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La derivada como razón de cambio instantánea

Aprenderás a calcular la derivada de funciones elementales a partir de su definición.

Prestamos fáciles y rápidos

Observa que la razón de cambio instantánea es un limite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta t}\right) = \lim\limits_{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{y(t + \Delta t) - y(t)}{\Delta t}\right) \end{equation*}

Cuando calculamos la razón de cambio promedio, geométricamente estamos calculando el valor de la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos P(t,y(y)) y Q(t+\Delta t, y(t+\Delta t)). Por otra parte, cuando calculamos la razón de cambio instantánea estamos calculando la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(t) en el punto P(t_0,y(t_0)).

Esa es precisamente la interpretación geométrica de la derivada.


Derivada

La derivada de una función y = f(x) que se denota como y', o bien \displaystyle\frac{dy}{dx} es la razón de cambio instantánea de y respecto a la variable independiente (x). Específicamente:

    \begin{equation*}    y' = \frac{dy}{dx} =     \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} =     \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)} \end{equation*}

cuando ese límite existe.



Ejemplo

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = 5\,x \end{equation*}

Aplicamos la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = 5\,(x + \Delta x) = 5\,x + 5\,(\Delta x) \end{equation*}

Paso 2:

    \begin{equation*}    \Delta y = 5\,x + 5\,(\Delta x) - \textcolor{red}{5\,x} = 5\,(\Delta x) \end{equation*}

Paso 3:

    \begin{equation*} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5\,(\Delta x)}{\Delta x} = 5 \end{equation*}

Paso 4:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}{\left(5\right)} = 5 \end{equation*}

Entonces, si y = 5\,x, su derivada y' = 5.



Ejemplo


Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = 5\,x - 12 \end{equation*}

Evidentemente, vamos a calcular la derivada de y con respecto a x. Asi que aplicaremos la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = 5\,(x + \Delta x) - 12 \end{equation*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& 5\,x + 5\,(\Delta x) - 12 - \left[\textcolor{red}{5\,x - 12}\right]\\ 	&=& 5\,(\Delta x) \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{equation*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{5\,(\Delta x)}{\Delta x} = 5 \end{equation*}

Paso 4:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(5\right)} = 5 \end{equation*}

Entonces, si y = 5\,x - 12, su derivada es:

    \begin{equation*}   \frac{dy}{dx} = 5 \end{equation*}


Si comparamos los últimos dos ejemplos, vemos que dos funciones distintas pueden tener la misma derivada. En particular, su f(x) = 5\,x, y g(x) = 5\,x - 12, la derivada de ambas funciones es la misma:

    \begin{equation*}    \frac{df}{dx} = \frac{dg}{dx} = 5 \end{equation*}

Vamos a generalizar este resultado en el siguiente ejemplo.


Ejemplo

Calcula la derivada de la función lineal:

    \begin{equation*}    y = m\,x + b \end{equation*}

Observa que no solamente estamos considerando el término independiente como una literal, sino también la pendiente.
Aplicamos la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = m\,(x + \Delta x) + b = m\,x + m\,(\Delta x) + b \end{equation*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& m\,x + m\,(\Delta x) + b - \left[\textcolor{red}{m\,x + b}\right]\\ 	&=& m\,(\Delta x) \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{equation*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{m\,(\Delta x)}{\Delta x} = m \end{equation*}

Paso 4:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(m\right)} = m \end{equation*}

Entonces, para cualquier función lineal, y = m\,x + b, su derivada es siempre igual a la pendiente de la misma:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)} = m \end{equation*}


Para la función identidad: y = x, tenemos que su derivada es y' = 1, porque su pendiente es 1. También podemos darnos cuenta que para una recta horizontal, m = 0, entonces, su derivada es cero. Es decir, si b es una constante, entonces,

    \begin{equation*}    \frac{db}{dx} = 0 \end{equation*}

En el siguiente ejemplo vamos a demostrar esto.


Ejemplo

Demuestra que la derivada de la función constante es cero.

La función constante puede ser, por ejemplo, y = b, donde b es un número real. Aplicamos directamente la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = b \end{equation*}

porque la función siempre toma el mismo valor, independientemente del valor de x que le demos.

Paso 2:

    \begin{equation*}    \Delta y = b - \textcolor{red}{b} = 0 \end{equation*}

Paso 3:

    \begin{equation*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{0}{\Delta x} = 0 \end{equation*}

Paso 4:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{(0)} = 0 \end{equation*}

Con lo que queda establecido el teorema.



