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Coordenadas de un punto

Conocerás los objetos matemáticos fundamentales para el estudio de la geometría analítica.



Punto de división

Sean P y Q dos puntos fijos en una recta dirigida.
Se dice que el punto M divide al segmento \overline{PQ} en otros dos segmentos \overline{PM} y \overline{MQ}.

Lo interesante del punto de división consiste en la proporción de los segmentos formados por él.


Razón de división

La razón de división ~r~ ocasionada por el punto de división M sobre el segmento \overline{PQ} es:

    \begin{equation*}    r = \displaystyle\frac{\overline{PM}}{\overline{MQ}} \end{equation*}


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A partir de cada una de las ecuaciones podemos despejar x_m y y_m respectivamente, que es, la mayoría de las veces, lo que necesitaremos encontrar:

     \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    r &=& \frac{x_m - x_p}{x_q - x_m}\\    r\,(x_q - x_m) &=& x_m - x_p\\    r\,x_q - r\,x_m &=& x_m - x_p\\     r\,x_q + x_p  &=& x_m + r\,x_m\\     r\,x_q + x_p  &=& x_m (1 + r)\\     x_m &=& \displaystyle\frac{r\,x_q + x_p}{1 + r} \end{eqnarray*} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.35\linewidth} \begin{eqnarray*}    r &=& \frac{y_p - y_m}{y_m - y_q} = \frac{y_m - y_p}{y_q - y_m}\\    r\,(y_q - y_m) &=& y_m - y_p\\    r\,y_q - r\,y_m &=& y_m - y_p\\     r\,y_q + y_p  &=& y_m + r\,y_m\\     r\,y_q + y_p  &=& y_m (1 + r)\\     y_m &=& \frac{r\,y_q + y_p}{1 + r} \end{eqnarray*} \end{minipage}

Es importante recordar que ~r~ es la proporción de las longitudes de los segmentos formados al incluir el punto de división M en el segmento. La proporción es una constante que se define como la razón de la longitud del semento \overline{PM} entre la longitud del segmento \overline{MQ}.


Coordenadas del punto de división con una razón dada

Las coordenadas del punto de división M(x_m,y_m) del segmento \overline{PQ} con P(x_p,y_p) y Q(x_q,y_q) con una razón ~r~, se calculan con las siguientes fórmulas:

    \begin{equation*}    x_m = \frac{r\,x_q + x_p}{1 + r}\qquad\qquad y_m = \frac{r\,y_q + y_p}{1 + r} \end{equation*}



Ejemplo 4

Encuentra las coordenadas del punto M(x_m, y_m) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos P(1,-1), y Q(7,2) en la razón r=2.

Tenemos todos los datos: r=2, x_p = 1, y_p = -1, x_q = 7, y_q = 2. Lo único que necesitamos es sustituir en las fórmulas:

     \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{eqnarray*} x_m &=& \displaystyle\frac{2\,(7) + 1}{1 + 2}\\     &=& \displaystyle\frac{15}{3}\\     &=& 5 \end{eqnarray*}     \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{eqnarray*} y_m &=& \displaystyle\frac{2\,(2) - 1}{1 + 2}\\     &=& \displaystyle\frac{3}{3}\\     &=& 1 \end{eqnarray*} \end{minipage}

La siguiente figura muestra geométricamente el resultado:

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Un caso particular muy importante ocurre cuando consideramos el punto medio. Entonces, r=1, porque queremos que ambos segmentos \overline{PM} y \overline{MQ} tengan la misma longitud. En este caso:

    \begin{equation*}    \bar{x} = \frac{x_q + x_p}{2}\qquad\qquad \bar{y} = \frac{y_q + y_p}{2} \end{equation*}


Punto medio

Las coordenadas del punto medio M(\bar{x},\bar{y}) del segmento \overline{PQ} con P(x_p,y_p) y Q(x_q,y_q) se calcula con las siguientes fórmulas:

    \begin{equation*}    \bar{x} = \frac{x_q + x_p}{2}\qquad\qquad \bar{y} = \frac{y_q + y_p}{2} \end{equation*}


Una forma sencilla de memorizar esta fórmula es la siguiente:


La coordenada del punto medio se calcula con el promedio

Observa que en cada fórmula debemos calcular el promedio de las coordenadas de los puntos extremos del segmento para calcular la coordenada de su punto medio. Así de fácil. Gracias a la propiedad de conmutatividad, el punto medio de un segmento es independiente del orden. Es decir, no importa qué punto sustituyas primero y cuál después, siempre obtienes el mismo resultado. Después de todo, el segmento \overline{PQ} es idéntico al segmento \overline{QP}.


Ejemplo 5

Los extremos del diámetro de un círculo son los puntos P(-4,1) y Q(2,-3). Encuentra las coordenadas de su centro C(h,k).

Sabemos que el centro del círculo siempre es el punto medio del diámetro. Así que en este caso debemos encontrar el punto medio del segmento \overline{PQ}. Sustituimos los valores de las coordenadas de los puntos en las fórmulas:

     \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{eqnarray*} h &=& \displaystyle\frac{-4 + 2}{2}\\   &=& \displaystyle\frac{-2}{3}\\   &=& -1 \end{eqnarray*}     \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\linewidth} \begin{eqnarray*} k &=& \displaystyle\frac{1 - 3}{2}\\   &=& \displaystyle\frac{-2}{2}\\   &=& -1 \end{eqnarray*}     \end{minipage}

Entonces, el centro del círculo es el punto C(-1,-1). Geométricamente, el resultado es el siguiente:

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Estas fórmulas se estarán utilizando a lo largo de todo el curso, así que es mejor que las vayas memorizando.


Ejemplo 6

Demuestra que la longitud del segmento que se forma al unir los puntos medios de dos de los lados de un triángulo mide la mitad del otro lado.

Consideramos el triángulo con vértices en los siguientes puntos:

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La distancia desde el punto medio del lado \overline{AC} hasta el punto medio del lado \overline{BC} es:

    \begin{equation*}    \overline{M_{AC}M_{BC}} = \sqrt{\left(\displaystyle\frac{a+b}{2} - \frac{b}{2}\right)^2 + \left(\displaystyle\frac{c}{2} - \frac{c}{2}\right)^2} \end{equation*}

Podemos simplificar esta expresión para obtener:

    \begin{eqnarray*}    \overline{M_{AC}M_{BC}} &=& \sqrt{\left(\displaystyle\frac{a}{2}+\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right)^2 + 0}\\                     &=& \sqrt{\left(\displaystyle\frac{a}{2}\right)^2}\\                     &=& \displaystyle\frac{|a|}{2} \end{eqnarray*}

Que es precisamente lo que queríamos demostrar.


Siempre que encuentres problemas donde requieras demostrar una aseveración, escribe las coordenadas suponiendo que son números. Trátalos como si fueran números siempre, indicando las operaciones que debes hacer con ellos y trata de expresar tus resultados de la manera más simplificada que te sea posible. Cuando encuentres lo que deseas demostrar has terminado.

Estos problemas tienen exactamente el mismo nivel de dificultad que en el que te dan números específicos para las coordenadas de puntos, etc., pero tienen un mayor nivel de abstracción, porque debes suponer que cada letra es un número. El método de solución del problema no cambia en forma alguna.

Si tienes dificultad para resolver un problema usando las literales, sustituye números en su lugar, resuelve el problema y después intenta resolverlo con letras usando el método que usaste para resolverlo con números en lugar de literales.

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