Derivadas de funciones exponenciales y logaritmicas

Ahora tenemos que deducir las reglas para derivar las funciones exponenciales y las logaritmicas. Empezamos con la función $y = \log_a x$ .

Ejemplo 1

Deduce la regla para calcular la derivada de la función:

$\begin{equation*} y = \log_a x \end{equation*}$

Empezamos considerando el cociente de incrementos:

$\begin{equation*} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{\log_a (x + \Delta x) - \log_a x}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\cdot\left(\log_a (x + \Delta x) - \log_a x\right) \end{equation*}$

Por las propiedades de los logaritmos podemos escribir:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\Delta x}\,\log_a\left(\frac{x + \Delta x}{\Delta x}\right) &=& \textcolor{red}{\frac{x}{\Delta x}}\cdot\frac{1}{x}\cdot\log_a\left(\frac{x + \Delta x}{\Delta x}\right)\\ &=& \frac{1}{x}\cdot\log_a\left(\frac{x + \Delta x}{x}\right)^{\textcolor{red}{x/\Delta x}} = \frac{1}{x}\cdot\log_a\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^{x/\Delta x}\\ \end{eqnarray*}$

Por definición del número $e$ , ya sabemos que el límite:

$\begin{equation*} \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^{x/\Delta x}} = e \end{equation*}$

porque cuando $\Delta x$ tiende a cero, el cociente $x/\Delta x$ tiende a infinito, mientras que el cociente $\Delta x/x$ tiende a cero.
Y por definición de derivada, tenemos que calcular el límite:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1}{\Delta x}\cdot\left(\log_a (x + \Delta x) - \log_a x\right)\right)}\\ &=& \frac{1}{x}\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\log_a\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^{x/\Delta x}\right)}\\ &=& \frac{1}{x}\cdot\log_a\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left({1 + u}^{1/u}\right)} \qquad\qquad\left(u = \frac{\Delta x}{x}\right)\\ &=& \frac{1}{x}\cdot\log_a e \end{eqnarray*}$

Entonces, la regla de derivación para lafunción $y = \log_a x$ , es:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\,\log_a e \end{equation*}$

Ejemplo 2

Deduce la regla de derivación de la función:

$\begin{equation*} y = a^x \end{equation*}$

En este caso, tenemos que calcular el límite:

$\begin{equation*} \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x}\right)} \end{equation*}$

Pero como la función logaritmica es inversa de la función exponencial, también podemos ver que si $y = a^x$ , entonces se sigue que:

$\begin{equation*} x = \log_a y \end{equation*}$

Nosotros ya sabemos cómo derivar esta función.
Pero observa que en ésta, estamos considerando a $x$ como una función de $y$ .
Así que tendremos que derivar a $x$ respecto de $y$ :

$\begin{equation*} \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y}\log_a e \end{equation*}$

Pero nosotros no queríamos calcular esta derivada, sino $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ .
Para eso se requiere del uso de la regla de la cadena, tema que estudiamos en la siguiente sección.

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Derivadas de funciones exponenciales y logaritmicas

Aprenderás a deducir la fórmula para calcular la derivada de una función exponencial y de una función logarítmica.

Ejemplo 1

Ejemplo 2