Concavidad

La concavidad es un concepto que nos ayudará a describir el comportamiento de la primera derivada de una función. Dado que la derivada nos da información sobre la función, la segunda derivada nos debe dar información sobre la primera derivada. Esto nos sugiere que la segunda derivada es útil para conocer la concavidad de una curva.

Contenido

1 Ejemplo 1
2 Concavidad
3 Ejemplo 2
4 Ejemplo 3
5 Ejemplo 4
6 Punto de inflexión
7 Ejemplo 5

Ejemplo 1

Determina cómo queda dibujada una recta tangente a la curva para un valor $x_0$ tal que $y''(x_0) < 0$ respecto de la gráfica de la función. Asimismo, para un $x_0$ tal que $y''(x_0) > 0$ .

Cuando $y''(x_0) < 0$ , la derivada de la función, $y'(x)$ en ese punto $x_0$ está decreciendo. Esto significa que la curva va cambiando dirección haciéndose cada vez más inclinada hacia abajo. Entonces, una recta tangente en $x_0$ debe quedar por encima de la gráfica de la función. Por otra parte, cuando $y''(x_0) > 0$ , la derivada de la función, $y'(x)$ en ese punto $x_0$ está creciendo. Esto indica que la curva ahora va haciendose más inclinada hacia arriba. Ahora la recta tangente a la curva en $x_0$ debe quedar por debajo de la gráfica de la función.

Se dice que una función $y = f(x)$ tiene concavidad hacia arriba en el intervalo $(a,b)$ si una recta tangente dibujada a la gráfica de la función en un punto $x_0$ de ese intervalo $(a < x_0 < b)$ queda por debajo de la función. Si la tangente dibujada queda por arriba de la función decimos que la función presenta concavidad hacia abajo en ese intervalo.

Ejemplo 2

Verifica si las rectas tangentes dibujadas a la función:

$\begin{equation*} y = 2 - x^2 \end{equation*}$

quedan por encima o por debajo de su gráfica.

Volvemos a retomar el primer ejemplo discutifo en la lección titulada: Máximos y Mínimos. Ya sabemos que la primera derivada de esta función es: $y'(x) = -2\,x$ . Mientras que la segunda derivada es: $y''(x) = -2$ . Observa que la segunda derivada es negativa siempre. Esto nos dice que la pendiente de las rectas tangentes van decreciendo conforme $x$ crece. Es decir, la gráfica de la función tiene concavidad hacia abajo, dado que las rectas tangentes van quedando por encima de la gráfica de la función:

Ejemplo 3

Indica la concavidad en cada uno de los puntos críticos de la siguiente función:

$\begin{equation*} y = 3\,x^4 - 20\,x^3 + 12\,x^2 + 96\,x - 10 \end{equation*}$

Tenemos que calcular todos los puntos críticos de esta función. Empezamos calculando su derivada:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& 12\,x^3 - 60\,x^2 + 24\,x + 96\\ &=& 12\cdot\left(x^3 - 5\,x^2 + 2\,x + 8\right) \end{eqnarray*}$

Observa que la derivada se hace cero para $x = -1$ . Entonces, podemos dividir entre $x+1$ la derivada para factorizarla:

$\begin{array}{rrrr|r} 1 & -5 & 2 & 8 & -1 \\ & -1 & 6 & -8 & \\\hline 1 & -6 & 8 & 0 & \end{array}$

Esto nos permite reescribir la derivada de la siguiente forma:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& 12\cdot(x + 1)\left(x^2 - 6\,x + 8\right)\\ &=& 12\cdot(x + 1)(x - 4)(x - 2) \end{eqnarray*}$

Ahora fácilmente podemos calcular los puntos críticos de la función igualando a cero cada factor. Es decir, los puntos críticos de la función son: $x_1 = -1$ , $x_2 = 4$ , y $x_3 = 2$ . Para conocer la concavidad en cada uno de ellos, vamos a calcular la segunda derivada y a evaluarla en cada punto crítico:

$\begin{equation*} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 36\,x^2 - 120\,x + 24 \end{equation*}$

Al evaluarla en $x = x_1 = -1$ , obtenemos:

$\begin{equation*} \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right\vert_{x=-1} = 36\,(-1)^2 - 120\,(-1) + 24 = 180 > 0 \end{equation*}$

Entonces, en este punto tiene un mínimo, y por tanto, tiene concavidad hacia arriba. Para el siguiente punto crítico tenemos:

