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Circunferencia que pasa por tres puntos

Aprenderás a calcular la ecuación de la circuferencia que pasa por tres puntos.

En la lección Ecuaciones de las rectas notables del triángulo calculamos el punto donde se intersectan las tres mediatrices de los lados de un triángulo. Este punto, llamado circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Observa que cualquier punto P que pertenece a la mediatriz de un segmento está a la misma distancia de los extremos del segmento sobre la cual se le construyó:

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Si dibujamos un triángulo y trazamos las mediatrices de dos de sus lados, el punto donde se intersectan está a la misma distancia de los tres vértices.

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  • El punto \tilde{C} es el punto donde se intersectan las dos mediatrices trazadas.
  • Por pertenecer a la mediatriz del lado \overline{AC} está a la misma distancia del vértice A como del vértice C. Es decir |\overline{A\tilde{C}}| = |\overline{C\tilde{C}}|.
  • De manera semejante, por pertenecer a la mediatriz del lado \overline{BC}, está a la misma distancia del vértice B como del vértice C. Matemáticamente esto se denota por: |\overline{B\tilde{C}}| = |\overline{C\tilde{C}}|.
  • Pero ya se había dicho que |\overline{A\tilde{C}}| = |\overline{C\tilde{C}}|. Entonces,

        \begin{equation*}    |\overline{A\tilde{C}}| = |\overline{B\tilde{C}}| = |\overline{C\tilde{C}}| \end{equation*}

  • Esto obliga a la mediatriz del lado \overline{AB} a pasar por el punto \tilde{C}, porque está a la misma distancia de los vértices A y B.
  • En conclusión, el punto donde se intersectan las tres mediatrices está a la misma distancia de los tres vértices.

Esto nos ayuda porque si dibujamos una circunferencia con centro en el circuncentro del triángulo, y radio igual a la distancia del circuncentro a cualquiera de los vértices del triángulo, la circunferencia pasará por los tres vértices.

El triángulo queda inscrito a la circunferencia y decimos que la circunferencia está circunscrita al triángulo. Por esta razón el punto donde se intesectan las tres mediatrices de un triángulo se llama circuncentro.

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Esto nos sugiere que para calcular la ecuación de una circunferencia circunscrita a un triángulo dados los vértices del mismo encontremos las ecuaciones de dos de sus mediatrices, después el punto donde se intersectan. Este punto será el centro de la circunferencia. Para calcular el radio podemos calcular la distancia del cincuncentro a cualquiera de los vértices del triángulo y entonces podremos calcular la ecuación de la circunferencia.

Sin embargo hay otro método más sencillo. Como la ecuación de la circunferencia en su forma general es:

    \begin{equation*}    x^2 + y^2 + D\,x + E\,y + F = 0 \end{equation*}

donde: D = - 2\,h, E = -2\,k, y F = h^2 + k^2 - r^2. Como sabemos que la circunferencia debe pasar por los tres vértices, podemos sustituir sus coordenadas en la ecuación y así obtendremos tres ecuaciones, una por cada vértice y al resolver ese sistema de ecuaciones lineales encontraremos las incógnitas, que son D, E y F. Una vez que conozcamos los valores de estas incógnitas podremos calcular los valores que nos interesan: h, k y r.

Obtención de la ecuación dados tres puntos

Supongamos que queremos calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(x_a, y_a), B(x_b, y_b) y C(x_c, y_c). Al sustituir en la ecuación de la circunferencia en su forma general obtenemos las siguientes ecuaciones:

    \begin{eqnarray*}    x_a\,D + y_a\,E + F &=& -(x_a^2 + y_a^2)\\    x_b\,D + y_b\,E + F &=& -(x_b^2 + y_b^2)\\    x_c\,D + y_c\,E + F &=& -(x_c^2 + y_c^2) \end{eqnarray*}

Al resolver este S.E.L. encontramos los valores de D, E y F. Usando las definiciones: D = - 2\,h, E = -2\,k, y F = h^2 + k^2 - r^2 podemos calcular los valores que nos interesan.


Ejemplo 1

Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: P(-2,3), Q(-2,-3) y R(6,-1).

