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Conversión de la ecuación de la circunferencia

Aprenderás a convertir la ecuación de la circunferencia de la forma general a su forma ordinaria.

Ahora que ya conocemos las formas ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia y que ya hemos hecho conversiones de la forma ordinaria a la forma general, vamos a estudiar el proceso inverso: convertir la ecuación de una circunferencia de su forma general a la forma ordinaria. Para la conversión de la forma ordinaria a la forma general necesitamos desarrollar los binomios que quedaron indicados en la ecuación. En la conversión de la forma general a la forma ordinaria vamos a requerir factorizar completando cuadrados para expresar un trinomio en la forma de un binomio al cuadrado.


Ejemplo 1

Convierte la ecuación de la circunferencia

    \begin{equation*}    x^2 + y^2 - 8\,x - 10\,y + 25 = 0 \end{equation*}

a la forma ordinaria.

Empezamos ordenando los términos. Escribiremos primero los que contienen a la literal x y al final los términos que contienen la literal y:

    \begin{equation*}    \textcolor{red}{x^2 - 8\,x} + \textcolor{blue}{y^2 - 10\,y} = -25 \end{equation*}

Ahora vamos a completar cuadrados. Para esto, observa que: x^2 - 8\,x + 16 = (x-4)^2. Para darte cuenta de esto fijate en el coeficiente del término que tiene la literal con exponente 1.
En este caso, -8 es tal coeficiente.
Sacamos la mitad de este número y obtenemos -4.
Entonces, (x-4)^2 servirá para completar el cuadrado.
Para completar el cuadrado vamos a sumar en ambos lados de la igualdad 16:

    \begin{eqnarray*}    \left[x^2 - 8\,x + \textcolor{red}{16}\right] + y^2 - 10\,y  &=& -25 + \textcolor{red}{16}\\    (x - 4)^2 + y^2 - 10\,y &=& -9 \end{eqnarray*}

Ahora vamos a factorizar la parte de y. La mitad de -10 es -5, así que probamos con (y-5)^2 = y^2 - 10\,y + 25

    \begin{eqnarray*}    (x - 4)^2 + \left[y^2 - 10\,y + \textcolor{blue}{25}\right] &=& -9 + \textcolor{blue}{25}\\    (x - 4)^2 + (y - 5)^2 &=& 16 \end{eqnarray*}

Esta es la ecuación de la circunferencia en forma ordinaria. Para verificar que el cálculo es correcto, puedes hacer la conversión a la forma general y debes obtener la ecuación con la que iniciamos.


Fácilmente podemos encontrar el centro y el radio de una circunferencia cuando está en su forma ordinaria. Debido a esto, cuando encontremos ecuaciones de circunferencias en su forma general nos conviene convertirlas a la forma ordinaria para graficarlas.


Ejemplo 2

Calcula el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:

    \begin{equation*} x^2 + y^2 + 4\,x - 6\,y + 9 = 0 \end{equation*}

Vamos a empezar convirtiendo la ecuación a su forma ordinaria. Completamos cuadrados usando los términos que contienen a x. Así que vamos a sumar 4 en ambos lados de la igualdad:

    \begin{eqnarray*}    \left[x^2 + 4\,x\right] + y^2 - 6\,y &=& -9\\    \left[x^2 + 4\,x + \textcolor{red}{4}\right] + y^2 - 6\,y &=& -9 + \textcolor{red}{4}\\    (x + 2)^2 + y^2 - 6\,y &=& -5 \end{eqnarray*}

Ahora vamos a completar cuadrados con los términos que contienen a y. Sumando 9 en ambos lados de la igualdad obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    (x + 2)^2 + \left[y^2 - 6\,y + \textcolor{blue}{9}\right] &=& -5 + \textcolor{blue}{9}\\    (x + 2)^2 + (y - 3)^2 &=& 4 \end{eqnarray*}

Ahora podemos ver que 2 = -h, que implica h = -2. También, -3 = -k, por lo que k = 3. Además, r^2 = 4, es decir, r = 2. Entonces, el centro está en C(-2,3) y el radio de la circunferencia es r=2.

La gráfica de esta circunferencia es la siguente:

Rendered by QuickLaTeX.com



Ejemplo 3

Calcula el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es:

    \begin{equation*} x^2 + y^2 + 2\,x + 4\,y - 11 = 0 \end{equation*}

Empezamos ordenando los términos:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + y^2 + 2\,x + 4\,y - 11 &=& 0\\    x^2 + 2\,x + y^2 + 4\,y &=& 11 \end{eqnarray*}

Ahora sumamos en ambos lados 1 y 4 para poder completar los cuadrados:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + 2\,x + \textcolor{blue}{1} + y^2 + 4\,y + \textcolor{red}{4} &=& 11 + \textcolor{blue}{1} + \textcolor{red}{4}\\    (x+1)^2 + (y+2)^2 &=& 16 \end{eqnarray*}

De la ecuación vemos que -h = 1\Rightarrow h = -1, y que -k = 2\Rightarrow k =-2. Entonces, el centro de la circunferencia es el punto C(h,k) = C(-1,-2).

Por otra parte, de la ecuación vemos también que r^2 = 16. Esto implica que el radio de la circunferencia es: r = 4. A continuación se muestra la gráfica de esta circunferencia:

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