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Conjuntos de números

Aprenderás los conjuntos de números definidos en matemáticas elementales y cómo están relacionados entre ellos.

En esta sección vamos a estudiar primero los distintos conjuntos de números que se definen en matemáticas. Después, al conocerlos mejor, podremos resolver distintos problemas aritméticos.

Para simplificar el estudio de los números, los matemáticos los han clasificado de la siguiente manera:


Números naturales


Son los números que utilizamos para contar. El conjunto de los números naturales se denota por \mathbb{N}

    \begin{equation*}    \mathbb{N} = \{ 1, 2, 3, 4, 5, \cdots \} \end{equation*}


Observa que el cero no es un número natural, porque cuando alguien no posee nada, no tiene necesidad de contar.

En el lenguaje matemático, escribimos: 1\in\mathbb{N} para indicar que el número 1 está dentro del conjunto de los números naturales, es decir, el número 1 es un elemento de ese conjunto.

El símbolo: \in se lee: …es un elemento del conjunto…

Para indicar que un número dado NO es un numero natural escribimos, por ejemplo: \pi\notin\mathbb{N}. Esto nos está diciendo en palabras: El número \pi NO es un número natural.

De manera semejante, el símbolo \notin se lee: …no es un elemento del conjunto…


Es una buena idea notar que cuando sumamos dos números naturales, el resultado es otro número natural.
Nunca obtendremos un número con decimales.


Números enteros


Es el conjunto formado por todos los números naturales, el cero y los números naturales dotados del signo negativo.
El conjunto de los números enteros se denota por \mathbb{Z}.

    \begin{equation*}    \mathbb{Z}=\{\cdots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\cdots\} \end{equation*}

Es importante notar que todos los números naturales son también números enteros, pero no todos los números enteros son números naturales.

Por ejemplo, el número -5 es un número entero que no es un número natural.

De nuevo, cuando sumamos dos números enteros, el resultado es otro número entero.

Números racionales


Es el conjunto formado por todos los números que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, siendo el denominador distinto de cero.
El conjunto de los números racionales se denota por \mathbb{Q}.

    \begin{equation*}    \mathbb{Q} = \left\{ x|x = \frac{p}{q}; p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 \right \} \end{equation*}

Algunos ejemplos de números racionales son los siguientes:

    \begin{equation*} \frac{1}{2}\qquad-\frac{3}{7}\qquad\frac{21}{22}\qquad\frac{7}{2}\qquad\frac{1}{10} \end{equation*}

Pero no todas las fracciones se consideran números racionales. Para que un número sea considerado número racional, se requiere que tanto en el numerador como en el denominador tengamos un número entero, aunque sea negativo.

Por ejemplo, los siguientes números \textbf{no} son racionales, a pesar de que son fracciones:

    \begin{equation*} \frac{1}{\sqrt{2}}\qquad\frac{1-\sqrt{5}}{2}\qquad\frac{10}{0}\qquad\frac{\pi}{4} \end{equation*}

Otra cosa importante consiste en que en el denominador no aparezca el cero. ¿Por qué?

Ya debes saber que no es posible dividir por cero.

Por ejemplo, cuando queremos dividir 10 entre cero, no podemos encontrar una solución.

Cuando dividimos cero entre diez, sí podemos encontrar una solución. Piensa en términos de manzanas: si tengo cero manzanas y las voy a repartir entre diez niños, ¿cuántas manzanas les daré a cada niño? La respuesta es obvia, como tengo cero manzanas, a cada niño le corresponden cero manzanas.

Pero el otro caso: si tengo diez manzanas y las voy a repartir entre cero niños, ¿cuántas manzanas les daré a cada niño?, tenemos un problema: ¿cómo vamos a repartir las manzanas, si para empezar, tenemos cero niños?

Observa que cuando dividimos 10 entre 2, buscamos un número que multiplicado por 2, nos dé como resultado 10.

Cuando dividimos diez entre cero, tenemos que encontrar un número que multiplicado por cero nos dé como resultado diez. Pero ya sabemos que cualquier número multiplicado por cero es igual a cero. Esto significa que no podemos encontrar algún número que multiplicado por cero dé diez. Por eso no podemos realizar la división.

Otro caso aparte es la división cero entre cero. Si buscamos un número que multiplicado por cero nos dé como resultado cero, vemos que no hay solamente una solución, sino un número infinito de soluciones, todas distintas. Por ejemplo el número cero, bien sirve como solución de nuestra división, porque 0\times0=0, pero igual sirve el número 1 como solución, porque 1\times0=0, y así como cualquier número que se te ocurra.

El problema aquí consiste en que cuando dividimos un número entre otro, siempre obtenemos una única solución, pero en este único caso, al dividir cero sobre cero, no obtenemos una única solución, sino muchas.

Es importante mencionar que no es que la solución de esta división sea infinito, porque cuando dividimos dos números siempre obtenemos como resultado un único número. Infinito no es un número, sino una expresión que nos dice que algo no tiene fin. Por esta razón, no es correcto decir que al dividir entre cero obtenemos infinito como respuesta.

Observa que todos los números enteros son números racionales, porque podemos escribirlos con el denominador igual a 1. Por ejemplo, el número 10, puede representarse como:

    \begin{equation*}    10 = \frac{10}{1}\in\mathbb{Q} \end{equation*}

y cumple con la definición de número racional, porque el denominador es distinto de cero.


Igual que con los conjuntos de números naturales y enteros, en el conjunto de los números racionales, cuando sumamos dos de sus elementos, obtenemos otro elemento de \mathbb{Q}.


Números irracionales


Son todos aquellos números que no se pueden escribir como el cociente de números enteros, siendo el denominador distinto de cero.
El conjunto de los números irracionales se denota por \mathbb{Q}'.

    \begin{equation*}    \mathbb{Q}' = \left\{ x|x \neq \frac{p}{q}; p, q \in \mathbb{Z}, q \neq 0 \right \} \end{equation*}

Observa que ningún número racional es un número irracional y de manera semejante, ningún número irracional es un número racional.

Algunos ejemplos de números irracionales son:

    \begin{equation*}    \pi,\quad \sqrt{2},\quad\sqrt{3},\quad\sqrt{6},\cdots \end{equation*}


Números reales


Es el conjunto que contiene a todos los números racionales y a todos los números irracionales.


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