Conversión de la ecuación de la parábola: forma general a ordinaria

Es muy fácil graficar una cónica a partir de su forma ordinaria, al igual que calcular todos sus elementos.

La forma general, sin embargo, es importante porque cuando resolvemos problemas más generales vamos a encontrar este tipo de ecuación.

Contenido

1 Ejemplo 1
2 Ejemplo 2
3 Ejemplo 3
4 Ejemplo 4

Ejemplo 1

Convierte la ecuación de la parábola:

$\begin{equation*} y^2 - 12\,x - 10\,y + 13 = 0 \end{equation*}$

a la forma ordinaria.

Para empezar, debemos identificar la literal que está elevada al cuadrado. En este caso, $y$

está elevada al cuadrado. Así que vamos a escribir todos los términos que contengan $y$

a la izquierda de la igualdad y los demás a la derecha:

$\begin{equation*} y^2 - 10\,y = 12\,x - 13 \end{equation*}$

Ahora vamos a completar cuadrados. Con este fin calculamos la mitad del coeficiente lineal de la expresión que quedó a la izquierda, o sea, la mitad de $-10$ , que es $-5$ .

El cuadrado de $y-5$ es: $(y - 5)^2 = y^2 - 10\,y + 25$ . Si sumamos en ambos lados de la ecuación 25 completamos el cuadrado:

$\begin{eqnarray*} y^2 - 10\,y + 25 &=& 12\,x - 13 + 25\\ (y - 5)^2 &=& 12\,x + 12 \end{eqnarray*}$

Ahora podemos factorizar el 12 que aparece en ambos términos a la derecha de la iguadad:

$\begin{equation*} (y - 5)^2 = 12\,(x + 1) \end{equation*}$

Esta es la ecuación de la parábola en su forma ordinaria.

Ahora imagina que te hubieran pedido que grafiques la ecuación:

$\begin{equation*} y^2 - 12\,x - 10\,y + 13 = 0 \end{equation*}$

Si tratas de graficar esta ecuación vas a tener un trabajo muy laborioso. Por otra parte, si la conviertes a su forma ordinaria:

$\begin{equation*} (y - 5)^2 = 12\,(x + 1) \end{equation*}$

graficarla y encontrar todos sus elementos es cosa sencilla.

Ejemplo 2

Calcula todos los elementos de la parábola cuya ecuación es:

$\begin{equation*} x^2 - 8\,x - 20\,y - 84 = 0 \end{equation*}$

Ahora la literal que aparece elevada al cuadrado es $x$

. Así que vamos a dejar todos los términos que tienen a esta literal y el resto lo pasamos al lado derecho:

$\begin{equation*} x^2 - 8\,x = 20\,y + 84 \end{equation*}$

Vamos a completar cuadrados. La mitad de $-8$ es $-4$ . Observa que $(x - 4)^2 = x^2 - 8\,x + 16$ . Esto nos sugiere que sumemos en ambos lados de la igualdad 16:

$\begin{eqnarray*} x^2 - 8\,x + 16 &=& 20\,y + 84 + 16\\ (x - 4)^2 &=& 20\,y + 100\\ (x - 4)^2 &=& 20\,(y + 5) \end{eqnarray*}$

Esta es la ecuación ordinaria de la parábola. De esta ecuación podemos rápidamente ver que $h = 4$ , $k = -5$ , y $4\,p = 20$ , de donde: $p = 5$ .

Ahora podemos calcular todos los elementos de esta parábola:

Vértice: $V(h, k) = V(4,-5)$ .
Foco: $F(h,k+p) = F(4,-5+5) = F(4,0)$ .
Lado recto: $\textrm{LLR} = 4\,p = 4\,(5) = 20$ .
Directriz: $y = k - p = -5 - 5 = -10\qquad\Rightarrow\qquad y + 10 = 0$ .
Eje: $x = h\qquad\Rightarrow\qquad x = 4\qquad\Rightarrow\qquad x - 4 = 0$ .

Se te queda como ejercicio graficar esta parábola con todos sus elementos en tu cuaderno.

