Definición y clasificación de triángulos

Para el triángulo también se definen los siguientes elementos.

Contenido

1 Ángulo externo
2 Ángulo interno opuesto
3 Teorema
4 Demostración
5 Ejemplo
6 Corolario
7 Corolario
8 Corolario
9 Corolario
10 Corolario
11 Ejemplo
12 Ejemplo

Ángulo externo

Es aquel ángulo que se forma cuando se prolonga uno de los lados del triángulo.

La siguiente figura muestra un ángulo externo $\phi$ del tríangulo:

Ángulo interno opuesto

Aquellos ángulos internos del triángulo que no son adyacentes al ángulo externo considerado.

En la figura anterior, los ángulos $\alpha$ y $\gamma$ son ángulos internos opuestos al ángulo externo $\phi$ mostrado.

Teorema

El ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los otros dos ángulos internos opuestos.

Demostración

Empezamos trazando una recta paralela al lado del triángulo que no es parte del ángulo externo, por el vértice de éste:

Esta recta ha dividido al ángulo externo en dos partes, que se han denotado por $\psi$ y $\phi'$ . Observa que los ángulos $\alpha$ y $\psi$ son alternos internos. Esto significa que $\alpha = \psi$ .

También, observa que $\phi = \phi'$ , porque son opuestos por el vértice. Además, los ángulos $\phi'$ y $\beta$ son alternos internos, por lo que $\phi' = \beta = \phi$ . Por lo tando, si $\xi = \psi + \phi$ es el ángulo externo, tenemos:

$\begin{equation*} \xi = \psi + \phi = \alpha + \beta \end{equation*}$

con lo que queda demostrado el teorema.

Ejemplo

Demuestra que la suma de los ángulos internos de un triángulo que se encuentra en el plano es igual a $180\textdegree$ .

Basándonos en la figura utilizada para demostrar el teorema anterior, vemos que $\phi + \psi + \gamma = 180\textdegree$

, porque los tres están en un mismo lado de una recta. Además, en esa demostración se justifica que: $\alpha = \psi$

y que $\beta = \phi$

. De aquí que:

$\begin{equation*} \alpha + \beta + \gamma = \psi + \phi + \gamma = 180\textdegree \end{equation*}$

Con lo que queda demostrado este teorema.

Algunos resultados que se desprenden de los dos teoremas antes demostrados son los siguientes:

Corolario

Cada uno de los ángulos internos de un triángulo equilátero mide $60\textdegree$ .

Corolario

La suma de cualesquiera dos ángulos internos de un triángulo siempre es menor a $180\textdegree$ .

Corolario

Un triángulo no puede tener más de un ángulo recto.

Corolario

Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso.

Corolario

Un triángulo tiene al menos dos ángulos agudos.

Ejemplo

Demuestra que la suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

Si el triángulo es rectángulo, necesariamente debe tener un ángulo recto, al cual denotaremos por $\alpha$

. Los otros dos ángulos deben ser agudos:

Dado que $\alpha + \beta + \gamma = 180\textdegree$ , y $\alpha = 90\textdegree$ , necesariamente:

$\begin{equation*} 90\textdegree + \beta + \gamma = 180\textdegree \qquad\Rightarrow\qquad \beta + \gamma = 90\textdegree \end{equation*}$

Con lo que queda establecido el teorema.

Ejemplo

Demuestra que la suma de los tres ángulos externos de un triángulo que se encuentra en el plano es igual a $360\textdegree$ .

Empezamos dibujando el triángulo y sus tres ángulos externos:

De la figura es evidente que:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{\alpha} + \textcolor{blue}{\alpha'} &=& 180\textdegree\\ \textcolor{red}{\beta} + \textcolor{blue}{\beta'} &=& 180\textdegree\\ \textcolor{red}{\gamma} + \textcolor{blue}{\gamma'} &=& 180\textdegree \end{eqnarray*}$

Al sumar las tres ecuaciones obtenemos:

$\begin{equation*} \textcolor{red}{\alpha} + \textcolor{red}{\beta} + \textcolor{red}{\gamma} + \textcolor{blue}{\alpha'} + \textcolor{blue}{\beta'} + \textcolor{blue}{\gamma'} = 540\textdegree \end{equation*}$

Pero también sabemos que $\textcolor{red}{\alpha} + \textcolor{red}{\beta} + \textcolor{red}{\gamma} = \textcolor{red}{180\textdegree}$ , porque éstos son los tres ángulos internos del triángulo. Entonces,

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{180\textdegree} + \textcolor{blue}{\alpha'} + \textcolor{blue}{\beta'} + \textcolor{blue}{\gamma'} &=& 540\textdegree\\ \textcolor{blue}{\alpha'} + \textcolor{blue}{\beta'} + \textcolor{blue}{\gamma'} &=& \textcolor{blue}{360\textdegree} \end{eqnarray*}$