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Coordenadas de un punto

Conocerás los objetos matemáticos fundamentales para el estudio de la geometría analítica.


En la geometría analítica frecuentemente necesitaremos calcular la distancia entre dos puntos, para lo cual nos será de gran ayuda la siguiente fórmula:

Distancia entre dos puntos

Sean P(x_p,y_p) y Q(x_q,y_q) dos puntos del plano. La distancia entre ellos, medido en la unidad de medida del sistema de coordenadas es igual a:

    \begin{equation*} D = \sqrt{(x_q - x_p)^2 + (y_q - y_p)^2} \end{equation*}

A partir de la fórmula anterior, podemos deducir lo siguiente:

Condiciones que satisface la distancia entre dos puntos

  1. La distancia entre dos puntos del plano cartesiano siempre es un número no negativo.
  2. La distancia de un punto a sí mismo siempre es igual a cero.
  3. La distancia de P a Q es igual a la distancia del punto Q al punto P.

Ejemplo 2

Encuentra la distancia entre los puntos P(2,3) y Q(6,6).

Podemos aplicar directamente la fórmula y sustituir las coordenadas de los puntos:

    \begin{eqnarray*} D &=& \sqrt{(x_q - x_p)^2 + (y_q - y_p)^2}\\ &=& \sqrt{(\textcolor{blue}{6 - 2})^2 + (\textcolor{red}{6-3})^2}\\ &=& \sqrt{(\textcolor{blue}{4})^2 + (\textcolor{blue}{3})^2}\\ &=& \sqrt{\textcolor{blue}{16} + \textcolor{red}{9}}\\ &=& \sqrt{25}\\ &=& 5 \end{eqnarray*}

Entonces, si el sistema de coordenadas tiene por unidad de medida el centímetro, la distancia entre los puntos P(2,3) y Q(6,6) será de 5 cm. Se te queda como ejercicio verificar la tercera condición que satisface la distancia entre los puntos P y Q.

En este curso vamos a utilizar las definiciones de la geometría plana para poder resolver muchos problemas y probar propiedades de las figuras geométricas, pero ahora vamos a utlizar el álgebra para poder demostrar o identificar propiedades de los objetos geométricos con los que nos encontraremos.

Ejemplo 3

Verifica si el triángulo con vértices en los puntos A(2,1), B(3,4) y C(-2,4) es isósceles.

Para saber si es isósceles o no, debemos asegurarnos que dos de sus lados midan lo mismo. Así que tenemos que encontrar la longitud de cada uno de sus lados. Realizamos un dibujo para representar la situación:

Rendered by QuickLaTeX.com

Al parecer, los lados que tienen la misma longitud son \overline{AC} y \overline{BC}. Ahora encontramos la longitud del lado \overline{AC}:

    \begin{eqnarray*} D_{\overline{AC}} &=& \sqrt{(x_c - x_a)^2 + (y_c - y_a)^2}\\ &=& \sqrt{(\textcolor{blue}{-2 - 2})^2 + (\textcolor{red}{4-1})^2}\\ &=& \sqrt{(\textcolor{blue}{-4})^2 + (\textcolor{red}{3})^2} = \sqrt{\textcolor{blue}{16} + \textcolor{red}{9}}\\ &=& \sqrt{25} = 5 \end{eqnarray*}

Por otra parte, la longitud del lado BC es:

    \begin{eqnarray*} D_{\overline{BC}} &=& \sqrt{(x_c - x_b)^2 + (y_c - y_b)^2}\\ &=& \sqrt{(\textcolor{blue}{-2 -3})^2 + (\textcolor{red}{4-4})^2}\\ &=& \sqrt{(\textcolor{blue}{-5})^2 + (\textcolor{red}{0})^2} = \sqrt{\textcolor{blue}{25} + \textcolor{red}{0}}\\ &=& \sqrt{25} = 5 \end{eqnarray*}

Entonces, el triángulo sí es un triángulo isósceles.

Se te queda como ejercicio verificar que la longitud del lado \overline{AB} es |\overline{AB}| = \sqrt{10}.


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