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Derivadas de funciones exponenciales y logaritmicas

Aprenderás a deducir la fórmula para calcular la derivada de una función exponencial y de una función logarítmica.

Ahora tenemos que deducir las reglas para derivar las funciones exponenciales y las logaritmicas. Empezamos con la función y = \log_a x.


Ejemplo 1

Deduce la regla para calcular la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = \log_a x \end{equation*}

Empezamos considerando el cociente de incrementos:

    \begin{equation*}    \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{\log_a (x + \Delta x) - \log_a x}{\Delta x} =     \frac{1}{\Delta x}\cdot\left(\log_a (x + \Delta x) - \log_a x\right) \end{equation*}

Por las propiedades de los logaritmos podemos escribir:

    \begin{eqnarray*}    \frac{1}{\Delta x}\,\log_a\left(\frac{x + \Delta x}{\Delta x}\right) &=& \textcolor{red}{\frac{x}{\Delta x}}\cdot\frac{1}{x}\cdot\log_a\left(\frac{x + \Delta x}{\Delta x}\right)\\ 	&=& \frac{1}{x}\cdot\log_a\left(\frac{x + \Delta x}{x}\right)^{\textcolor{red}{x/\Delta x}} 	= \frac{1}{x}\cdot\log_a\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^{x/\Delta x}\\ \end{eqnarray*}

Por definición del número e, ya sabemos que el límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^{x/\Delta x}} = e \end{equation*}

porque cuando \Delta x tiende a cero, el cociente x/\Delta x tiende a infinito, mientras que el cociente \Delta x/x tiende a cero.
Y por definición de derivada, tenemos que calcular el límite:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1}{\Delta x}\cdot\left(\log_a (x + \Delta x) - \log_a x\right)\right)}\\ 	&=& \frac{1}{x}\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\log_a\left(1 + \frac{\Delta x}{x}\right)^{x/\Delta x}\right)}\\ 	&=& \frac{1}{x}\cdot\log_a\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left({1 + u}^{1/u}\right)} \qquad\qquad\left(u = \frac{\Delta x}{x}\right)\\ 	&=& \frac{1}{x}\cdot\log_a e \end{eqnarray*}

Entonces, la regla de derivación para lafunción y = \log_a x, es:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\,\log_a e \end{equation*}



Ejemplo 2

Deduce la regla de derivación de la función:

    \begin{equation*}    y = a^x \end{equation*}

En este caso, tenemos que calcular el límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{a^{x + \Delta x} - a^x}{\Delta x}\right)} \end{equation*}

Pero como la función logaritmica es inversa de la función exponencial, también podemos ver que si y = a^x, entonces se sigue que:

    \begin{equation*}    x = \log_a y \end{equation*}

Nosotros ya sabemos cómo derivar esta función.
Pero observa que en ésta, estamos considerando a x como una función de y.
Así que tendremos que derivar a x respecto de y:

    \begin{equation*}    \frac{dx}{dy} = \frac{1}{y}\log_a e \end{equation*}

Pero nosotros no queríamos calcular esta derivada, sino \displaystyle\frac{dy}{dx}.
Para eso se requiere del uso de la regla de la cadena, tema que estudiamos en la siguiente sección.


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