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La derivada como razón de cambio instantánea

Aprenderás a calcular la derivada de funciones elementales a partir de su definición.

Observa que la razón de cambio instantánea es un limite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right) = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t}\right) \end{equation*}

Cuando calculamos la razón de cambio promedio, geométricamente estamos calculando el valor de la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos P(t,y(y)) y Q(t+\Delta t, y(t+\Delta t)). Por otra parte, cuando calculamos la razón de cambio instantánea estamos calculando la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(t) en el punto P(t_0,y(t_0)).

Esa es precisamente la interpretación geométrica de la derivada.


Derivada

La derivada de una función y = f(x) que se denota como y', o bien \displaystyle\frac{dy}{dx} es la razón de cambio instantánea de y respecto a la variable independiente (x). Específicamente:

    \begin{equation*}    y' = \frac{dy}{dx} =     \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} =     \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)} \end{equation*}

cuando ese límite existe.



Ejemplo 1

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = 5\,x \end{equation*}

Aplicamos la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = 5\,(x + \Delta x) = 5\,x + 5\,(\Delta x) \end{equation*}

Paso 2:

    \begin{equation*}    \Delta y = 5\,x + 5\,(\Delta x) - \textcolor{red}{5\,x} = 5\,(\Delta x) \end{equation*}

Paso 3:

    \begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5\,(\Delta x)}{\Delta x} = 5 \end{equation*}

Paso 4:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(5\right)} = 5 \end{equation*}

Entonces, si y = 5\,x, su derivada y' = 5.



Ejemplo 2


Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = 5\,x - 12 \end{equation*}

Evidentemente, vamos a calcular la derivada de y con respecto a x. Asi que aplicaremos la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = 5\,(x + \Delta x) - 12 \end{equation*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& 5\,x + 5\,(\Delta x) - 12 - \left[\textcolor{red}{5\,x - 12}\right]\\ 	&=& 5\,(\Delta x) \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{equation*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5\,(\Delta x)}{\Delta x} = 5 \end{equation*}

Paso 4:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(5\right)} = 5 \end{equation*}

Entonces, si y = 5\,x - 12, su derivada es:

    \begin{equation*}   \frac{dy}{dx} = 5 \end{equation*}


Si comparamos los últimos dos ejemplos, vemos que dos funciones distintas pueden tener la misma derivada. En particular, su f(x) = 5\,x, y g(x) = 5\,x - 12, la derivada de ambas funciones es la misma:

    \begin{equation*}    \frac{df}{dx} = \frac{dg}{dx} = 5 \end{equation*}

Vamos a generalizar este resultado en el siguiente ejemplo.


Ejemplo 3

Calcula la derivada de la función lineal:

    \begin{equation*}    y = m\,x + b \end{equation*}

Observa que no solamente estamos considerando el término independiente como una literal, sino también la pendiente.
Aplicamos la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = m\,(x + \Delta x) + b = m\,x + m\,(\Delta x) + b \end{equation*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& m\,x + m\,(\Delta x) + b - \left[\textcolor{red}{m\,x + b}\right]\\ 	&=& m\,(\Delta x) \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{equation*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{m\,(\Delta x)}{\Delta x} = m \end{equation*}

Paso 4:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(m\right)} = m \end{equation*}

Entonces, para cualquier función lineal, y = m\,x + b, su derivada es siempre igual a la pendiente de la misma:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = m \end{equation*}


Para la función identidad: y = x, tenemos que su derivada es y' = 1, porque su pendiente es 1. También podemos darnos cuenta que para una recta horizontal, m = 0, entonces, su derivada es cero. Es decir, si b es una constante, entonces,

    \begin{equation*}    \frac{db}{dx} = 0 \end{equation*}

En el siguiente ejemplo vamos a demostrar esto.


Ejemplo 4

Demuestra que la derivada de la función constante es cero.

La función constante puede ser, por ejemplo, y = b, donde b es un número real. Aplicamos directamente la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = b \end{equation*}

porque la función siempre toma el mismo valor, independientemente del valor de x que le demos.

Paso 2:

    \begin{equation*}    \Delta y = b - \textcolor{red}{b} = 0 \end{equation*}

Paso 3:

    \begin{equation*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{\Delta x} = 0 \end{equation*}

Paso 4:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{(0)} = 0 \end{equation*}

Con lo que queda establecido el teorema.



Ejemplo 5

Calcula la derivada de la siguiente función:

    \begin{equation*}    y = x + x^2 \end{equation*}

Aplicamos la regla de los cuatro pasos.

<>Paso 1:

    \begin{eqnarray*}    y + \Delta y &=& (x + \Delta x) + (x + \Delta x)^2\\ 	&=& x + \Delta x + x^2 + 2\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2 \end{eqnarray*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& x + \Delta x + x^2 + 2\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2 - \left[\textcolor{red}{x + x^2}\right]\\ 	&=& \Delta x + 2\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2 \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} &=& \frac{\Delta x + 2\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2}{\Delta x}\\ 	&=& 1 + 2\,x + \Delta x \end{eqnarray*}

Paso 4:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}     = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(1 + 2\,x + \Delta x\right)} = 1 + 2\,x \end{equation*}

Entonces, la derivada de la función y = x + x^2 es:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 1 + 2\,x \end{equation*}



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