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Congruencia y semejanza de triángulos

Aprenderás la congruencia y semejanza de los triángulos

Como habrás observado, la idea de que dos segmentos o dos ángulos tienen la misma medida sirve mucho para demostrar teoremas en geometría. Igualmente, cuando dos triángulos tienen sus lados de la misma medida, uno a uno, sirve para resolver problemas. El concepto de congruencia es el que se refiere a la igualdad de objetos geométricos.


Congruencia

Dos objetos geométricos son congruentes si tienen las mismas medidas y los mismos ángulos.

Por ejemplo, los siguientes segmentos son congruentes:

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Igualmente, los siguiente dos ángulos son congruentes, pues tienen la misma medida:

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Los siguientes triángulos son congruentes, pues tienen las medidas de sus lados y de sus angulos iguales, uno a uno:

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Para denotar matemáticamente que los triángulos \triangle ABC y \triangle A'B'C' son congruentes, vamos a usar la notación:

    \begin{equation*}    \triangle ABC \cong \triangle A'B'C' \end{equation*}

y esto se leerá como: El triángulo ABC es congruente con el triángulo A'B'C'.

Existen tres criterios para determinar si dos triángulos dados son o no congruentes.

Los criterios son los siguientes:

  • (i) Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, los dos triángulos son congruentes.
  • (ii) Si un ángulo de un triángulo es congruente con el ángulo de otro triángulo, y además los lados del ángulo considerado en cada triángulo son congruentes, entonces los dos triángulos son congruentes.
  • (iii) Si las longitudes de los lados de un triángulo son congruentes a las longitudes de los lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

El siguiente teorema es importante:


Teorema

La congruencia de triángulos satisface:

  • (i) \triangle ABC\cong\triangle ABC.
  • (ii) Si \triangle ABC\cong\triangle PQR, entonces \triangle PQR\cong\triangle ABC.
  • (iii) Si \triangle ABC\cong\triangle PQR y \triangle PQR\cong\triangle RST, entonces, \triangle ABC\cong\triangle RST.

En palabras, la primera afirmación dice en palabras que todo triángulo es congruente a sí mismo. Es decir, la congruencia de triángulos tiene la propiedad reflexiva. La segunda afirmación dice que si un triángulo es congruente a otro triángulo, el segundo es congruente al primero. Es decir, la congruencia de triángulos tiene la propiedad simétrica. La tercera afirmación dice que si un primer triángulo es congruente a un segundo triángulo, y a su vez este segundo triángulo es congruente a otro tercer triángulo, entonces el primero y el tercero son congruentes. Es decir, la congruencia entre triángulos tiene la propiedad transitiva.


Semejanza de figuras

Dos figuras geométricas son semejantes si tienen los mismos ángulos internos (uno a uno) y sus lados correspondientes tienen la misma proporción.

Cuando decimos que dos figuras son semejantes queremos decir que ambas tienen la misma forma, pero tal vez una es escala de la otra. Los siguientes dos triángulos son semejantes:

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y matemáticamente lo vamos a denotar por:

    \begin{equation*}    \triangle ABC\sim\triangle A'B'C' \end{equation*}

Otra forma de definir la semejanza entre dos triángulos es la siguiente:


Semejanza de triángulos

Si los triángulos \triangle ABC y \triangle A'B'C' satisfacen:

    \begin{equation*}    \frac{|\segm{AB}|}{|\segm{A'B'}|} = \frac{|\segm{BC}|}{|\segm{B'C'}|} = \frac{|\segm{AC}|}{|\segm{A'C'}|} \end{equation*}

entonces, \triangle ABC\sim\triangle A'B'C'.


También podemos verificar que dos triángulos son semejantes si dos de sus ángulos internos son iguales uno a uno. En la figura donde se muestran los triángulos \triangle ABC y \triangle A'B'C', los ángulos satisfacen: \angle BAC = \angle B'A'C', \angle ABC = \angle A'B'C', y \angle ACB = \angle A'C'B'.


Ejemplo 1

Verifica si los triángulos siguientes son semejantes:

Dado que los ángulos son congruentes uno a uno, se concluye que los triángulos son semejantes.

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Observa que el tercer ángulo (de cada triángulo) es el suplemento de 40\textdegree + 60\textdegree = 100\textdegree, pues la suma de los tres ángulos internos del triángulo es igual a 180\textdegree.



Ejemplo 2

Verifica si los siguientes triángulos son semejantes:

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En este caso, es obvio que hay un ángulo congruente en ambos triángulos, pues en ambos triángulos hay un ángulo que mide 30\textdegree. Por otra parte, ambos triángulos son isósceles, pues cada lado del ángulo que mide 30\textdegree tienen la misma longitud en los dos trángulos. Entonces esos lados son proporcionales:

    \begin{equation*}    \textcolor{red}{\frac{4}{6}} = \textcolor{red}{\frac{4}{6}} = \frac{2}{3} \end{equation*}

Por lo que los triángulos son semejantes.



