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Clasificación de funciones

Aprenderás la clasificación de las funciones matemáticas.


Función inversa

Función inversa

Sea y = f(x) una función con dominio \mathbb{X} y rango (contradominio) \mathbb{Y}.

La función inversa de f es otra función y = g(x) que tiene su dominio en \mathbb{Y} y su rango en \mathbb{X} y además tiene la propiedad de que para todo x_0 que sea un elemento de \mathbb{X}, y_0 = f(x_0) es la imagen de x_0 bajo la función f, entonces, x_0 = g(y_0).

La función inversa de f se denota como f^{-1}.

Observa que x_0 es un elemento del dominio de la función f, mientras que y_0 es un elemento del rango de f. Esto es obvio porque calculamos y_0 usando la función f a partir de su definición: y_0 = f(x_0).

Pero, cuando a la función inversa g le damos el valor y_0 (que también está en el dominio de
la función g), entonces ésta nos devuelve x_0: el valor que inicialmente le dimos a f.

Observa que la función inversa (g) \dice{deshace} lo que la función directa (f)
hace a x_0; es decir, deshace la transformación que f ocasiona a x_0.

La función inversa de la función cuadrática es la función raíz cuadrada.

    \begin{equation*} \mbox{Si }\qquad y = f(x) = x^2\qquad\mbox{ entonces, }\qquad f^{-1}(x) = \sqrt{x} \end{equation*}

Observa que si a f le damos el valor 3, nos devuelve 9; pero si a la inversa de f
le damos 9, ésta nos devueve 3:

    \begin{equation*} 9 = f(3) = 3^2\qquad\mbox{ Pero, }\qquad f^{-1}(9) = \sqrt{9} = 3 \end{equation*}

La función inversa de la función lineal es otra función lineal.

    \begin{equation*} \mbox{Si }\qquad y = f(x) = mx + b\qquad\mbox{ entonces, }\qquad f^{-1}(x) = \frac{x - b}{m} \end{equation*}

Consideremos la función lineal: y = f(x) = 5\,x + 1. \pause En este caso, m = 5, b = 1.

Observa que si a f le damos el valor 2, nos devuelve 11; pero si a la inversa de f
le damos 11, ésta nos devueve 2:

    \begin{equation*} 11 = f(2) = (5)(2) + 1\qquad\mbox{ Pero, }\qquad f^{-1}(1) = \frac{11 - 1}{5} = \frac{10}{5} = 2 \end{equation*}

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