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Circunferencia

Aprenderás los elementos de la circunferencia.

En esta sección vamos a estudiar los conceptos básicos relacionados con el objeto geométrico llamado circunferencia.

La circunferencia muy frecuentemente se confunde con el círculo, que aunque están siempre juntos, son diferentes una figura geométrica de la otra.


Circunferencia

Es la figura geométrica formada por todos los puntos del plano que se encuentran a una distancia constante de un punto fijo llamado centro. La distancia fija se conoce como el radio de la circunferencia.

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En la figura previa, el radio es la distancia del centro de la circunferencia a cualquiera de sus puntos. Por eso, también llamamos radio al segmento de recta que va del centro a cualquiera de los puntos de la circunferencia. El centro de la circunferencia está en su centro y está denotado por la literal C.

Los elementos de la circunferencia son los siguientes:


Cuerda

Segmento de recta que tiene sus puntos extremo sobre la circunferencia.


Diámetro

Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Todo diámetro de una circunferencia es el eje de simetría de la misma. El diámetro es la mayor cuerda que se puede trazar a una circunferencia.


Arco

Parte de la circunferencia delimitada por dos puntos de la misma. Estos puntos se llaman extremos del arco.


Tangente

Recta que toca a la circunferencia en un punto solamente.


Punto de tangencia

El punto donde la recta tangente toca a la circunferencia a la cual es tangente.

Un elemento más que podemos definir, como una generalización del concepto de tangente es el de secante:


Secante

Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Algunos elementos más que frecuentemente se requieren en las discusiones geométricas son:


Semicircunferencia

Arco que abarca la mitad de la circunferencia.


Semicírculo

La mitad de un círculo.

Y estos elementos se muestran en la siguiente figura:

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Por la forma de la circunferencia es claro que todas las circunferencias son semejantes entre sí, independientemente de la medida de su radio. De este hecho se desprende que si dividimos el perímetro de la circunferencia entre su diámetro siempre obtenemos el mismo cociente. Este resultado se establece como un teorema.


Teorema

La razón de la circunferencia al diámetro es constante para todas las circunferencias.

Este teorema da origen a la siguiente definición.


\Large\pi

El número \pi es igual al cociente: Circunferencia entre diámetro de una misma circunferencia y este valor es aproximadamente igual a 3.141592654

Matemáticamente, tenemos:

    \begin{equation*}    \pi = \frac{\mbox{Circunferencia}}{\mbox{Di\'ametro}} = \frac{C}{D} \approx 3.141592654 \end{equation*}

Este número irracional es muy importante en matemáticas y frecuentemente lo aproximamos usando el valor \pi \approx 3.1416 para facilitar los cálculos. Otro concepto relacionado con el de circunferencia es el de círculo.


Círculo

Región del plano delimitada por una circunferencia.

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Es decir, la curva que delimita al círculo es una circunferencia. En otras palabras, el círculo es el área que queda encerrada por
la circunferencia. Nosotros podemos calcular el área de un círculo, pero no así para la circunferencia. Igualmente, podemos calcular el perímetro de una circunferencia, pero no así del círculo. La fórmula para calcular el área del círculo se da en el siguiente teorema.


Teorema

El área A_c del círculo de radio r es igual a:

    \begin{equation*}    A_c = \pi\,r^2 \end{equation*}


La demostración de este teorema no es difícil de dar, aunque requiere de la idea de límite, que estudiaremos hasta el curso de cálculo diferencial. De cualquier manera, enseguida se da una idea general de la demostración.

Demostración

Consideramos un polígono regular de n lados con vértices sobre la circunferencia de radio r como se muestra en la siguiente figura:

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Conforme hacemos crecer el número de lados n del polígono regular, el área del polígono se parece cada vez más al área del círculo. Nosotros podemos dividir el polígono regular de n lados en n triángulos con vértice en el centro de la circunferencia y base en cada lado del polígono.

Cuando n crece mucho la altura de cada triángulo se acerca mucho al radio de la circunferencia y la suma de todas las bases de los triángulos, que es igual al perímetro del polígono, se acerca cada vez más a la longitud de la circunferencia. El área del polígono A_p es igual a la suma de las áreas de todos los triángulos que hemos formado:

    \begin{eqnarray*} A_p &=& \frac{b_1\,h}{2} + \frac{b_2\,h}{2} + \cdots + \frac{b_n\,h}{2} \\ 	&=& \left(\frac{h}{2}\right)\cdot\left(b_1 + b_2 + \cdots + b_n\right) \end{eqnarray*}

Pero cuando n crece mucho, la suma de las bases de los triángulos se acerca cada vez más a la longitud de la circunferencia C.
Y ya sabemos que C = \pi\cdot D, donde D es la longitud del diámetro y \pi\approx 3.1416. Al sustituir:

    \begin{equation*}    b_1 + b_2 + \cdots + b_n = C \end{equation*}

en la fórmula para calcular el área del polígono regular de n lados, obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    A_p &=& \left(\displaystyle\frac{h}{2}\right)\cdot\textcolor{red}{C}\\ 	&=& \displaystyle\frac{h}{2}\cdot\textcolor{red}{2\,\pi r}\\ 	&=&  \pi h r \end{eqnarray*}

Pero ya habíamos dicho que cuando n crece mucho, la altura h de cada triángulo mide lo mismo que el radio de la circunferencia y el área del polígono es igual al área del círculo, luego:

    \begin{equation*}    A_c = \pi r^2 \end{equation*}



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