Ejemplo

Calcula la derivada de la siguiente función:

    \begin{equation*}    y = x + x^2 \end{equation*}

Aplicamos la regla de los cuatro pasos.

<>Paso 1:

    \begin{eqnarray*}    y + \Delta y &=& (x + \Delta x) + (x + \Delta x)^2\\ 	&=& x + \Delta x + x^2 + 2\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2 \end{eqnarray*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& x + \Delta x + x^2 + 2\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2 - \left[\textcolor{red}{x + x^2}\right]\\ 	&=& \Delta x + 2\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2 \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} &=& \frac{\Delta x + 2\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2}{\Delta x}\\ 	&=& 1 + 2\,x + \Delta x \end{eqnarray*}

Paso 4:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}     = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(1 + 2\,x + \Delta x\right)} = 1 + 2\,x \end{equation*}

Entonces, la derivada de la función y = x + x^2 es:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = 1 + 2\,x \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la derivada de la siguiente función polinomial:

    \begin{equation*}    y = x + x^2 + x^3 \end{equation*}

Observa que esta función tiene un término cúbico y los otros dos corresponden a la función que derivamos en el ejemplo anterior. La función y = x^3 se derivó en la lección anterior. Esto nos permitirá comparar los resultados. Vamos a aplicar la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{eqnarray*}    y + \Delta y &=& (x + \Delta x) + \textcolor{red}{(x + \Delta x)^2} + \textcolor{blue}{(x + \Delta x)^3}\\ 	&=& (x + \Delta x) + \left[\textcolor{red}{x^2 + 2\,x\,(\Delta x) + (\Delta x)^2}\right] 	 + \left[\textcolor{blue}{x^3 + 3\,x^2(\Delta x) + 3\,x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}\right] \end{eqnarray*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& (x + \Delta x) + \left[\textcolor{red}{x^2 + 2\,x\,(\Delta x) + (\Delta x)^2}\right] 	 + \left[\textcolor{blue}{x^3 + 3\,x^2(\Delta x) + 3\,x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}\right] \\ 	&& - \left(\textcolor{red}f{x + x^2 + x^3}\right)\\    \Delta y &=& \Delta x + \textcolor{red}{2\,x\,(\Delta x) + (\Delta x)^2} + \textcolor{blue}{3\,x^2(\Delta x) + 3\,x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3} \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\Delta y}{\Delta x}  	&=& \displaystyle\frac{\Delta x + 2\,x\,(\Delta x) + (\Delta x)^2 + 3\,x^2(\Delta x) + 3\,x(\Delta x)^2 + (\Delta x)^3}{\Delta x}\\ 	&=& 1 + 2\,x + (\Delta x) + 3\,x^2 + 3\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2 \end{eqnarray*}

Paso 4:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x}     = \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(1 + 2\,x + (\Delta x) + 3\,x^2 + 3\,x(\Delta x) + (\Delta x)^2\right)} = 1 + 2\,x + 3\,x^2 \end{equation*}

Ahora observa que las derivadas de las funciones f(x) = x + x^2, y g(x) = x^3 son:

    \begin{equation*}    \frac{df}{dx} = 1 + 2\,x\qquad\qquad\mbox{ y }\qquad\qquad \displaystyle\frac{dg}{dx} = 3\,x^2 \end{equation*}

También observa que y = f(x) + g(x) = x + x^2 + x^3, y su derivada es la suma de las dos derivadas anteriores:

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \textcolor{red}{\frac{df}{dx}} + \textcolor{blue}{\frac{dg}{dx}} = \textcolor{red}{1 + 2\,x} + \textcolor{blue}{3\,x^2} \end{equation*}

Esto no debe sorprenderte, pues la derivada al ser un límite, debe heredar algunas de las propiedades de los límites.


Es verdad que si y = f(x), y y = g(x) son dos funciones, entonces,

    \begin{equation*}  \frac{d}{dx}\left(f(x) + g(x)\right) = \frac{df}{dx} + \frac{dg}{dx} \end{equation*}

Es decir, la derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas. Sin embargo, no es verdad que, en general, la derivada del producto sea igual al producto de las derivadas. Puedes encontrar evidencia de este hecho observando que si y = x^2, podemos hacer f(x) = x, y g(x) = x. Ya sabemos que f'(x) = g'(x) = 1, por tanto, f'(x)\cdot g'(x) = 1. Pero por otra parte, tenemos que y = f(x)\cdot g(x) = x^2, y también vimos que

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \frac{d(x^2)}{dx} = 2\,x \neq 1 \end{equation*}

Es decir, la derivada del producto de las funciones f(x) y g(x) no es igual al producto de sus derivadas.