$\begin{equation*} \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right\vert_{x=2} = 36\,(2)^2 - 120\,(2) + 24 = -72 < 0 \end{equation*}$

que nos indica que la función tiene un máximo ahí y concavidad hacia abajo. Para $x = x_3 = 4$ , obtenemos:

$\begin{equation*} \left.\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right\vert_{x=4} = 36\,(4)^2 - 120\,(4) + 24 = 120 > 0 \end{equation*}$

por lo que la función tiene un mínimo en ese punto crítico y concavidad hacia arriba. La siguiente gráfica muestra toda esta información:

En el ejemplo anterior hemos visto que la concavidad cambió, empezando la función con concavidad hacia arriba, luego hacia abajo y termina con concavidad hacia arriba de nuevo. Una buena pregunta que debemos hacer ahora es cómo reconocer en qué punto deja de tener concavidad hacia arriba y empieza a tener concavidad hacia abajo. Eso debe ocurrir en el punto en que la derivada deja de crecer y empieza a decrecer. Es decir, debe ocurrir en el punto $x_c$ en el cual la segunda derivada se hace cero.

Ejemplo 4

Calcula los intervalos donde la función:

$\begin{equation*} y = 3\,x^4 - 20\,x^3 + 12\,x^2 + 96\,x - 10 \end{equation*}$

tiene concavidad hacia arriba y donde tiene concavidad hacia abajo.

Para calcular los intervalos debemos conocer exactamente dónde cambia la concavidad de la función. Es decir, en qué punto cambia de signo su segunda derivada. En el ejemplo anterior calculamos los puntos críticos de la función, como su concavidad en cada uno de ellos. Entonces, calculamos su segunda derivada:

$\begin{equation*} \frac{d^{2}y}{dx^{2}} = 36\,x^2 - 120\,x + 24 \end{equation*}$

Ahora vamos a igualarla a cero y vamos a resolver para $x$ :

$\begin{eqnarray*} x &=& \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4\,ac}}{2\,a}\\ &=& \frac{-(-120) \pm\sqrt{(-120)^2 - 4\,(36)(24)}}{2\,(36)}\\ &=& \frac{120\pm\sqrt{14\,400 - (3\,456)}}{72}\\ &=& \frac{120\pm\sqrt{10\,944}}{72} \end{eqnarray*}$

Lo que puede reescribirse como:

$\begin{equation*} x = \frac{120 \pm 24\sqrt{19}}{72} = \frac{5 \pm \sqrt{19}}{3} \end{equation*}$

Esto es,

$\begin{equation*} x_1 = \frac{5 + \sqrt{19}}{3} \approx 3.1196\qquad\mbox{ y }\qquad x_2 = \frac{5 - \sqrt{19}}{3} \approx 0.2137 \end{equation*}$

Estos dos puntos son los límites donde la función cambia de concavidad. Entonces, los intervalos donde la función presenta concavidad hacia arriba son: $(-\infty,0.2137)$ , y $(3.1196,\infty)$ . Y el intervalo donde la función tiene concavidad hacia abajo es: $(0.2137,0.31186)$ . Este resultado se verifica visualmente en la gráfica de la función.

Punto de inflexión

Sea $y = f(x)$ una función con segunda derivada definida en $x_0$ . El punto $x_0$ es un punto de inflexión si $f''(x_0) = 0$ .

En otras palabras, un punto de inflexión es aquel punto donde la concavidad de la función cambia.

Ejemplo 5

Calcula todos los puntos de inflexión de la función:

$\begin{equation*} y = e^{-x^2} \end{equation*}$

Empezamos calculando la segunda derivada de la función:

$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} &=& -2\,xe^{-x^2} \\ \frac{d^{2}y}{dx^{2}} &=& \left(4\,x^2 - 2\right)\cdot e^{-x^2} \end{eqnarray*}$

Para que la segunda derivada se haga cero, es necesario que $4\,x^2 - 2 = 0$ luego:

$\begin{eqnarray*} 4\,x^2 &=& 2\qquad\Rightarrow\\ x^2 &=& \frac{1}{2}\qquad\Rightarrow\\ x &=& \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.7071 \end{eqnarray*}$

Ahora es fácil localizar en la gráfica los puntos de inflexión de esta función:

Los intervalos con diferente concavidad son: $(-\infty,-1/\sqrt{2})$ y $(1/\sqrt{2},\infty)$ con concavidad hacia arriba y $(-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})$ con concavidad hacia abajo.