Definición y clasificación de triángulos

Contenido

1 Mediana
2 Baricentro
3 Ejemplo
4 Teorema
5 Ejemplo
6 Ortocentro

Mediana

La mediana es el segmento de recta que pasa por el punto medio de un lado del triángulo y por el vértice opuesto.

La siguiente figura muestra un triángulo y una de sus medianas:

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto.

Baricentro

Es el punto donde se intersectan las tres medianas de un triángulo.

En la siguiente figura semuestra un triángulo con sus tres medianas y el baricentro:

Físicamente, el baricentro representa el centro de gravedad del triángulo.

Ejemplo

Muestra la interpretación física del baricentro como el centro de gravedad del triángulo.

Empezamos dibujando el triángulo y una de sus medianas:

Ahora vamos a dibujar muchas rectas paralelas a la base del triángulo para dar la interpretación física:

Observa cada una de las tiras horizontales que se formaron con los segmentos agregados al triángulo. Si buscamos el punto donde cada tira se equilibra, vamos a encontrarlo muy cerca del punto medio de su longitud.

Si hacemos más tiras horizontales, hasta considerar cada tira como un segmento, obtendremos entonces que el punto medio del segmento es el punto donde se equilibra cada tira:

En otras palabras, la mediana es la recta de equilibrio del triángulo, respecto de los lados $\overline{AC}$ y $\overline{BC}$ . Al considerar una segunda mediana del triángulo, obtenemos otra recta de equilibrio del triángulo:

De nuevo, podemos argumentar como en el caso anterior y ver que la mediana es la recta de equilibrio para los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ .

El punto $P$ de intersección de las dos medianas, por pertenecer a la primera mediana dibujada, equilibra a los lados $\overline{AB}$ y $\overline{BC}$ . Pero por pertenecer a la segunda mediana dibujada, equilibra a los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ . Es decir, en el punto $P$ , el triángulo se equilibra respecto de sus tres lados. Entonces, la otra mediana, que equilibra respecto de los lados $\overline{AC}$ y $\overline{BC}$ , debe pasar por ese punto.

Teorema

Las tres medianas de un triángulo se cortan en un mismo punto.

Las tres alturas de un triángulo también se cortan en un mismo punto.

Ejemplo

Demuestra que las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto.

Empezamos dibujando un triángulo con sus tres alturas:

Dibujamos rectas paralelas a cada uno de los lados que pasen por el vértice opuesto a cada una de ellas para formar otro triángulo:

Dado que $\overline{AB'}\parallel\overline{BC}$ , se tiene que $|\overline{B'C}| = |\overline{AB}|$ , porque dos rectas paralelas mantienen la misma distancia entre ellas en cualquiera de sus puntos.

También se cumple que $\overline{AC}\parallel\overline{BA'}$ , por lo que que $|\overline{CA'}| = |\overline{AB}|$ . Con esto probamos que el punto $C$ es el punto medio del segmento $\overline{A'B'}$ . Y como la altura dibujada al triángulo $\triangle ABC$ que pasa por el punto $C$ es perpendicular al lado $\overline{AB}$ y éste a su vez es paralelo a $\overline{B'A'}$ , esta altura es la mediatriz del segmento $\overline{B'A'}$ .

De manera semejante podemos probar que las otras alturas son las mediatrices de los otros lados del triángulo $\triangle A'B'C'$ . Y como ya habíamos demotrado que las tres mediatrices de un triángulo se intersectan en un mismo punto, las tres alturas del triángulo $\triangle ABC$ se cortan también en un mismo punto por ser las tres mediatrices del triángulo $\triangle A'B'C'$ .