Ejemplo 3

Calcula todos los elementos y grafica la parábola cuya ecuación es:

$\begin{equation*} y^2 - 8\,x - 2\,y - 39 = 0 \end{equation*}$

Ahora la literal que aparece elevada al cuadrado es $y$

. Completamos cuadrados para esa literal:

$\begin{eqnarray*} y^2 - 2\,y &=& 8\,x + 39\\ y^2 - 2\,y + 1 &=& 8\,x + 39 + 1\\ (y - 1)^2 &=& 8\,(x + 5) \end{eqnarray*}$

En este caso, $h = -5$ , $k = 1$ , y $p = 2$ . También podemos ver que la parábola es horizontal y abre hacia la derecha. Ahora encontramos todos sus elementos:

Vértice: $V(h, k) = V(-5,1)$ .
Foco: $F(h+p,k) = F(-5+2,1) = F(-3,1)$ .
Lado recto: $\textrm{LLR} = 4\,p = 4\,(2) = 8$ .
Directriz: $x = h - p = -5 - 2 = -7\qquad\Rightarrow\qquad y + 7 = 0$ .
Eje: $y = k\qquad\Rightarrow\qquad y = 1\qquad\Rightarrow\qquad y - 1 = 0$ .

La gráfica de esta parábola es la siguiente:

Ejemplo 4

Calcula la ecuación en forma ordinaria de la parábola cuya ecuación general es:

$\begin{equation*} x^2 - 8\,x + 12\,y - 20 = 0 \end{equation*}$

por dos métodos distintos y calcula también todos sus elementos.

Primer Método:

Vamos a completar cuadrados para $x$ :

$\begin{eqnarray*} x^2 - 8\,x + 12\,y - 20 &=& 0\\ x^2 - 8\,x &=& -12\,y + 20\\ x^2 - 8\,x + 16 &=& -12\,y + 20 + 16\\ (x - 4)^2 &=& -12 (y - 3) \end{eqnarray*}$

De la ecuación encontramos que $h = 4$ , $k = 3$ , y finalmente, $p =-3$ . Por la ecuación sabemos que la parábola es vertical. También, dado que $p<0$ la parábola abre hacia abajo.

Ahora se enlistan todos sus elementos:

Vértice: $V(h, k) = V(4, 3)$ .
Foco: $F(h,k+p) = F(4,3-3) = F(4,0)$ .
Lado recto: $\textrm{LLR} = 4\,|p| = 4\,(|3|) = 12$ .
Directriz: $y = k - p = 3 - (-3) = 6\qquad\Rightarrow\qquad y - 6 = 0$ .
Eje: $x = h\qquad\Rightarrow\qquad x = 4\qquad\Rightarrow\qquad x - 4 = 0$ .

Y hemos terminado.

Segundo Método:

A partir de la ecuación general de la parábola:

$\begin{eqnarray*} x^2 \textcolor{red}{- 8}\,x + \textcolor{blue}{12}\,y \textcolor{red}{- 20} &=& 0\\ x^2 + \textcolor{red}{D}\,x + \textcolor{blue}{E}\,y + \textcolor{red}{F} &=& 0 \end{eqnarray*}$

podemos calcular $h$ , $k$ , y $p$ sin necesidad de convertir la ecuación a su forma ordinaria. Para eso vamos a utilizar las fórmulas:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{D} &=& \textcolor{red}{-2\,h}\\ \textcolor{blue}{E} &=& \textcolor{blue}{-4\,p}\\ \textcolor{red}{F} &=& \textcolor{red}{h^2 + 4pk} \end{eqnarray*}$

Sustituimos los valores dados en la ecuación de la parábola en su forma general:

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{-8} = \textcolor{red}{-2\,h}\qquad & \Rightarrow & \qquad h = 4\\ \textcolor{blue}{12} = \textcolor{blue}{-4\,p}\qquad & \Rightarrow & \qquad p = -3\\ \textcolor{red}{-20} = \textcolor{red}{(4)^2 + 4\,(-3)\,k}\qquad & \Rightarrow & \qquad k = \displaystyle\frac{-20 - 16}{-12} = 3 \end{eqnarray*}$

Y a partir de estos valores, fácilmente podemos calcular:

La ecuación ordinaria y
Todos los elementos de la parábola.

Como esto ya se realizó, no se requiere volver a calcular. De cualquier manera, se te queda como ejercicio graficar la parábola y todos sus elementos.

VER TODO

Add a note

TÚ

Añadir tu comentario

Conversión de la ecuación de la parábola: forma general a ordinaria

Aprenderás a convertir la ecuación de la parábola de la forma general a su forma ordinaria.

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4