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Continuidad de una función

Aprenderás las condiciones para que una función sea continua en un punto.

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A través de algunos ejemplos nos hemos dado cuenta que un límite existe siempre que la función es contínua en un intervalo al cual pertenezca el punto al cual tiende la variable independiente de la función.

Hay algunas condiciones que nos ayudan a calcular límites de una manera sencilla límites y que también nos ayudan a determinar si una función es contínua en un punto. Para que una función sea contínua se requeiren de las siguientes condiciones.


Condiciones de continuidad

Una función y = f(x) es contínua en x = a, si

  • i f(a) está definida,
  • ii \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) existe, y
  • iii \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) = f(a).

Cuando decimos que una función es contínua en un intervalo I, queremos decir que las condiciones de continuidad se cumplen para cualquier punto de ese intervalo. Recuerda que la segunda condición requiere que los límites laterales:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f(x)\qquad\mbox{y}\qquad\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f(x)\qquad\mbox{existen.} \end{equation*}

En los siguientes ejemplos veremos algunos casos de funciones que son contínuas y otros de funciones discontínuas.


Ejemplo

Verifica si la función:

    \begin{equation*}    y = x^2 - 1 \end{equation*}

es contínua en el punto x = 0.

Esta función es polinomial, y por tanto, su dominio es \mathbb{R}. Esto se debe a que siempre podemos multiplicar un número por sí mismo y a ese resultado restarle 1. Cuando x se acerca a cero, obtenemos:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x \rightarrow 0}{x^2} = (0)^2 = 0 \end{equation*}

Además, f(0) = 0^2 = 0, por lo que esta función es contínua en x=0.

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Ejemplo

Verifica si la función:

    \begin{equation*}    y = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \end{equation*}

está definida para x = 1.

Primero vamos a calcular el límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow1}{\frac{x^2 - 1}{x - 1}} \end{equation*}

Para eso, empezamos factorizando el numerador de la función:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{x\rightarrow1}{\displaystyle\frac{x^2 - 1}{x - 1}} &=& \lim\limits_{x\rightarrow1}{\displaystyle\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}}\\ 	&=& \lim\limits_{x\rightarrow1}{(x + 1)} = 1 + 1 = 2 \end{eqnarray*}

Entonces, el límite existe. Ahora debemos verificar que la función está definida cuando x = 1. Pero cuando x = 1 el denominador se hace cero. Y entonces, no podemos realizar la división:

    \begin{equation*}    y(1) = \displaystyle\frac{(1)^2 - 1}{1 - 1} = \displaystyle\frac{0}{0} \end{equation*}

Entonces, la función no está definida para x = 1. Y concluimos que la función no es contínua en ese punto. Se te queda como ejercicio graficar esta función.


Algunas veces las funciones definidas por intervalos. En estos casos debemos verificar que la función esté bien definida. Porque, por ejemplo, puede ocurrir que la función tome dos valores para un solo valor de x debido a que se ledefinió incorrectamente. Evidentemente, eso no debe ocurrir, porque una función devuelve a lo más un único valor de y para cada x que nosotros le demos. Si devuelve más de un valor, entonces no se trata de una función.


Ejemplo

Verifica si la función:

    \begin{equation*}    y(x) = \left\{    \begin{array}{ll}    2\,x & \mbox{ si } x \leq 3\\    x^2 - 3 & \mbox{ si } x > 3    \end{array}    \right. \end{equation*}

es continua en el punto x = 3.

Primero calcularemos el límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow3}{y(x)} \end{equation*}

Observa que la función está definida de una manera por la izquierda y de otra por la derecha de ese punto. Así que tendremos que calcular los dos límites laterales y verificar que coinciden. Empezamos calculando el límite por la izquierda:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{x\rightarrow3^{-}}{y(x)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow3^{-}}{2\,x}\\ 	&=& 2(3) = 6 \end{eqnarray*}

Ahora calcularemos el límite por la derecha:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow3^{+}}{y(x)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow3^{+}}{x^2 - 3}\\ 	&=& (3)^2 - 3 = 6 \end{eqnarray*}

Como los dos límites laterales son iguales, el límite \lim\limits_{x\rightarrow3}{y(x)} existe. Ahora verificamos que la función está definida para x = 3. Observa que en la definición, la expresión x \leq 3 nos indica que debemos usar la primera rama de la función:

    \begin{equation*}    y(3) = 2\,x = 2(3) = 6 \end{equation*}

Además, podemos ver que y(3) = \lim\limits_{x\rightarrow3}{y(x)}, por lo que la función sí es contínua en x = 3. La gráfica de esta función se muestra a continuación:

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Observa que la gráfica de la función es contínua porque en x = 3 el valor de las dos ramas coincide. Esto lo notamos del cálculo de los dos límites laterales.


