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Clasificación de funciones

Aprenderás la clasificación de las funciones matemáticas.

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Funciones inyectivas o sobreyectivas


Funciones inyectivas

Una función es inyectiva si para elementos diferentes del dominio se le asigna diferentes elementos del contradominio.

Por ejemplo, la función y = x es inyectiva, porque para un valor diferente de x la función asigna un valor diferente de y.

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Otro ejemplo de función inyectiva es: y = x^3, porque a cada valor de x, el valor de su cubo es diferente:

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Otro ejemplo de función inyectiva es: y = \sqrt{x}, porque a cada valor de x, el valor de su raíz es diferente:

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Un ejemplo de función que no es inyectiva es: y = x^2, porque y(-2) = y(2) = 4, como se muestra en la siguiente figura:

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Funciones sobreyectivas

Una función es sobreyectiva cuando a los elementos del rango les corresponde una o varios elementos del dominio.

El primer ejemplo es la función identidad, pues para cada elemento del rango, le corresponde un elemento del dominio, como se muestra a continuación:

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La función y = x^3 también es sobreyectiva, porque para cada valor k que esté en el rango, es una imagen, de otro valor que se encuentra en el dominio (que es \sqrt[3]{k}). En la siguiente figura se puede ver gráficamente este hecho:

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¿Consideras que la función y = x^2 es sobreyectiva?

Ahora consideremos un ejemplo de una función que no es sobreyectiva: y = \sqrt{x}:

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… porque los valores negativos de y, no son imágenes de algún elemento del dominio; esto es, no hay valores de x que hagan que la función devuelva valores negativos.

Otro ejemplo de una función que no es sobreyectiva es y = e^x, como se puede ver en su gráfica:

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pues los valores negativos de y, no son imágenes de algún elemento del dominio; esto es, no hay valores de x que hagan que la función devuelva valores negativos.


Funciones biyectivas

Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

De los ejemplos previos, ¿cuáles funciones son biyectivas?

Recuerda que debe ser tanto inyectiva como sobreyectiva para que sea biyectiva.

La función identidad es inyectiva y también es sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva.

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la función y = x^3 es biyectiva, porque es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

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Un ejemplo de una función que no es biyectiva es: y = e^x (¿por qué?)

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Esta función no es biyectiva porque no es sobreyectiva. Pero sí es inyectiva.

Otra función que no es biyectiva es: y = x^2,

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Esta función no es biyectiva porque no es ni inyectiva, ni sobreyectiva.


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