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Continuidad de una función

Aprenderás las condiciones para que una función sea continua en un punto.

A través de algunos ejemplos nos hemos dado cuenta que un límite existe siempre que la función es continua en un intervalo al cual pertenezca el punto al cual tiende la variable independiente de la función.

Hay algunas condiciones que nos ayudan a calcular límites de una manera sencilla límites y que también nos ayudan a determinar si una función es continua en un punto. Para que una función sea continua se requeiren de las siguientes condiciones.


Condiciones de continuidad

Una función y = f(x) es continua en x = a, si

  • i f(a) está definida,
  • ii \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) existe, y
  • iii \lim\limits_{x\rightarrow a}f(x) = f(a).

Cuando decimos que una función es continua en un intervalo I, queremos decir que las condiciones de continuidad se cumplen para cualquier punto de ese intervalo. Recuerda que la segunda condición requiere que los límites laterales:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow a^{+}}f(x)\qquad\mbox{y}\qquad\lim\limits_{x\rightarrow a^{-}}f(x)\qquad\mbox{existen.} \end{equation*}

En los siguientes ejemplos veremos algunos casos de funciones que son continuas y otros de funciones discontinuas.


Ejemplo 1

Verifica si la función:

    \begin{equation*}    y = x^2 - 1 \end{equation*}

es continua en el punto x = 0.

Esta función es polinomial, y por tanto, su dominio es \mathbb{R}. Esto se debe a que siempre podemos multiplicar un número por sí mismo y a ese resultado restarle 1. Cuando x se acerca a cero, obtenemos:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x \rightarrow 0}{x^2} = (0)^2 = 0 \end{equation*}

Además, f(0) = 0^2 = 0, por lo que esta función es continua en x=0.

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Ejemplo 2

Verifica si la función:

    \begin{equation*}    y = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \end{equation*}

está definida para x = 1.

Primero vamos a calcular el límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow1}{\frac{x^2 - 1}{x - 1}} \end{equation*}

Para eso, empezamos factorizando el numerador de la función:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{x\rightarrow1}{\displaystyle\frac{x^2 - 1}{x - 1}} &=& \lim\limits_{x\rightarrow1}{\displaystyle\frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1}}\\ 	&=& \lim\limits_{x\rightarrow1}{(x + 1)} = 1 + 1 = 2 \end{eqnarray*}

Entonces, el límite existe. Ahora debemos verificar que la función está definida cuando x = 1. Pero cuando x = 1 el denominador se hace cero. Y entonces, no podemos realizar la división:

    \begin{equation*}    y(1) = \displaystyle\frac{(1)^2 - 1}{1 - 1} = \displaystyle\frac{0}{0} \end{equation*}

Entonces, la función no está definida para x = 1. Y concluimos que la función no es continua en ese punto. Se te queda como ejercicio graficar esta función.


Algunas veces las funciones definidas por intervalos. En estos casos debemos verificar que la función esté bien definida. Porque, por ejemplo, puede ocurrir que la función tome dos valores para un solo valor de x debido a que se ledefinió incorrectamente. Evidentemente, eso no debe ocurrir, porque una función devuelve a lo más un único valor de y para cada x que nosotros le demos. Si devuelve más de un valor, entonces no se trata de una función.


Ejemplo 3

Verifica si la función:

    \begin{equation*}    y(x) = \left\{    \begin{array}{ll}    2\,x & \mbox{ si } x \leq 3\\    x^2 - 3 & \mbox{ si } x > 3    \end{array}    \right. \end{equation*}

es continua en el punto x = 3.

Primero calcularemos el límite:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow3}{y(x)} \end{equation*}

Observa que la función está definida de una manera por la izquierda y de otra por la derecha de ese punto. Así que tendremos que calcular los dos límites laterales y verificar que coinciden. Empezamos calculando el límite por la izquierda:

    \begin{eqnarray*}    \lim\limits_{x\rightarrow3^{-}}{y(x)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow3^{-}}{2\,x}\\ 	&=& 2(3) = 6 \end{eqnarray*}

Ahora calcularemos el límite por la derecha:

    \begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\rightarrow3^{+}}{y(x)} &=& \lim\limits_{x\rightarrow3^{+}}{x^2 - 3}\\ 	&=& (3)^2 - 3 = 6 \end{eqnarray*}

Como los dos límites laterales son iguales, el límite \lim\limits_{x\rightarrow3}{y(x)} existe. Ahora verificamos que la función está definida para x = 3. Observa que en la definición, la expresión x \leq 3 nos indica que debemos usar la primera rama de la función:

    \begin{equation*}    y(3) = 2\,x = 2(3) = 6 \end{equation*}

Además, podemos ver que y(3) = \lim\limits_{x\rightarrow3}{y(x)}, por lo que la función sí es continua en x = 3. La gráfica de esta función se muestra a continuación:

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Observa que la gráfica de la función es continua porque en x = 3 el valor de las dos ramas coincide. Esto lo notamos del cálculo de los dos límites laterales.


