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Conjuntos de números

Aprenderás los conjuntos de números definidos en matemáticas elementales y cómo están relacionados entre ellos.

El siguiente diagrama te ayudará a visualizar mejor cómo se relacionan los distintos conjuntos de números que hemos estudiado:

A partir de este diagrama podemos fácilmente darnos cuenta que todos los números naturales pertenecen al conjunto de los números enteros, es decir, todos los números naturales son también números enteros.

Pero todos los números enteros son también números racionales, por lo tanto, todos los números naturales también son números racionales.

Sin embargo, ningún número racional es un número irracional y viceversa. Esto nos indica que ningún número natural pertenece al conjunto de los números irracionales. Esto mismo ocurre con los números enteros.

Y es que si un número es racional no puede ser irracional.

Sin embargo, cuando juntamos a todos los números racionales con todos los números irracionales obtenemos el conjunto de los números reales. Es decir, todos los números que enlistamos (naturales, enteros, racionales e irracionales) son también números reales.

Ejemplo

Verifica si es verdadero o falso lo que se dice de los siguientes números.

El número $\sqrt{9}$ es un número natural. (V)
El número $\displaystyle\frac{\pi}{2}$ es un número racional.(F)
El número 0 es un número irracional. (F)
El número $\displaystyle\frac{1}{5}$ es un número entero. (F)
El número $\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2}$ es un número racional. (F)
El número $\pi$ es un número real. (V)

Ejemplo

Indica en cada caso a qué conjunto debe pertenecer el número que utilizaremos en cada caso. Evidentemente, todos pertenecen al conjunto de los números reales, así que mejor menciona otro de los conjuntos.

Volumen en mililitros de un vaso. ( $\mathbb{Q}$ )
Área de un círculo de radio 1. ( $\mathbb{Q}'$ )
Peso de una bolsa de frijol con una precisión de gramos. ( $\mathbb{N}$ o $\mathbb{Q}$ )
Número total de refrescos embotellados en un día en una embotelladora. ( $\mathbb{N}$ )
Número total de hojas impresas en una fotocopiadora. ( $\mathbb{N}$ )
Saldo de una cuenta bancaria, con una precisión de hasta centavos de peso. ( $\mathbb{Q}$ )
Saldo de una cuenta bancaria, con una precisión de miles de pesos. ( $\mathbb{Z}$ )
Velocidad de un coche. ( $\mathbb{Q}$ )

Cuando sumamos dos números reales, cualesquiera que estos sean, el resultado es otro número real. De manera semejante, cuando multiplicamos dos números reales, el resultado es otro número real.

Cerradura

Cuando a los elementos de un conjunto se les realiza una operación, y el resultado es algún elemento del mismo conjunto, decimos que ese conjunto es cerrado bajo esa operación.

Por ejemplo, los números naturales son cerrados bajo la suma, porque cuando sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural.

De manera semejante, cuando multiplicamos dos números naturales, el resultado es otro número natural. Entonces el conjunto $\mathbb{N}$ también es cerrado bajo la multiplicación.

Enseguida se da la lista de las propiedades más básicas de los números reales. Si $a,b,c$ son números reales, entonces:

$\begin{tabular}{ccl}\toprule \textbf{Suma} & \textbf{Multiplicaci\'on} & \textbf{Propiedad}\\\midrule $a+b\in\mathbb{R}$ & $a\cdot b\in\mathbb{R}$ & \textcolor{blue}{Cerradura} \\%\hline $a+b=b+a$ & $a\cdot b=b\cdot a$ & \textcolor{blue}{Conmutativa}\\%\hline $(a+b)+c=a+(b+c)$ & $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ & \textcolor{blue}{Asociativa} \\%\hline $a+0=a$ & $a\cdot 1=a$ & \textcolor{blue}{Neutro}\\%\hline $a+(-a)=0$ & $\displaystyle a\cdot\frac{1}{a} = 1$ & \textcolor{blue}{Inverso}\\%\hline \multicolumn{2}{c}{$a\,(b+c)=a\,b+a\,c$} & \textcolor{blue}{Distributiva}\\\bottomrule \end{tabular}$

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