Clasificación de funciones

Contenido

1 Funciones inyectivas o sobreyectivas
2 Funciones inyectivas
3 Funciones sobreyectivas
4 Funciones biyectivas

Funciones inyectivas o sobreyectivas

Funciones inyectivas

Una función es inyectiva si para elementos diferentes del dominio se le asigna diferentes elementos del contradominio.

Por ejemplo, la función $y = x$ es inyectiva, porque para un valor diferente de $x$ la función asigna un valor diferente de $y$ .

Otro ejemplo de función inyectiva es: $y = x^3$ , porque a cada valor de $x$ , el valor de su cubo es diferente:

Otro ejemplo de función inyectiva es: $y = \sqrt{x}$ , porque a cada valor de $x$ , el valor de su raíz es diferente:

Un ejemplo de función que no es inyectiva es: $y = x^2$ , porque $y(-2) = y(2) = 4$ , como se muestra en la siguiente figura:

Funciones sobreyectivas

Una función es sobreyectiva cuando a los elementos del rango les corresponde una o varios elementos del dominio.

El primer ejemplo es la función identidad, pues para cada elemento del rango, le corresponde un elemento del dominio, como se muestra a continuación:

La función $y = x^3$ también es sobreyectiva, porque para cada valor $k$ que esté en el rango, es una imagen, de otro valor que se encuentra en el dominio (que es $\sqrt[3]{k}$ ). En la siguiente figura se puede ver gráficamente este hecho:

¿Consideras que la función $y = x^2$ es sobreyectiva?

Ahora consideremos un ejemplo de una función que no es sobreyectiva: $y = \sqrt{x}$ :

… porque los valores negativos de $y$ , no son imágenes de algún elemento del dominio; esto es, no hay valores de $x$ que hagan que la función devuelva valores negativos.

Otro ejemplo de una función que no es sobreyectiva es $y = e^x$ , como se puede ver en su gráfica:

pues los valores negativos de $y$ , no son imágenes de algún elemento del dominio; esto es, no hay valores de $x$ que hagan que la función devuelva valores negativos.

Funciones biyectivas

Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

De los ejemplos previos, ¿cuáles funciones son biyectivas?

Recuerda que debe ser tanto inyectiva como sobreyectiva para que sea biyectiva.

La función identidad es inyectiva y también es sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva.

la función $y = x^3$ es biyectiva, porque es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Un ejemplo de una función que no es biyectiva es: $y = e^x$ (¿por qué?)

Esta función no es biyectiva porque no es sobreyectiva. Pero sí es inyectiva.

Otra función que no es biyectiva es: $y = x^2$ ,

Esta función no es biyectiva porque no es ni inyectiva, ni sobreyectiva.

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Funciones inyectivas o sobreyectivas

Funciones inyectivas

Funciones sobreyectivas

Funciones biyectivas