La derivada como razón de cambio instantánea

Observa que la razón de cambio instantánea es un limite:

$\begin{equation*} \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right) = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t}\right) \end{equation*}$

Cuando calculamos la razón de cambio promedio, geométricamente estamos calculando el valor de la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos $P(t,y(y))$ y $Q(t+\Delta t, y(t+\Delta t))$ . Por otra parte, cuando calculamos la razón de cambio instantánea estamos calculando la pendiente de la recta tangente a la curva $y = f(t)$ en el punto $P(t_0,y(t_0))$ .

Esa es precisamente la interpretación geométrica de la derivada.

Contenido

1 Derivada
2 Ejemplo 1
3 Ejemplo 2
4 Ejemplo 3
5 Ejemplo 4
6 Ejemplo 5

Derivada

La derivada de una función $y = f(x)$ que se denota como $y'$ , o bien $\displaystyle\frac{dy}{dx}$ es la razón de cambio instantánea de $y$ respecto a la variable independiente ( $x$ ). Específicamente:

$\begin{equation*} y' = \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)} \end{equation*}$

cuando ese límite existe.

Ejemplo 1

Calcula la derivada de la función:

$\begin{equation*} y = 5\,x \end{equation*}$

Aplicamos la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

$\begin{equation*} y + \Delta y = 5\,(x + \Delta x) = 5\,x + 5\,(\Delta x) \end{equation*}$

Paso 2:

$\begin{equation*} \Delta y = 5\,x + 5\,(\Delta x) - \textcolor{red}{5\,x} = 5\,(\Delta x) \end{equation*}$

Paso 3:

$\begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5\,(\Delta x)}{\Delta x} = 5 \end{equation*}$

Paso 4:

$\begin{equation*} \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(5\right)} = 5 \end{equation*}$

Entonces, si $y = 5\,x$ , su derivada $y' = 5$ .

Ejemplo 2

Calcula la derivada de la función:

$\begin{equation*} y = 5\,x - 12 \end{equation*}$

Evidentemente, vamos a calcular la derivada de $y$ con respecto a $x$ . Asi que aplicaremos la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

$\begin{equation*} y + \Delta y = 5\,(x + \Delta x) - 12 \end{equation*}$

Paso 2:

$\begin{eqnarray*} \Delta y &=& 5\,x + 5\,(\Delta x) - 12 - \left[\textcolor{red}{5\,x - 12}\right]\\ &=& 5\,(\Delta x) \end{eqnarray*}$

Paso 3:

$\begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5\,(\Delta x)}{\Delta x} = 5 \end{equation*}$

Paso 4:

$\begin{equation*} \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(5\right)} = 5 \end{equation*}$

Entonces, si $y = 5\,x - 12$ , su derivada es:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = 5 \end{equation*}$

Si comparamos los últimos dos ejemplos, vemos que dos funciones distintas pueden tener la misma derivada. En particular, su $f(x) = 5\,x$ , y $g(x) = 5\,x - 12$ , la derivada de ambas funciones es la misma:

$\begin{equation*} \frac{df}{dx} = \frac{dg}{dx} = 5 \end{equation*}$

Vamos a generalizar este resultado en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 3

Calcula la derivada de la función lineal:

$\begin{equation*} y = m\,x + b \end{equation*}$

Observa que no solamente estamos considerando el término independiente como una literal, sino también la pendiente.
Aplicamos la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

$\begin{equation*} y + \Delta y = m\,(x + \Delta x) + b = m\,x + m\,(\Delta x) + b \end{equation*}$

Paso 2:

$\begin{eqnarray*} \Delta y &=& m\,x + m\,(\Delta x) + b - \left[\textcolor{red}{m\,x + b}\right]\\ &=& m\,(\Delta x) \end{eqnarray*}$

Paso 3:

$\begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{m\,(\Delta x)}{\Delta x} = m \end{equation*}$

Paso 4:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(m\right)} = m \end{equation*}$

Entonces, para cualquier función lineal, $y = m\,x + b$ , su derivada es siempre igual a la pendiente de la misma:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = m \end{equation*}$

Para la función identidad: $y = x$ , tenemos que su derivada es $y' = 1$ , porque su pendiente es 1. También podemos darnos cuenta que para una recta horizontal, $m = 0$ , entonces, su derivada es cero. Es decir, si $b$ es una constante, entonces,

$\begin{equation*} \frac{db}{dx} = 0 \end{equation*}$

En el siguiente ejemplo vamos a demostrar esto.

Ejemplo 4

Demuestra que la derivada de la función constante es cero.

La función constante puede ser, por ejemplo, $y = b$ , donde $b$ es un número real. Aplicamos directamente la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

$\begin{equation*} y + \Delta y = b \end{equation*}$

porque la función siempre toma el mismo valor, independientemente del valor de $x$ que le demos.

Paso 2:

$\begin{equation*} \Delta y = b - \textcolor{red}{b} = 0 \end{equation*}$

Paso 3:

$\begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{\Delta x} = 0 \end{equation*}$

Paso 4:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{(0)} = 0 \end{equation*}$

Con lo que queda establecido el teorema.

Ejemplo 5

Calcula la derivada de la siguiente función:

$\begin{equation*} y = x + x^2 \end{equation*}$

Aplicamos la regla de los cuatro pasos.

<>Paso 1:

$\begin{eqnarray*} y + \Delta y &=& (x + \Delta x) + (x + \Delta x)^2\\ &=& x + \Delta x + x^2 + 2\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2 \end{eqnarray*}$

Paso 2:

$\begin{eqnarray*} \Delta y &=& x + \Delta x + x^2 + 2\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2 - \left[\textcolor{red}{x + x^2}\right]\\ &=& \Delta x + 2\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2 \end{eqnarray*}$

Paso 3:

$\begin{eqnarray*} \frac{\Delta y}{\Delta x} &=& \frac{\Delta x + 2\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2}{\Delta x}\\ &=& 1 + 2\,x + \Delta x \end{eqnarray*}$

Paso 4:

$\begin{equation*} \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(1 + 2\,x + \Delta x\right)} = 1 + 2\,x \end{equation*}$