En general, puedes ver gráficamente si una función es discontínua si al graficarla ésta presenta un brinco, es decir,
si no es posible dibujarla de un solo trazo. Las funciones escalonadas son discontínuas. Igualmente, las funciones racionales con denominador que se hace cero para al menos un valor de x.


Ejemplo

Verifica si la función piso, que se denota por: y =\lfloor x\rfloor, y que se define como:

    \begin{equation*}    \lfloor x\rfloor = \mbox{mayor entero }\leq x \end{equation*}

es contínua en el intervalo (0,\infty).

Observa que la función tiene un mismo valor y para muchos valores de x:

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La gráfica nos indica que la función es discontínua. Esto se concluye también al calcular cualquiera de los límites:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow k}{\lfloor x\rfloor}\qquad\qquad k\in\mathbb{Z} \end{equation*}

porque para calcular ese límite, se requiere que los límites por la izquierda y por la derecha coincidan. Pero cuando k es un entero, el límite por la derecha es k, mientras que el límite por la izquierda es k-1, porque la función \lfloor x\rfloor devuelve la parte entera de x. Debido a esto, el límite \lim\limits_{x\rightarrow k}{\lfloor x\rfloor} con k entero, no existe. Y por tanto, la función es discontínua para toda x = k con k entera.



Ejemplo

Verifica si la función:

    \begin{equation*} y = \frac{\sin x}{x} \end{equation*}

es contínua en x = 0.

Ya calculamos el límite \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\displaystyle\frac{\sin x}{x}} previamente. Si sustituimos x=0 en la función, obtenemos cero sobre cero. Así que la función no es contínua, porque no cumple con la primera condición de coninuidad. La gráfica de la función es la que se muestra enseguida:

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Observa que la función no está definida para x = 0 debido a la división entre cero. Sin embargo, si definimos f(0) = 1, la función es contínua.



Reto

Considera la función;

    \begin{equation*}    y = \left\{    \begin{array}{ll}    0 & \mbox{ si $x$ es un n\'umero racional,}\\    1 & \mbox{ si $x$ es un n\'umero irracional}    \end{array}    \right. \end{equation*}

¿Es esta función es contínua o discontínua? Argumenta tu respuesta.


La continuidad es importante en matemáticas porque en una función contínua, un pequeño incremento en x ocasiona un pequeño incremento en y. No así con las funciones discontínuas. En otras palabras, para una función contínua, cuando \Delta x tiende a cero, y(x + \Delta x) tiende a y(x), independientemente de que nos acerquemos a x por la derecha o por la izquierda.


Ejemplo

Si las funciones f y g son contínuas y satisfacen:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1}{\left[3\,f(x) + g(x)\right]} = 12 \end{equation*}

Sabiendo que f(1) = 2, calcula: g(1).

Por las propiedades de los límites, podemos reescribir el límite dado como sigue:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1}{\left[3\,f(x) + g(x)\right]} = 3\lim\limits_{x\rightarrow 1}{f(x)} + \lim\limits_{x\rightarrow 1}{g(x)} = 12 \end{equation*}

Pero sabemos además que las dos funciones son contínuas. Así que se cumple también:

    \begin{equation*}    3\cdot f(1) + g(1) = 12 \end{equation*}

porque de acuerdo a la definición de continuidad,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1}{f(x)} = f(1) \end{equation*}

y también:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1}{g(x)} = g(1) \end{equation*}

Como f(1) = 2, tenemos:

    \begin{equation*}    3\cdot (2) + g(1) = 12\qquad\qquad\Rightarrow\qquad\qquad g(1) = 6 \end{equation*}

Con lo que terminamos.


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