Ejemplo 3

Verifica si los triángulos \triangle ABC y \triangle A'B'C' con lados |\segm{AB}| = 5, |\segm{BC}| = 3, |\segm{AC}| = 4, |\segm{A'B'}| = 15, |\segm{B'C'}| = 9, |\segm{A'C'}| = 12, son semejantes.

Ahora utilizaremos la definición que dimos de triángulos semejantes:

    \[\begin{array}{ccccccc} \textcolor{red}{\displaystyle\frac{|\segm{AB}|}{|\segm{A'B'}|}}  	& = & \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{|\segm{BC}|}{|\segm{B'C'}|}} 	& = & \textcolor{cyan}{\displaystyle\frac{|\segm{AC}|}{|\segm{A'C'}|}} 	& & \\ 	\textcolor{red}{\displaystyle\frac{5}{15}} 	& = & \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{3}{9}} 	& = & \textcolor{cyan}{\displaystyle\frac{4}{12}}  	& = & \displaystyle\frac{1}{3}\textcolor{white}{\displaystyle\frac{\frac{1}{x}}{x}} \end{array}\]

Como se cumple la igualdad, concluimos que: \triangle ABC\sim\triangle A'B'C'. Observa que pudimos utilizar:

    \[\begin{array}{ccccccc} \textcolor{red}{\displaystyle\frac{|\segm{A'B'}|}{|\segm{AB}|}}  	& = & \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{|\segm{B'C'}|}{|\segm{BC}|}} 	& = & \textcolor{cyan}{\displaystyle\frac{|\segm{A'C'}|}{|\segm{AC}|}} 	& &  \\ 	\textcolor{red}{\displaystyle\frac{15}{5}} 	& = & \textcolor{blue}{\displaystyle\frac{9}{3}} 	& = & \textcolor{cyan}{\displaystyle\frac{12}{4}}  	& = & 3\textcolor{white}{\displaystyle\frac{\frac{1}{x}}{x}} \end{array}\]

por la propiedad simétrica de la semejanza de triángulos y concluir el mismo resultado.



Ejemplo 4

Verifica si los siguientes triángulos son semejantes:

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Empezamos observando que hay un ángulo congruente en ambos triángulos, debido a que es opuesto por el vértice. Ahora vemos inmediatamente que el lado horizontal del triángulo de la izquierda mide el doble que el lado correspondiente del otro triángulo.

Nos falta ver que el lado inclinado del primer triángulo (de la izquierda) mida exactamente el doble que el de la derecha. Observa que: \sqrt{52} = \sqrt{(4)(13)} = 2\,\sqrt{13}. Es decir, el lado inclinado del triángulo de la izquierda mide el doble del lado que le corresponde del triángulo de la derecha. Entonces, los triángulos son semejantes.


Como puedes ver los tres criterios de congruencia entre triángulos se pueden extender a criterios de semejanza de triángulos como se enlistan enseguida:

  1. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, los dos triángulos son semejantes.
  2. Si un ángulo de un triángulo es congruente con el ángulo de otro triángulo, y además los lados del ángulo considerado en cada triángulo son proporcionales, entonces los dos triángulos son semejantes.
  3. Si las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a las longitudes de los lados de otro triángulo, entonces los dos triángulos son semejantes.

lo único que hemos hecho es cambiar la palabra congruente por proporcional cuando se refiere a la longitud de uno o varios lados de los triángulos. Ahora podemos aplicar los tres criterios para determinar si dos triángulos son semejantes.


Ejemplo 5

Expresa los tres criterios de semejanza de triángulos como teoremas.

Primer criterio:

Teorema

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con los de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes.

Porque si se conocen \alpha y \beta, el otro ángulo debe medir 180\textdegree - \alpha - \beta. Entonces los tres ángulos de cada triángulo son congruentes y los triángulos son semejantes.

Segundo criterio:

Teorema

Si uno de los ángulos de un triángulo es congruente con un ángulo de otro segundo triángulo, y los lados de cada uno de estos ángulos son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes.

Porque al ser proporcionales los lados del triángulo y el ángulo entre ellos congruente, se tiene que uno es escala del otro, y el tercer lado de los triángulos queda proporcional, quedando los otros ángulos faltantes congruentes entre los triángulos.

Tercer criterio:

Teorema

Si las longitudes de los lados de un triángulo son proporcionales a las longitudes de los lados de un segundo triángulo, los dos triángulos son proporcionales.

Porque uno es escala del otro.


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