Conversión de la ecuación de la circunferencia

Ahora que ya conocemos las formas ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia y que ya hemos hecho conversiones de la forma ordinaria a la forma general, vamos a estudiar el proceso inverso: convertir la ecuación de una circunferencia de su forma general a la forma ordinaria. Para la conversión de la forma ordinaria a la forma general necesitamos desarrollar los binomios que quedaron indicados en la ecuación. En la conversión de la forma general a la forma ordinaria vamos a requerir factorizar completando cuadrados para expresar un trinomio en la forma de un binomio al cuadrado.

Ejemplo 1

Convierte la ecuación de la circunferencia

$\begin{equation*} x^2 + y^2 - 8\,x - 10\,y + 25 = 0 \end{equation*}$

a la forma ordinaria.

Empezamos ordenando los términos. Escribiremos primero los que contienen a la literal $x$

y al final los términos que contienen la literal $y$

$\begin{equation*} \textcolor{red}{x^2 - 8\,x} + \textcolor{blue}{y^2 - 10\,y} = -25 \end{equation*}$

Ahora vamos a completar cuadrados. Para esto, observa que: $x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2$ . Para darte cuenta de esto fijate en el coeficiente del término que tiene la literal con exponente 1.
En este caso, $-8$ es tal coeficiente.
Sacamos la mitad de este número y obtenemos $-4$ .
Entonces, $(x-4)^2$ servirá para completar el cuadrado.
Para completar el cuadrado vamos a sumar en ambos lados de la igualdad 16:

$\begin{eqnarray*} \left[x^2 - 8\,x + \textcolor{red}{16}\right] + y^2 - 10\,y &=& -25 + \textcolor{red}{16}\\ (x - 4)^2 + y^2 - 10\,y &=& -9 \end{eqnarray*}$

Ahora vamos a factorizar la parte de $y$ . La mitad de $-10$ es $-5$ , así que probamos con $(y-5)^2 = y^2 - 10\,y + 25$

$\begin{eqnarray*} (x - 4)^2 + \left[y^2 - 10\,y + \textcolor{blue}{25}\right] &=& -9 + \textcolor{blue}{25}\\ (x - 4)^2 + (y - 5)^2 &=& 16 \end{eqnarray*}$

Esta es la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria. Para verificar que el cálculo es correcto, puedes hacer la conversión a la forma general y debes obtener la ecuación con la que iniciamos.

Fácilmente podemos encontrar el centro y el radio de una circunferencia cuando está en su forma ordinaria. Debido a esto, cuando encontremos ecuaciones de circunferencias en su forma general nos conviene convertirlas a la forma ordinaria para graficarlas.

Ejemplo 2

Calcula el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:

$\begin{equation*} x^2 + y^2 + 4\,x - 6\,y + 9 = 0 \end{equation*}$

Vamos a empezar convirtiendo la ecuación a su forma ordinaria. Completamos cuadrados usando los términos que contienen a $x$

. Así que vamos a sumar 4 en ambos lados de la igualdad:

$\begin{eqnarray*} \left[x^2 + 4\,x\right] + y^2 - 6\,y &=& -9\\ \left[x^2 + 4\,x + \textcolor{red}{4}\right] + y^2 - 6\,y &=& -9 + \textcolor{red}{4}\\ (x + 2)^2 + y^2 - 6\,y &=& -5 \end{eqnarray*}$

Ahora vamos a completar cuadrados con los términos que contienen a $y$ . Sumando 9 en ambos lados de la igualdad obtenemos:

$\begin{eqnarray*} (x + 2)^2 + \left[y^2 - 6\,y + \textcolor{blue}{9}\right] &=& -5 + \textcolor{blue}{9}\\ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 &=& 4 \end{eqnarray*}$

Ahora podemos ver que $2 = -h$ , que implica $h = -2$ . También, $-3 = -k$ , por lo que $k = 3$ . Además, $r^2 = 4$ , es decir, $r = 2$ . Entonces, el centro está en $C(-2,3)$ y el radio de la circunferencia es $r=2$ .

La gráfica de esta circunferencia es la siguente:

Ejemplo 3

Calcula el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:

$\begin{equation*} x^2 + y^2 + 2\,x + 4\,y - 11 = 0 \end{equation*}$

Empezamos ordenando los términos:

$\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 + 2\,x + 4\,y - 11 &=& 0\\ x^2 + 2\,x + y^2 + 4\,y &=& 11 \end{eqnarray*}$

Ahora sumamos en ambos lados 1 y 4 para poder completar los cuadrados:

$\begin{eqnarray*} x^2 + 2\,x + \textcolor{blue}{1} + y^2 + 4\,y + \textcolor{red}{4} &=& 11 + \textcolor{blue}{1} + \textcolor{red}{4}\\ (x+1)^2 + (y+2)^2 &=& 16 \end{eqnarray*}$

De la ecuación vemos que $-h = 1\Rightarrow h = -1$ , y que $-k = 2\Rightarrow k =-2$ . Entonces, el centro de la circunferencia es el punto $C(h,k) = C(-1,-2)$ .

Por otra parte, de la ecuación vemos también que $r^2 = 16$ . Esto implica que el radio de la circunferencia es: $r = 4$ . A continuación se muestra la gráfica de esta circunferencia: