*}

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