Ejemplo

Deduce una fórmula para calcular la derivada del producto de dos funciones.

Definimos: y_1 = f(x), y_2 = g(x), y y = f(x)\cdot g(x).
Vamos a aplicarle la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = f(x + \Delta x)\cdot g(x + \Delta x) \end{equation*}

Al hacer un incremento en x cada función tiene un incremento, \Delta f para la primera y \Delta g para la segunda. Observa que \Delta f(x) = f(x + \Delta x) - f(x), y que \Delta g(x) = g(x + \Delta x) - g(x).
Esto nos permite escribir:

Aprende Producción de Audio

    \begin{eqnarray*}    y + \Delta y &=& (f(x) + \Delta f(x))\cdot \left[g(x) + \Delta g(x)\right] \\ 	&=& f(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot\left[\Delta g(x)\right] + g(x)\cdot\left[\Delta f(x)\right] + \left[\Delta f(x)\right]\cdot\left[\Delta g(x)\right] \end{eqnarray*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*} \Delta y &=& \left[f(x) + \Delta f(x)\right]\cdot\left[g(x) + \Delta g(x)\right] \\ 	&=& f(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot\left[\Delta g(x)\right] + g(x)\cdot\left[\Delta f(x)\right] + \left[\Delta f(x)\right]\cdot\left[\Delta g(x)\right] - \textcolor{red}{f(x)\cdot g(x)}\\ 	&=& f(x)\cdot\left[\Delta g(x)\right] + g(x)\cdot\left[\Delta f(x)\right] + \left[\Delta f(x)\right]\cdot\left[\Delta g(x)\right] \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{equation*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x)\cdot\left[\Delta g(x)\right] + g(x)\cdot\left[\Delta f(x)\right] + \left[\Delta f(x)\right]\left[\Delta g(x)\right]}{\Delta x} \end{equation*}

Ahora reescribimos la última ecuación de la siguiente forma:

    \begin{equation*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} = f(x)\cdot\frac{\Delta g(x)}{\Delta x} + g(x)\cdot\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} + \frac{\left[\Delta f(x)\right]\cdot\left[\Delta g(x)\right]}{\Delta x} \end{equation*}

Paso 4:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{\Delta y}{\Delta x} \\    &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(f(x)\cdot\frac{\Delta g(x)}{\Delta x} + g(x)\cdot\frac{\Delta f(x)}{\Delta x} + \frac{\left[\Delta f(x)\right]\cdot\left[\Delta g(x)\right]}{\Delta x}\right)}\\    &=& \mylim{f(x)\cdot\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}} + \mylim{g(x)\cdot\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}} + \mylim{\frac{\left[\Delta f(x)\right]\cdot\left[\Delta g(x)\right]}{\Delta x}}\\    &=& f(x)\cdot\mylim{\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}} + g(x)\cdot\mylim{\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}} + \mylim{\frac{\left[\Delta f(x)\right]\cdot\left[\Delta g(x)\right]}{\Delta x}} \end{eqnarray*}

Cuando \Delta x tiende a cero, tanto \Delta f(x) como \Delta g(x) tienden a cero, porque \Delta f(x) = f(x + \Delta x) - f(x), y que \Delta g(x) = g(x + \Delta x) - g(x).
Así que el producto \left[\Delta f(x)\right]\cdot\left[\Delta g(x)\right] tiende a cero más rápido que \Delta x, de manera que el límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\left[\Delta f(x)\right]\cdot\left[\Delta g(x)\right]}{\Delta x}\right) = 0 \end{equation*}

y la derivada del producto de las funciones y = f(x), y y = g(x) es:

    \begin{equation*} \frac{dy}{dx} = f(x)\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}\right) + g(x)\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\right)} \end{equation*}

pero,

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta g(x)}{\Delta x}\right) &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right) = \frac{dg}{dx}\qquad\mbox{ y } \\    \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}\right) &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right) = \frac{df}{dx} \end{eqnarray*}

luego,

    \begin{equation*}    \frac{dy}{dx} = \frac{d\left[f(x)\cdot g(x)\right]}{dx} =  f(x)\cdot\frac{dg(x)}{dx} + g(x)\cdot\frac{df(x)}{dx} \end{equation*}



Ejemplo

Calcula una fórmula para el triple producto de funciones.

