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Coordenadas de un punto

Conocerás los objetos matemáticos fundamentales para el estudio de la geometría analítica.

En esta sección iniciamos con las definiciones de algunos conceptos básicos sobre los cuales descansan todos los demás conceptos que utilizaremos a lo largo del curso.


Recta dirigida

Sobre una línea recta eleginos un punto al cual llamaremos origen. A partir de este punto se definen las direcciones una como positiva y la otra como negativa. Nosotros utilizaremos una unidad de medida en cada recta dirigida.

Por ejemplo, la siguiente es una recta dirigida:

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En una recta dirigida definimos una unidad de medida y un origen, donde colocamos el cero. También definimos en qué dirección se consideran los números positivos. Una vez definida esta dirección, la otra dirección se considera que contiene los números negativos.


Segmento

Es una parte de una recta limitada por dos de sus puntos.

El siguiente segmento está limitado por los puntos A y B y se denota por \overline{AB}.

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Pero no tenemos por qué conformarnos con usar solamente una recta dirigida. Algunas veces es muy conveniente considerar dos rectas dirigidas. Por ejemplo, en algunas ciudades, las calles están enumeradas. De manera que una dirección puede ser, Calle 34 Entre 21 y 23. Esto ayuda a localizar de una manera más rápida una ubicación.


Ejes coordenados

Un sistema de ejes coordenados se representa por medio de dos rectas dirigidas, mutuamente perpendiculares. Las dos rectas dirigidas se intersectan en sus respectivos orígenes. Cada una de las rectas que forman el sistema de ejes coordenados se conoce como eje.

Es común dibujar los sistemas de ejes coordenados con un eje horizontal (abscisas) y el otro vertical (ordenadas) con la unidad de medida común a ambos.

El siguiente es un sistema de ejes coordenados:

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De esta manera, cuando elegimos un punto del plano así formado, podemos asignar un único par de valores, que corresponden a la distancia del origen a la coordenada que le corresponde en cada uno de los ejes. Así, fácilmente podemos ubicar el punto A(3,2) en el sistema de ejes coordenados. Primero recorremos a partir del origen 3 unidades y después, verticalmente avanzamos 2 unidades.


Coordenada de un punto

Cuando un punto del plano se define a través de las distancias de sus respectivos ejes al origen, se dice que cada uno de los valores son sus coordenadas.

En el punto A(3,2) el número 3 es la coordenada de las abscisas, o también del eje horizontal, que comúnmente llamaremos eje x y el número 2 es la coordenada de las ordenadas, o del eje vertival, que llamaremos eje y.


Ejemplo 1

Ubica los siguientes puntos en el sistema de ejes coordenados dado: A(3,2), B(-3,2), C(3,-2), D(-3,-2), E(1,1), F(-1,2), G(0,5) y H(3,0).

Recuerda, siempre debemos primero ubicar la primera coordenada sobre el eje horizontal.

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Junto a la etiqueta que corresponde a cada punto escribe sus coordenadas.


Si A(x_a, y_a) y B(x_b, y_b), entonces, A = B solamente si x_a = x_b y también, y_a = y_b. En palabras, dos puntos son el mismo punto si tienen exactamente las mismas coordenadas (en el mismo sistema de ejes coordenados).


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