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Conversión de la ecuación de la parábola: forma general a ordinaria

Aprenderás a convertir la ecuación de la parábola de la forma general a su forma ordinaria.

Es muy fácil graficar una cónica a partir de su forma ordinaria, al igual que calcular todos sus elementos.

La forma general, sin embargo, es importante porque cuando resolvemos problemas más generales vamos a encontrar este tipo de ecuación.


Ejemplo 1

Convierte la ecuación de la parábola:

    \begin{equation*} y^2 - 12\,x - 10\,y + 13 = 0 \end{equation*}

a la forma ordinaria.

Para empezar, debemos identificar la literal que está elevada al cuadrado. En este caso, y está elevada al cuadrado. Así que vamos a escribir todos los términos que contengan y a la izquierda de la igualdad y los demás a la derecha:

    \begin{equation*}    y^2 - 10\,y = 12\,x - 13 \end{equation*}

Ahora vamos a completar cuadrados. Con este fin calculamos la mitad del coeficiente lineal de la expresión que quedó a la izquierda, o sea, la mitad de -10, que es -5.

El cuadrado de y-5 es: (y - 5)^2 = y^2 - 10\,y + 25. Si sumamos en ambos lados de la ecuación 25 completamos el cuadrado:

    \begin{eqnarray*}    y^2 - 10\,y + 25 &=& 12\,x - 13 + 25\\    (y - 5)^2 &=& 12\,x + 12 \end{eqnarray*}

Ahora podemos factorizar el 12 que aparece en ambos términos a la derecha de la iguadad:

    \begin{equation*}    (y - 5)^2 = 12\,(x + 1) \end{equation*}

Esta es la ecuación de la parábola en su forma ordinaria.


Ahora imagina que te hubieran pedido que grafiques la ecuación:

    \begin{equation*}    y^2 - 12\,x - 10\,y + 13 = 0 \end{equation*}

Si tratas de graficar esta ecuación vas a tener un trabajo muy laborioso. Por otra parte, si la conviertes a su forma ordinaria:

    \begin{equation*}    (y - 5)^2 = 12\,(x + 1) \end{equation*}

graficarla y encontrar todos sus elementos es cosa sencilla.


Ejemplo 2

Calcula todos los elementos de la parábola cuya ecuación es:

    \begin{equation*}    x^2 - 8\,x - 20\,y - 84 = 0 \end{equation*}

Ahora la literal que aparece elevada al cuadrado es x. Así que vamos a dejar todos los términos que tienen a esta literal y el resto lo pasamos al lado derecho:

    \begin{equation*}    x^2 - 8\,x = 20\,y + 84 \end{equation*}

Vamos a completar cuadrados. La mitad de -8 es -4. Observa que (x - 4)^2 = x^2 - 8\,x + 16. Esto nos sugiere que sumemos en ambos lados de la igualdad 16:

    \begin{eqnarray*}    x^2 - 8\,x + 16 &=& 20\,y + 84 + 16\\    (x - 4)^2 &=& 20\,y + 100\\    (x - 4)^2 &=& 20\,(y + 5) \end{eqnarray*}

Esta es la ecuación ordinaria de la parábola. De esta ecuación podemos rápidamente ver que h = 4, k = -5, y 4\,p = 20, de donde: p = 5.

Ahora podemos calcular todos los elementos de esta parábola:

  • Vértice: V(h, k) = V(4,-5).
  • Foco: F(h,k+p) = F(4,-5+5) = F(4,0).
  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4\,p = 4\,(5) = 20.
  • Directriz: y = k - p = -5 - 5 = -10\qquad\Rightarrow\qquad y + 10 = 0.
  • Eje: x = h\qquad\Rightarrow\qquad x = 4\qquad\Rightarrow\qquad x - 4 = 0.

Se te queda como ejercicio graficar esta parábola con todos sus elementos en tu cuaderno.