En general, puedes ver gráficamente si una función es discontinua si al graficarla ésta presenta un brinco, es decir,
si no es posible dibujarla de un solo trazo. Las funciones escalonadas son discontinuas. Igualmente, las funciones racionales con denominador que se hace cero para al menos un valor de x.


Ejemplo 4

Verifica si la función piso, que se denota por: y =\lfloor x\rfloor, y que se define como:

    \begin{equation*}    \lfloor x\rfloor = \mbox{mayor entero }\leq x \end{equation*}

es continua en el intervalo (0,\infty).

Observa que la función tiene un mismo valor y para muchos valores de x:

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La gráfica nos indica que la función es discontinua. Esto se concluye también al calcular cualquiera de los límites:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow k}{\lfloor x\rfloor}\qquad\qquad k\in\mathbb{Z} \end{equation*}

porque para calcular ese límite, se requiere que los límites por la izquierda y por la derecha coincidan. Pero cuando k es un entero, el límite por la derecha es k, mientras que el límite por la izquierda es k-1, porque la función \lfloor x\rfloor devuelve la parte entera de x. Debido a esto, el límite \lim\limits_{x\rightarrow k}{\lfloor x\rfloor} con k entero, no existe. Y por tanto, la función es discontinua para toda x = k con k entera.



Ejemplo 5

Verifica si la función:

    \begin{equation*} y = \frac{\sin x}{x} \end{equation*}

es continua en x = 0.

Ya calculamos el límite \lim\limits_{x\rightarrow 0}{\displaystyle\frac{\sin x}{x}} previamente. Si sustituimos x=0 en la función, obtenemos cero sobre cero. Así que la función no es continua, porque no cumple con la primera condición de coninuidad. La gráfica de la función es la que se muestra enseguida:

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Observa que la función no está definida para x = 0 debido a la división entre cero. Sin embargo, si definimos f(0) = 1, la función es continua.



Reto

Considera la función;

    \begin{equation*}    y = \left\{    \begin{array}{ll}    0 & \mbox{ si $x$ es un n\'umero racional,}\\    1 & \mbox{ si $x$ es un n\'umero irracional}    \end{array}    \right. \end{equation*}

¿Es esta función es continua o discontinua? Argumenta tu respuesta.


La continuidad es importante en matemáticas porque en una función continua, un pequeño incremento en x ocasiona un pequeño incremento en y. No así con las funciones discontinuas. En otras palabras, para una función continua, cuando \Delta x tiende a cero, y(x + \Delta x) tiende a y(x), independientemente de que nos acerquemos a x por la derecha o por la izquierda.


Ejemplo 6

Si las funciones f y g son continuas y satisfacen:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1}{\left[3\,f(x) + g(x)\right]} = 12 \end{equation*}

Sabiendo que f(1) = 2, calcula: g(1).

Por las propiedades de los límites, podemos reescribir el límite dado como sigue:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1}{\left[3\,f(x) + g(x)\right]} = 3\lim\limits_{x\rightarrow 1}{f(x)} + \lim\limits_{x\rightarrow 1}{g(x)} = 12 \end{equation*}

Pero sabemos además que las dos funciones son continuas. Así que se cumple también:

    \begin{equation*}    3\cdot f(1) + g(1) = 12 \end{equation*}

porque de acuerdo a la definición de continuidad,

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1}{f(x)} = f(1) \end{equation*}

y también:

    \begin{equation*}    \lim\limits_{x\rightarrow 1}{g(x)} = g(1) \end{equation*}

Como f(1) = 2, tenemos:

    \begin{equation*}    3\cdot (2) + g(1) = 12\qquad\qquad\Rightarrow\qquad\qquad g(1) = 6 \end{equation*}

Con lo que terminamos.


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