Definimos: y_1 = f(x), y_2 = g(x), y_3 = h(x), y la función y = f(x)\cdot g(x)\cdot h(x). Ahora aplicamos la fórmula que acabamos de encontrar definiendo \textcolor{red}{u = f(x)} y \textcolor{blue}{v = g(x)\cdot h(x)}:

    \begin{eqnarray*}    \frac{d\left[f(x)\cdot (g(x)\cdot h(x))\right]}{\Delta x} &=& \frac{d\left[\textcolor{red}{u}\cdot \textcolor{blue}{v}\right]}{\Delta x} \\ 	&=&  \textcolor{red}{u}\cdot\frac{d\textcolor{blue}{v}}{dx} + \textcolor{blue}{v}\cdot\frac{d\textcolor{red}{u}}{dx}\\ 	&=& \textcolor{red}{f(x)}\cdot\frac{d\left[\textcolor{blue}{g(x)\cdot h(x)}\right]}{dx} + \textcolor{blue}{g(x)\cdot h(x)}\cdot\frac{d\textcolor{red}{f(x)}}{dx} \end{eqnarray*}

Ahora volvemos a aplicar la fórmula de la derivada de un producto en el primer término:

    \begin{equation*}    \frac{d\left[\textcolor{blue}{g(x)\cdot h(x)}\right]}{dx} = \textcolor{blue}f{g(x)\cdot\frac{dh(x)}{dx} + h(x)\cdot\frac{dg(x)}{dx}} \end{equation*}

Entonces, la derivada del triple producto de funciones es:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& f(x)\cdot\left[\textcolor{blue}f{g(x)\cdot\frac{dh(x)}{dx} + h(x)\cdot\frac{dg(x)}{dx}}\right] + g(x)\cdot h(x)\cdot\frac{df(x)}{dx}\\ 	&=& f(x)\cdot g(x)\cdot\frac{dh(x)}{dx} + f(x)\cdot h(x)\cdot\frac{dg(x)}{dx} + g(x)\cdot h(x)\cdot\frac{df(x)}{dx} \end{eqnarray*}



Ejemplo

Calcula la derivada de la función:

    \begin{equation*}    y = x^n \end{equation*}

Este ejercicio no es sencillo, pero es muy instructivo. Para resolverlo debes recordar el binomio de Newton:

    \begin{equation*}    (x + a)^n = \binom{n}{0}\,x^n + \binom{n}{1}\,x^{n-1}\,a + \cdots + \binom{n}{n-1}\,x\,a^{n-1} + \binom{n}{n}\,a^n \end{equation*}

Nosotros vamos a hacer a = \Delta x para utilizarlo en el primer paso. Así que empezamos aplicando la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{eqnarray*}    y + \Delta y &=& (x + (\Delta x))^n \\ 	&=& \binom{n}{0}\,x^n + \binom{n}{1}\,x^{n-1}\,(\Delta x) + \cdots + \binom{n}{n-1}\,x\,(\Delta x)^{n-1} + \binom{n}{n}\,(\Delta x)^n\\ 	&=& x^n + n\,x^{n-1}\,(\Delta x) + \cdots + n\,x\,(\Delta x)^{n-1} + (\Delta x)^n \end{eqnarray*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& x^n + n\,x^{n-1}\,(\Delta x) + \cdots + n\,x\,(\Delta x)^{n-1} + (\Delta x)^n - \textcolor{red}{x^n}\\ 	&=& n\,x^{n-1}\,(\Delta x) + \cdots + n\,x\,(\Delta x)^{n-1} + (\Delta x)^n \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\Delta y}{\Delta x} &=& \frac{n\,x^{n-1}\,(\Delta x) + \cdots + n\,x\,(\Delta x)^{n-1} + (\Delta x)^n}{\Delta x}\\ 	&=& n\,x^{n-1} + \binom{n}{2}\,x^{n-2}(\Delta x) + \cdots + n\,x\,(\Delta x)^{n-2} + (\Delta x)^{n-1} \end{eqnarray*}

Paso 4:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\\ 	&=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(n\,x^{n-1} + \binom{n}{2}\,x^{n-2}(\Delta x) + \cdots + n\,x\,(\Delta x)^{n-2} + (\Delta x)^{n-1}\right)\\ 	&=& n\,x^{n-1} + \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\binom{n}{2}\,x^{n-2}(\Delta x) + \cdots + n\,x\,(\Delta x)^{n-2} + (\Delta x)^{n-1}\right)\\ 	&=& n\,x^{n-1} \end{eqnarray*}

Observa que todos los términos del desarrollo del binomio a la potencia n, excepto el primero, tienen como coeficiente alguna potencia de \Delta x. Eso ocasiona que todos, excepto el primero se hagan cero cuando calculamos el límite cuando \Delta x tiende a cero.
Entonces,

    \begin{equation*}    \frac{d(x^n)}{dx} =  n\,x^{n-1} \end{equation*}



Ejemplo

Calcula la derivada del cociente de dos funciones:

    \begin{equation*}    y = \frac{f(x)}{g(x)} \end{equation*}

Ahora consideramos un cociente. Aplicamos la regla de los cuatro pasos.

