Ahora tenemos que deducir las reglas para derivar las funciones exponenciales y las logaritmicas. Empezamos con la función .
Ejemplo 1
Deduce la regla para calcular la derivada de la función:
Empezamos considerando el cociente de incrementos:
Por las propiedades de los logaritmos podemos escribir:
Por definición del número , ya sabemos que el límite:
porque cuando tiende a cero, el cociente
tiende a infinito, mientras que el cociente
tiende a cero.
Y por definición de derivada, tenemos que calcular el límite:
Entonces, la regla de derivación para lafunción , es:
Ejemplo 2
Deduce la regla de derivación de la función:
En este caso, tenemos que calcular el límite:
Pero como la función logaritmica es inversa de la función exponencial, también podemos ver que si , entonces se sigue que:
Nosotros ya sabemos cómo derivar esta función.
Pero observa que en ésta, estamos considerando a como una función de
.
Así que tendremos que derivar a respecto de
:
Pero nosotros no queríamos calcular esta derivada, sino .
Para eso se requiere del uso de la regla de la cadena, tema que estudiamos en la siguiente sección.
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