Definición y clasificación de triángulos

Contenido

1 Ejemplo
2 Ejemplo
3 Incentro
4 Mediatriz
5 Ejemplo
6 Teorema
7 Ejemplo
8 Circuncentro
9 Ejemplo

Ejemplo

Demuestra que cada punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma distancia de cada uno de los lados del ángulo.

Empezamos dibujando la situación:

Como la bisectriz divide al ángulo en dos partes iguales, y las distancias son medidas perpendicularmente a los lados del ángulo, los triángulos que se forman son iguales, pues tienen iguales sus tres ángulos y la hipotenusa. Pero si los triángulos rectángulos son iguales, los catetos son iguales, uno a uno. Es decir, las distancias $d$ y $d'$ son iguales, que era lo que se quería demostrar.

Ejemplo

Demuestra que las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un mismo punto.

La figura que ilustra la situación es la siguiente:

El punto $P$ , por estar en la bisectriz $\ell_1$ , está a la misma distancia de los lados $\overline{AB}$ como de $\overline{AC}$ . Es decir, la distancia desde $P$ hasta $\overline{AB}$ , la cual denotaremos por: $D(P,\overline{AB})$ es la misma que la distancia desde $P$ hasta $\overline{AC}$ , denotada por: $D(P,\overline{AC})$ . Pero el punto $P$ también está en la bisectriz $\ell_2$ , por eso está a la misma distancia de los lados $\overline{AC}$ como de $\overline{BC}$ . Esto implica: $D(P,\overline{BC}) = D(P,\overline{AC})$ . Por lo tanto,

$\begin{equation*} D(P,\overline{AB}) = D(P,\overline{AC}) = D(P,\overline{BC}) \end{equation*}$

En palabras, el punto $P$ está a la misma distancia de los tres lados del triángulo. La bisectriz del ángulo con vértice en $B$ necesariamente pasará por el punto $P$ , pues este punto equidista de los lados $\overline{AB}$ como de $\overline{BC}$ .

Con esto queda demostrado el teorema.

Incentro

Es el punto donde se intersectan las tres bisectrices de un triángulo.

Mediatriz

La mediatriz de un segmento es la recta que es perpendicular al segmento y que pasa por su punto medio.

La siguiente figura muestra un segmento con su mediatriz:

Los puntos $A$ y $B$ son extremos del segmento y el punto $M$ es el punto medio de éstos. El siguiente ejemplo muestra el procedimiento para trazar una mediatriz a un segmento dado.

Ejemplo

Traza una mediatriz a un segmento $\overline{AB}$ dado.

Con el compás abierto más que la mitad de la longitud del segmento, trazamos arcos que se corten mutuamente, apoyándonos primero en $A$

y luego en $B$

como se muestra enseguida:

Ahora solo falta trazar la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos para obtener la mediatriz del segmento $\overline{AB}$ :

El punto $M$ indicado en la figura del ejemplo es el punto medio del segmento $\overline{AB}$ . El siguiente teorema nos ayuda a demostrar que las tres mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un mismo punto.

Teorema

Cada punto de la mediatriz equidista de los extremos del segmento sobre la cual se le dibujó.

Ejemplo

Demuestra que las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un solo punto.

Empezamos dibujando la situación:

El punto $P$ , por pertenecer a la mediatriz $\ell_1$ está a la misma distancia de los vértices $B$ y $C$ . Pero $P$ también está sobre la mediatriz $\ell_2$ , por eso equidista de los vértices $A$ y $C$ del triángulo. Por lo tanto, la otra mediatriz debe pasar necesariamente por el punto $P$ , pues este punto está a la misma distancia de los vértices $A$ y $B$ . Esto indica que las tres mediatrices se cortan en el punto $P$ .

Circuncentro

Es el punto donde se intersectan las tres mediatrices de un triángulo.

Ejemplo

Demuestra que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices del triángulo.

Trazamos una recta paralela al cateto $\overline{AB}$

que pase por $M$

, siendo el punto $M$

es el punto de la hipotenusa:

Como los catetos son perpendiculares y $\ell\parallel\overline{AB}$ , la recta $\ell$ es perpendicular al cateto $\overline{AC}$ .

Observa que el triángulo $\triangle MCN$ también es un triángulo rectángulo. El triángulo inicial $\triangle ABC$ y el triángulo $\triangle MCN$ comparten el ángulo con vértice en $C$ y además ambos poseen un ángulo recto. Esto significa que los ángulos: $\angle CMN$ y $\angle CBA$ , son iguales.

Recuerda también que: $|\overline{CM}| = |\overline{BM}|$ , porque $M$ es el punto medio de $\overline{BC}$ . Es decir, si trazamos una perpendicular al cateto $\overline{AB}$ , que pase por el punto $M$ obtendremos:

Observa que $\overline{AC}\parallel\overline{MP}$ , por lo que el par de ángulos $\angle NCM$ y en $\angle PMB$ son correspondientes, y por tanto, tienen la misma medida. Los triángulos $\triangle PBM$ y $\triangle NMC$ son triángulos rectángulos.

Los tres ángulos internos de estos triángulos son idénticos. Además la hipotenusa de cada uno de éstos ( $\triangle PBM$ y $\triangle NMC$ )
mide la mitad del segmento $\overline{BC}$ (hipotenusa del triángulo $\triangle ABC$ ).

Esto significa que los triángulos $\triangle PBM$ y $\triangle NMC$ son idénticos, es decir, tienen las medidas de sus lados iguales uno a uno. Entonces, como $|\overline{MP}| = |\overline{AN}|$ , y ya dedujimos que $|\overline{MP}| = |\overline{CN}|$ , se sigue que $|\overline{AN}| = |\overline{CN}|$ .

En otras palabras, el punto $N$ es el punto medio del cateto $\overline{AC}$ . Esto es, la recta $\ell$ es la mediatriz del cateto $\overline{AC}$ , pues es perpendicular al lado $\overline{AC}$ y pasa por su punto medio.

Por lo tanto, el punto $M$ , por estar sobre la mediatriz del cateto $\overline{AC}$ , está a la misma distancia de los vértices $A$ y $C$ . Pero este punto $M$ está a la misma distancia de $B$ como de $C$ , pues es el punto medio de la hipotenusa del triángulo $\triangle ABC$ . esto significa que el punto $M$ equidista de los tres vértices:

En conclusión, el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo que se encuentra en un plano es el circuncentro del triángulo.

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