Paso 1:

    \begin{equation*}    y + \Delta y = \frac{f(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x)} \end{equation*}

Paso 2:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& \frac{f(x + \Delta x)}{g(x + \Delta x)}  - \frac{f(x)}{g(x)}\\ 	&=& \frac{g(x)\cdot\left[f(x + \Delta x)\right] - f(x)\cdot\left[g(x + \Delta x)\right]}{g(x)\cdot g(x + \Delta x)} \end{eqnarray*}

Ahora vamos a sumar 0 = f(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g(x) en el numerador para poder expresar la fracción como:

    \begin{eqnarray*}    \Delta y &=& \frac{g(x)\cdot f(x + \Delta x) - f(x)\cdot g(x + \Delta x) + \textcolor{red}{f(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g(x)}}{g(x)\cdot g(x + \Delta x)}\\ 	&=& \frac{g(x)\cdot\left[f(x + \Delta x) - f(x)\right]- f(x)\cdot\left[g(x + \Delta x) - g(x)\right]}{g(x)\cdot g(x + \Delta x)}\\ 	&=& \frac{g(x)\cdot\left[f(x + \Delta x) - f(x)\right]}{g(x)\cdot g(x + \Delta x)}- \frac{f(x)\cdot\left[g(x + \Delta x) - g(x)\right]}{g(x)\cdot g(x + \Delta x)} \end{eqnarray*}

Paso 3:

    \begin{eqnarray*}    \frac{\Delta y}{\Delta x}  	&=& \frac{g(x)\cdot\left[f(x + \Delta x) - f(x)\right]}{(\Delta x)\cdot g(x)\cdot g(x + \Delta x)}- \frac{f(x)\cdot\left[g(x + \Delta x) - g(x)\right]}{(\Delta x)\cdot g(x)\cdot g(x + \Delta x)}\\ 	&=& \frac{g(x)}{g(x)\cdot g(x + \Delta x)}\cdot\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} - \frac{f(x)}{g(x)\cdot g(x + \Delta x)}\cdot\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\\ 	&=& \frac{1}{g(x + \Delta x)}\cdot\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}  - \frac{f(x)}{g(x)}\cdot\frac{1}{g(x + \Delta x)}\cdot\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x} \end{eqnarray*}

Paso4:

    \begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \\ 	&=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1}{g(x + \Delta x)}\cdot\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)\\ &&\qquad\qquad	 - \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1}{g(x + \Delta x)}\cdot\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right) \\ 	&=& \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1}{g(x + \Delta x)}\right)\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}\right)\\ &&\qquad\qquad	 - \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{1}{g(x + \Delta x)}\right)\cdot\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\left(\frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}\right)\\ 	&=& \frac{1}{g(x)}\cdot\frac{df(x)}{dx} - \frac{f(x)}{g(x)}\cdot\frac{1}{g(x)}\cdot\frac{dg(x)}{dx} \end{eqnarray*}

Podemos multiplicar en el numerador y en el denominador del primer término por g(x) para simplificar la expresión como sigue:

    \begin{eqnarray*}    \frac{dy}{dx} &=& \frac{g(x)}{\left[g(x)\right]^2}\cdot\frac{df(x)}{dx} - \frac{f(x)}{\left[g(x)\right]^2}\cdot\frac{dg(x)}{dx}\\ 	&=& \frac{g(x)\cdot f'(x) - f(x)\cdot g'(x)}{\left[g(x)\right]^2} \end{eqnarray*}

donde

    \begin{equation*}    f'(x) = \frac{df(x)}{dx}\qquad\mbox{ y }\qquad g'(x) = \frac{dg(x)}{dx} \end{equation*}



Reto

Justifica la fórmula:

    \begin{equation*}    \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{g(x)\cdot f'(x) - f(x)\cdot g'(x)}{\left[g(x)\right]^2} \end{equation*}

usando las fórmulas: \displaystyle\frac{d(x^n)}{dx} = n\,x^{n-1} y \displaystyle\frac{d\left[f(x)\cdot g(x)\right]}{dx} =  f(x)\cdot g'(x)+ g(x)\cdot f'(x) escribiendo:

    \begin{equation*}    \frac{f(x)}{g(x)} = f(x)\cdot\left[g(x)\right]^{-1}. \end{equation*}


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