Constante de integración

Cuando impongamos una condición que deba satisfacer la antiderivada de la función dada, por ejemplo, que pase por un punto dado, tendremos la posibilidad de reducir toda una familia de funciones a una sola función.

Contenido

1 Ejemplo
2 Ejemplo
3 Ejemplo
4 Integral indefinida

Ejemplo

Calcula la antiderivada de la función:

$\begin{equation*} f(x) = 2\,x + 1 \end{equation*}$

que pasa por el punto $A(0,1)$ .

Primero calculamos la antiderivada y después nos preocuparemos por que pase por el punto dado. La antiderivada de la función es:

$\begin{equation*} F(x) = x^2 + x + C \end{equation*}$

Puedes verificar que esta es la antiderivada viendo que: $F'(x) = f(x)$ . Si la antiderivada debe pasar por el punto $A(0,1)$ , entonces ésta debe satisfacer las coordenadas de ese punto. Matemáticamente, tenemos: $F(0) = 1$

$\begin{equation*} F(0) = (0)^2 + 0 + C = 1\qquad\Rightarrow\qquad C = 1 \end{equation*}$

Entonces, la constante de integración es $C = 1$ , y la antiderivada particular que satisface la condición
de pasar por el punto $A(0,1)$ es:

$\begin{equation*} F(x) = x^2 + x + 1 \end{equation*}$

Ahora el resultado no fue una familia de funciones, dado que debían satisfacer la condición de pasar por el punto dado. El hecho de satisfacer la condición ocasionó que la constante de integración se convirtiera en una constante particular (en este caso, $C = 1$ ). Cuando no imponemos la condición de que pase por un punto, nos quedamos con una familia de funciones, debido a que la constante ocasiona una traslación vertical a la gráfica de la antiderivada $y = F(x)$ .

Al obligar a $y = F(x) + C$ que pase por un punto particular $A(x_0, y_0)$ , estamos reduciendo la familia de funciones a una sola. Nosotros calculamos el valor de la constante $C$ a partir de la condición: $F(x_0) = y_0$ .
Al imponer esta condición sobre la antiderivada obtenemos:

$\begin{equation*} C = y_0 - F(x_0) \end{equation*}$

Y la función que pertenece a la familia de funciones $y = F(x) + C$ que cumple con esa condición es:

$\begin{equation*} y = F(x) + \left[y_0 - F(x_0)\right] \end{equation*}$

Entonces, desde el punto de vista geométrico, la constante $C$ es la que genera toda la familia de funciones, pues para cada valor de $C$ distinto, obtenemos una nueva función.

Ejemplo

Calcula la antiderivada de la función:

$\begin{equation*} f(x) = 2\,e^{2x - 1} \end{equation*}$

que pasa por el punto $A(0,0)$ .

La antiderivada de la función es:

$\begin{equation*} F(x) = e^{2x - 1} + C \end{equation*}$

que puedes verificar fácilmente. Para que pase por el punto $A(0,0)$ , se requiere que: $F(0) = 0$ . Entonces,

$\begin{equation*} F(0) = e^{-1} + C = 0\qquad\Rightarrow\qquad C = -e^{-1} \end{equation*}$

La función que cumple con la condición es:

$\begin{equation*} y = e^{2x-1} - e^{-1} \end{equation*}$

Fácilmente se verifica que esta función pasa por el origen:

$\begin{equation*} F(0) = e^{2(0)-1} - e^{-1} = e^{-1} - e^{-1} = 0 \end{equation*}$

También podemos dar una interpretación física de la constante de integración.

Ejemplo

Una piedra se dejó caer desde una altura $h$ metros y su velocidad (en metros por segundo) está dada por:

$\begin{equation*} v(t) = -9.81\,t \end{equation*}$

donde $t$ está medido en segundos. Calcula la altura de la partícula (en metros) para cada valor de $t$ .

La derivada de la posición es la velocidad de la partícula. Entonces, la antiderivada de la velocidad nos da la posición de la partícula. Esto quiere decir que necesitamos calcular la antiderivada de la función:

$\begin{equation*} v(t) = -9.81\,t \end{equation*}$

¿Qué función, cuando la derivamos, nos da una función lineal? La respuesta a esta pregunta es: una función cuadrática.

$\begin{equation*} \text{Si } \quad y = a\,x^2 + b\,x + c\qquad\Rightarrow\qquad \dydx = 2\,ax + b \end{equation*}$

Debes observar que la antiderivada de una lineal es una cuadrática con el coeficiente principal igual a la mitad de la pendiente de la lineal. Esto nos sugiere que hagamos:

$\begin{equation*} s(t) = -\frac{9.81}{2}\,t^2 + C = -4.905\,t^2 + C \end{equation*}$

Ahora nos falta determinar el valor de la constante. Del texto del problema sabemos que la piedra se dejó caer desde una altura $h$ . Esto nos está diciendo que en $t = 0$ la posición de la partícula es: $s(0) = h$ . Vamos a utilizar esta información para calcular el valor de la constante:

$\begin{equation*} s(0) = -4.905\,(0)^2 + C = h\qquad\Rightarrow\qquad C = h \end{equation*}$

Luego, la función que nos da la posición de la piedra para cada $t$ es:

$\begin{equation*} s(t) = -4.905\,t^2 + h \end{equation*}$

donde $h$ es la posición desde la cual se dejó caer la piedra. Observa que si derivamos la función respecto del tiempo, obtenemos la función que nos dieron para la velocidad:

$\begin{equation*} \frac{ds}{dt} = -(2)(4.905)\,t = -9.81\,t = v(t) \end{equation*}$

La constante $C$ de la familia de funciones $y = F(x) + C$ (desde el punto de vista físico) representa la condición inicial a la que se realiza el experimento que está modelado por el integrando.

En el ejemplo anterior, inicialmente la posición de la piedra era de $h$ metros sobre el suelo, por eso la condición inicial impuesta para calcular la función que modela el fenómeno fue que pasara por el punto $P(0,h)$ . Por eso dijimos que $s(0) = h$ . Es decir, cuando $t = 0$ (el reloj está en el punto de arranque), la posición de la piedra es $h$ metros sobre el nivel del suelo.

A este proceso de calcular la antiderivada se le llama integrar la función, y al resultado se le llama la integral indefinida.

Integral indefinida

Sean $y = F(x)$ , $y = f(x)$ funciones tales que $F'(x) = f(x)$ . Entonces, la integral indefinida de $f(x)$
respecto de $x$ es $F(x) + C$ , y esto se denota por:

$\begin{equation*} \int\!f(x)\,dx = F(x) + C \end{equation*}$

El símbolo $\int$ se conoce como el signo de integración, $f(x)$ como el integrando y la constante $C$ como la
constante de integración.

Dado que calcular la derivada y la antiderivada de funciones son procesos inversos uno del otro, el cálculo de las antiderivadas se puede hacer fácilmente cambiando el formulario de las reglas de derivación como reglas de integración indefinida. El siguiente formulario incluye las reglas de integración indefinida inmediata que podemos obtener intercambiando los argumentos en las reglas de derivación: