Clasificación de funciones

Función inversa

Sea $y = f(x)$ una función con dominio $\mathbb{X}$ y rango (contradominio) $\mathbb{Y}$ .

La función inversa de $f$ es otra función $y = g(x)$ que tiene su dominio en $\mathbb{Y}$ y su rango en $\mathbb{X}$ y además tiene la propiedad de que para todo $x_0$ que sea un elemento de $\mathbb{X}$ , $y_0 = f(x_0)$ es la imagen de $x_0$ bajo la función $f$ , entonces, $x_0 = g(y_0)$ .

La función inversa de $f$ se denota como $f^{-1}$ .

Observa que $x_0$ es un elemento del dominio de la función $f$ , mientras que $y_0$ es un elemento del rango de $f$ . Esto es obvio porque calculamos $y_0$ usando la función $f$ a partir de su definición: $y_0 = f(x_0)$ .

Pero, cuando a la función inversa $g$ le damos el valor $y_0$ (que también está en el dominio de
la función $g$ ), entonces ésta nos devuelve $x_0$ : el valor que inicialmente le dimos a $f$ .

Observa que la función inversa ( $g$ ) \dice{deshace} lo que la función directa ( $f$ )
hace a $x_0$ ; es decir, deshace la transformación que $f$ ocasiona a $x_0$ .

La función inversa de la función cuadrática es la función raíz cuadrada.

$\begin{equation*} \mbox{Si }\qquad y = f(x) = x^2\qquad\mbox{ entonces, }\qquad f^{-1}(x) = \sqrt{x} \end{equation*}$

Observa que si a $f$ le damos el valor 3, nos devuelve 9; pero si a la inversa de $f$
le damos 9, ésta nos devueve 3:

$\begin{equation*} 9 = f(3) = 3^2\qquad\mbox{ Pero, }\qquad f^{-1}(9) = \sqrt{9} = 3 \end{equation*}$

La función inversa de la función lineal es otra función lineal.

$\begin{equation*} \mbox{Si }\qquad y = f(x) = mx + b\qquad\mbox{ entonces, }\qquad f^{-1}(x) = \frac{x - b}{m} \end{equation*}$

Consideremos la función lineal: $y = f(x) = 5\,x + 1$ . \pause En este caso, $m = 5$ , $b = 1$ .

Observa que si a $f$ le damos el valor 2, nos devuelve 11; pero si a la inversa de $f$
le damos 11, ésta nos devueve 2:

$\begin{equation*} 11 = f(2) = (5)(2) + 1\qquad\mbox{ Pero, }\qquad f^{-1}(1) = \frac{11 - 1}{5} = \frac{10}{5} = 2 \end{equation*}$

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