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Conversión de la ecuación de la circunferencia

Aprenderás a convertir la ecuación de la circunferencia de la forma general a su forma ordinaria.



Ejemplo 4

Encuentra el máximo valor que puede tener la variable y para satisfacer la ecuación:

    \begin{equation*} x^2 + y^2 - 8\,x - 6\,y = 0 \end{equation*}

Para encontrar el máximo valor que puede tener la variable y vamos a expresar la ecuación en la forma ordinaria. Completamos cuadrados:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + y^2 - 8\,x - 6\,y &=& 0\\    x^2 - 8\,x + \textcolor{blue}{16} + y^2 - 6\,y  + \textcolor{red}{9} &=& \textcolor{blue}{16} + \textcolor{red}{9}\\    (x - 4)^2 + (y - 3)^2 &=& 25 \end{eqnarray*}

De la ecuación fácilmente podemos saber el centro y el radio de la circunferencia. Centro: C(h,k) = C(4,3). Radio: r= \sqrt{25} = 5.

Ahora podemos graficar y de ahó obtener el máximo valor que puede tener y para satisfacer la ecuación:

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El máximo valor que puede tomar la variable y está sobre la circunferencia, exactamente encima del centro, es decir, y = 8.


Una vez que sabiamos que se trataba de una circunferencia podíamos conocer el máximo valor que puede tomar la variable y. Para esto, bastaba reconocer que el máximo valor para y está exactamente a 5 unidades (que es lo que mide el radio) arriba del centro de la circunferencia. Para el centro de la circunferencia y = k = 3. Al sumar 5 a este valor obtenemos el resultado.


Ejemplo 5

Calcula las coordenadas del centro y el radio de la circuferencia:

    \begin{equation*} 9\,x^2 + 9\,y^2 - 49 = 0 \end{equation*}

En este caso no se require completar cuadrados, lo que tenemos que hacer es expresar la ecuación en la forma ordinaria. Empezamos sumadno en ambos lados de la igualdad 49 y después dividimos entre 9:

    \begin{eqnarray*}    \frac{9\,x^2 + 9\,y^2}{9} &=& \frac{49}{9}\\    x^2 + y^2 &=& \left(\displaystyle\frac{7}{3}\right)^2 \end{eqnarray*}

Ahora vemos que el centro de la circunferencia es el origen del sistema de coordenadas y el radio es 7/3. La gráfica muestra este hecho:

Rendered by QuickLaTeX.com


Además del método de completar cuadrados podemos utilizar las fórmulas:

    \begin{eqnarray*}    D &=& - 2\,h\\    E &=& -2\,k\\    F &=& h^2 + k^2 - r^2 \end{eqnarray*}

que encontramos a partir de:

    \begin{eqnarray*}    (x - h)^2 + (y - k)^2 &=& r^2\\    x^2 - 2\,hx + h^2 + y^2 - 2\,ky + k^2 - r^2 &=& 0\\    x^2 + y^2 \textcolor{green!50!black}{- 2\,h}x \textcolor{blue}{- 2\,k}y + \textcolor{red}{h^2 + k^2 - r^2} &=& 0\\    x^2 + y^2 + \textcolor{green!50!black}{D}\,x + \textcolor{blue}{E}\,y + \textcolor{red}{F} &=& 0 \end{eqnarray*}

Para que veas que esto es verdad vamos a resolver un ejemplo más utlizando estas fórmulas.


Ejemplo 6

Convierte a la forma ordinaria la ecuación de la circunferencia:

    \begin{equation*}    x^2 + y^2 - 10\,x - 4\,y - 7 = 0 \end{equation*}

De acuerdo a la ecuación:

    \begin{equation*}    x^2 + y^2 + D\,x + E\,y + F = 0 \end{equation*}

tenemos que: D = -10, E = -4 y F = -7. Por las fórmulas

    \begin{eqnarray*}    D &=& - 2\,h\\    E &=& -2\,k\\    F &=& h^2 + k^2 - r^2 \end{eqnarray*}

podemos encontrar inmediatamente h,k y ~r~ sustituyendo los valores conocidos y despejando la incógnita en cada caso:

    \begin{eqnarray*}    -10 &=& - 2\,h \qquad\Rightarrow\qquad h = 5\\    -4 &=& -2\,k \qquad\Rightarrow\qquad k = 2\\    -7 &=& h^2 + k^2 - r^2 \\    -7 &=& (5)^2 + (2)^2 - r^2\\    r ^2 &=& 25 + 4 + 7 = 36  \qquad\Rightarrow\qquad r = 6 \end{eqnarray*}

Entonces, la ecuación de la recta en la forma ordinaria es:

    \begin{equation*}    (x - 5)^2 + (y - 2)^2 = 36 \end{equation*}


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