Ejemplo
Demuestra que cada punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma distancia de cada uno de los lados del ángulo.
Como la bisectriz divide al ángulo en dos partes iguales, y las distancias son medidas perpendicularmente a los lados del ángulo, los triángulos que se forman son iguales, pues tienen iguales sus tres ángulos y la hipotenusa. Pero si los triángulos rectángulos son iguales, los catetos son iguales, uno a uno. Es decir, las distancias y
son iguales, que era lo que se quería demostrar.
Ejemplo
Demuestra que las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un mismo punto.
El punto , por estar en la bisectriz
, está a la misma distancia de los lados
como de
. Es decir, la distancia desde
hasta
, la cual denotaremos por:
es la misma que la distancia desde
hasta
, denotada por:
. Pero el punto
también está en la bisectriz
, por eso está a la misma distancia de los lados
como de
. Esto implica:
. Por lo tanto,
En palabras, el punto está a la misma distancia de los tres lados del triángulo. La bisectriz del ángulo con vértice en
necesariamente pasará por el punto
, pues este punto equidista de los lados
como de
.
Con esto queda demostrado el teorema.
Incentro
Mediatriz
La siguiente figura muestra un segmento con su mediatriz:
Los puntos y
son extremos del segmento y el punto
es el punto medio de éstos. El siguiente ejemplo muestra el procedimiento para trazar una mediatriz a un segmento dado.
Ejemplo
Traza una mediatriz a un segmento dado.


Ahora solo falta trazar la recta que pasa por los puntos de intersección de los arcos para obtener la mediatriz del segmento :
El punto indicado en la figura del ejemplo es el punto medio del segmento
. El siguiente teorema nos ayuda a demostrar que las tres mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un mismo punto.
Teorema
Ejemplo
Demuestra que las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un solo punto.
El punto , por pertenecer a la mediatriz
está a la misma distancia de los vértices
y
. Pero
también está sobre la mediatriz
, por eso equidista de los vértices
y
del triángulo. Por lo tanto, la otra mediatriz debe pasar necesariamente por el punto
, pues este punto está a la misma distancia de los vértices
y
. Esto indica que las tres mediatrices se cortan en el punto
.
Circuncentro
Ejemplo
Demuestra que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres vértices del triángulo.



Como los catetos son perpendiculares y , la recta
es perpendicular al cateto
.
Observa que el triángulo también es un triángulo rectángulo. El triángulo inicial
y el triángulo
comparten el ángulo con vértice en
y además ambos poseen un ángulo recto. Esto significa que los ángulos:
y
, son iguales.
Recuerda también que: , porque
es el punto medio de
. Es decir, si trazamos una perpendicular al cateto
, que pase por el punto
obtendremos:
Observa que , por lo que el par de ángulos
y en
son correspondientes, y por tanto, tienen la misma medida. Los triángulos
y
son triángulos rectángulos.
Los tres ángulos internos de estos triángulos son idénticos. Además la hipotenusa de cada uno de éstos ( y
)
mide la mitad del segmento (hipotenusa del triángulo
).
Esto significa que los triángulos y
son idénticos, es decir, tienen las medidas de sus lados iguales uno a uno. Entonces, como
, y ya dedujimos que
, se sigue que
.
En otras palabras, el punto es el punto medio del cateto
. Esto es, la recta
es la mediatriz del cateto
, pues es perpendicular al lado
y pasa por su punto medio.
Por lo tanto, el punto , por estar sobre la mediatriz del cateto
, está a la misma distancia de los vértices
y
. Pero este punto
está a la misma distancia de
como de
, pues es el punto medio de la hipotenusa del triángulo
. esto significa que el punto
equidista de los tres vértices:
En conclusión, el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo que se encuentra en un plano es el circuncentro del triángulo.
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