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de cada punto en la ecuación de la circunferencia en la forma general. Así por cada punto obtendremos una ecuación.

Ecuación para el punto P:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + y^2 + D\,x + E\,y + F &=& 0\\    (-2)^2 + (3)^2 - 2\,D + 3\,E + F &=& 0\\    4 + 9 - 2\,D + 3\,E + F &=& 0\\    - 2\,D + 3\,E + F &=& -13 \end{eqnarray*}

De manera semejante obtenemos la ecuación que le corresponde a Q:

    \begin{eqnarray*}    (-2)^2 + (-3)^2 - 2\,D - 3\,E + F &=& 0\\    4 + 9 - 2\,D - 3\,E + F &=& 0\\    - 2\,D - 3\,E + F &=& -13 \end{eqnarray*}

Y finalmente para el punto R:

    \begin{eqnarray*}    (6)^2 + (-1)^2 + 6\,D - E + F &=& 0\\    36 + 7 + 6\,D - E + F &=& 0\\    6\,D - E + F &=& -37 \end{eqnarray*}

Así hemos obtenido el siguiente S.E.L.:

    \begin{eqnarray*}    - 2\,D + 3\,E + F &=& -13\\    - 2\,D - 3\,E + F &=& -13\\    6\,  D - E + F &=& -37 \end{eqnarray*}

Ahora debemos resolverlo. Vamos a utilizar el método de determinantes. Empezamos escribiendo el S.E.L. en forma matricial:

    \begin{equation*}    \left[    \begin{array}{rrr|r}    - 2 &   3 & 1 & -13\\    - 2 & - 3 & 1 & -13\\      6 & - 1 & 1 & -37    \end{array}    \right] \end{equation*}

Calculamos primero el determinante principal:

    \[\Delta_p =     \left|\begin{array}{rrr}    -2 & 3 & 1\\    -2 & -3 & 1\\    6 & -1 & 1    \end{array}\right| = 48\]

Dado que es distinto de cero, el S.E.L. tiene solución única. Ahora calculamos los determinantes auxiliares para las incógnitas del S.E.L. Determinante auxiliar para D:

    \[\Delta_D =  \left|\begin{array}{rrr} -13 & 3 & 1\\ -13 & -3 & 1\\ -37 & -1 & 1 \end{array}\right| = -144\]

Determinante auxiliar para E:

    \[\Delta_E =  \left|\begin{array}{rrr} -2 & -13 & 1\\ -2 & -13 & 1\\ 6 & -37 & 1 \end{array}\right| = 0\]

Determinante auxiliar para F:

    \[\D_F =  \left|\begin{array}{rrr} -2 & 3 & -13\\ -2 & -3 & -13\\ 6 & -1 & -37 \end{array}\right| = - 912\]

Finalmente, tenemos:

    \begin{eqnarray*} D &=& \frac{\Delta_D}{\Delta_{p}} = \frac{-144}{48} = -3\\ E &=& \frac{\Delta_E}{\Delta_{p}} = \frac{0}{48} = 0 \\ F &=& \frac{\Delta_F}{\Delta_{p}} = \frac{-912}{48} = -19 \end{eqnarray*}

Y sabiendo que D = -3 = -2\,h es fácil concluir que: h = 3/2. También, si E = 0 = -2\,k implica que k = 0.

Sabemos que F = -19 = h^2 + k^2 - r^2 = (1.5)^2 + (0)^2- r^2, de donde:

    \begin{equation*}    r^2 = 19 + \left(\displaystyle\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{85}{4}\qquad\Rightarrow\qquad r = \displaystyle\frac{\sqrt{85}}{2} \end{equation*}

Finalmente podemos calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(-2,3), Q(-2,-3) y R(6,-1):

    \begin{eqnarray*}    (x - h)^2 + (y - k)^2 &=& r^2\\    \left(x - \displaystyle\frac{3}{2}\right)^2 + y^2 &=& \displaystyle\frac{84}{4} \end{eqnarray*}

La siguiente figura muestra la situación:

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Se te queda como ejercicio escribir la ecuación de esta circunferencia en la forma general.



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