Ejemplo 3

Calcula todos los elementos y grafica la parábola cuya ecuación es:

    \begin{equation*} y^2 - 8\,x - 2\,y - 39 = 0 \end{equation*}

Ahora la literal que aparece elevada al cuadrado es y. Completamos cuadrados para esa literal:

    \begin{eqnarray*}    y^2 - 2\,y &=& 8\,x + 39\\    y^2 - 2\,y + 1 &=& 8\,x + 39 + 1\\    (y - 1)^2 &=& 8\,(x + 5) \end{eqnarray*}

En este caso, h = -5, k = 1, y p = 2. También podemos ver que la parábola es horizontal y abre hacia la derecha. Ahora encontramos todos sus elementos:

  • Vértice: V(h, k) = V(-5,1).
  • Foco: F(h+p,k) = F(-5+2,1) = F(-3,1).
  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4\,p = 4\,(2) = 8.
  • Directriz: x = h - p = -5 - 2 = -7\qquad\Rightarrow\qquad y + 7 = 0.
  • Eje: y = k\qquad\Rightarrow\qquad y = 1\qquad\Rightarrow\qquad y - 1 = 0.

La gráfica de esta parábola es la siguiente:

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Ejemplo 4

Calcula la ecuación en forma ordinaria de la parábola cuya ecuación general es:

    \begin{equation*}    x^2 - 8\,x + 12\,y - 20 = 0 \end{equation*}

por dos métodos distintos y calcula también todos sus elementos.

Primer Método:

Vamos a completar cuadrados para x:

    \begin{eqnarray*}    x^2 - 8\,x + 12\,y - 20 &=& 0\\    x^2 - 8\,x  &=& -12\,y + 20\\    x^2 - 8\,x + 16 &=& -12\,y + 20 + 16\\    (x - 4)^2 &=& -12 (y - 3) \end{eqnarray*}

De la ecuación encontramos que h = 4, k = 3, y finalmente, p =-3. Por la ecuación sabemos que la parábola es vertical. También, dado que p<0 la parábola abre hacia abajo.

Ahora se enlistan todos sus elementos:

  • Vértice: V(h, k) = V(4, 3).
  • Foco: F(h,k+p) = F(4,3-3) = F(4,0).
  • Lado recto: \textrm{LLR} = 4\,|p| = 4\,(|3|) = 12.
  • Directriz: y = k - p = 3 - (-3) = 6\qquad\Rightarrow\qquad y - 6 = 0.
  • Eje: x = h\qquad\Rightarrow\qquad x = 4\qquad\Rightarrow\qquad x - 4 = 0.

Y hemos terminado.

Segundo Método:

A partir de la ecuación general de la parábola:

    \begin{eqnarray*}    x^2 \textcolor{red}{- 8}\,x + \textcolor{blue}{12}\,y \textcolor{red}{- 20} &=& 0\\    x^2 + \textcolor{red}{D}\,x + \textcolor{blue}{E}\,y + \textcolor{red}{F} &=& 0 \end{eqnarray*}

podemos calcular h, k, y p sin necesidad de convertir la ecuación a su forma ordinaria. Para eso vamos a utilizar las fórmulas:

    \begin{eqnarray*}    \textcolor{red}{D} &=& \textcolor{red}{-2\,h}\\    \textcolor{blue}{E} &=& \textcolor{blue}{-4\,p}\\    \textcolor{red}{F} &=& \textcolor{red}{h^2 + 4pk} \end{eqnarray*}

Sustituimos los valores dados en la ecuación de la parábola en su forma general:

    \begin{eqnarray*}    \textcolor{red}{-8} = \textcolor{red}{-2\,h}\qquad & \Rightarrow & \qquad h = 4\\ \textcolor{blue}{12} = \textcolor{blue}{-4\,p}\qquad & \Rightarrow & \qquad p = -3\\ \textcolor{red}{-20} = \textcolor{red}{(4)^2 + 4\,(-3)\,k}\qquad & \Rightarrow & \qquad k = \displaystyle\frac{-20 - 16}{-12} = 3 \end{eqnarray*}

Y a partir de estos valores, fácilmente podemos calcular:

  • La ecuación ordinaria y
  • Todos los elementos de la parábola.

Como esto ya se realizó, no se requiere volver a calcular. De cualquier manera, se te queda como ejercicio graficar la parábola y todos sus elementos.


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