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Circunferencia que pasa por tres puntos

Aprenderás a calcular la ecuación de la circuferencia que pasa por tres puntos.



Ejemplo 2

Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: P(-4,1), Q(3,-2) y R(6,5).

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de cada punto en la ecuación de la circunferencia en la forma general para obtener el S.E.L..

Ecuación para el punto P:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + y^2 + D\,x + E\,y + F &=& 0\\    (-4)^2 + (1)^2 - 4\,D + E + F &=& 0\\    16 + 1 - 4\,D + E + F &=& 0\\    - 4\,D + E + F &=& -17 \end{eqnarray*}

Ecuación que le corresponde al punto Q:

    \begin{eqnarray*}    (3)^2 + (-2)^2 + 3\,D - 2\,E + F &=& 0\\    9 + 4 + 3\,D - 2\,E + F &=& 0\\    3\,D - 2\,E + F &=& -13 \end{eqnarray*}

Y finalmente para el punto R:

    \begin{eqnarray*}    (6)^2 + (5)^2 + 6\,D + 5\,E + F &=& 0\\    36 + 25 + 6\,D + 5\,E + F &=& 0\\    6\,D + 5\,E + F &=& -61 \end{eqnarray*}

Así hemos obtenido el siguiente S.E.L.:

    \begin{eqnarray*}    - 4\,D + E + F &=& -17\\    3\,D - 2\,E + F &=& -13\\    6\,D + 5\,E + F &=& -61 \end{eqnarray*}

Ahora debemos resolverlo. Escribimosel S.E.L. en forma matricial:

    \begin{equation*}    \left[    \begin{array}{rrr|r}    - 4 &  1 & 1 & -17\\      3 & -2 & 1 & -13\\      6 &  5 & 1 & -61    \end{array}    \right] \end{equation*}

Calculamos primero el determinante principal:

    \[\Delta_{p} =  \left|\begin{array}{rrr} -4 & 1 & 1\\ 3 & -2 & 1\\ 6 & 5 & 1 \end{array}\right| = 58\]

Dado que es distinto de cero, el S.E.L. tiene solución única. Ahora calculamos los determinantes auxiliares para las incógnitas del S.E.L.

Determinante auxiliar para D:

    \[\Delta_{D} =  \left|\begin{array}{rrr} -17 & 1 & 1\\ -13 & -2 & 1\\ 6 & 5 & 1 \end{array}\right| = -116\]

Determinante auxiliar para E:

    \[\Delta_E =  \left|\begin{array}{rrr} -4 & -17 & 1\\ 3 & -2 & 1\\ 6 & 5 & 1 \end{array}\right| = -348\]

Determinante auxiliar para F:

    \[\Delta_F =  \left|\begin{array}{rrr} -4 & 1 & -17\\ 3 & -2 & -13\\ 6 & 5 & -61 \end{array}\right| = -1\,102\]

Finalmente, tenemos:

    \begin{eqnarray*}    D &=& \frac{\Delta_D}{\Delta_{p}} = \frac{-116}{58} = -2\\    E &=& \frac{\Delta_E}{\Delta_{p}} = \frac{-348}{58} = -6 \\    F &=& \frac{\Delta_F}{\Delta_{p}} = \frac{-1102}{58} = -19 \end{eqnarray*}

Entonces, D = -2 = -2\,h implica que: h = 1. También, si E = -6 = -2\,k se sigue que k = 3. Y si F = -19 = h^2 + k^2 - r^2 = (1)^2 + (3)^2- r^2, se sigue que:

    \begin{equation*}    r^2 = 29\qquad\Rightarrow\qquad r = \sqrt{29}\approx 5.385 \end{equation*}

Finalmente podemos calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(-4,1), Q(3,-2) y R(6,5):

    \begin{eqnarray*}    (x - h)^2 + (y - k)^2 &=& r^2\\    (x - 1)^2 + (y - 3)^2 &=& 29 \end{eqnarray*}

Se te queda como ejercicio graficar la circunferencia verificando que pase por los tres puntos y escribir la ecuación en su forma general.



Ejemplo 3

Calcula la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo que tiene sus vértices en los puntos: P(-4,3), Q(2,-3) y R(6,3).

Este problema en esencia es el mismo que el que hemos resuelto en los ejemplos anterores.

Vamos a sustituir los valores de las coordenadas de cada punto en la ecuación de la circunferencia en la forma general para obtener el S.E.L.

Ecuación para el punto P:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + y^2 + D\,x + E\,y + F &=& 0\\    (-4)^2 + (3)^2 - 4\,D + 3\,E + F &=& 0\\    16 + 9 - 4\,D + 3\,E + F &=& 0\\    - 4\,D + 3\,E + F &=& -25 \end{eqnarray*}

Ecuación que le corresponde al punto Q:

    \begin{eqnarray*}    (2)^2 + (-3)^2 + 3\,D - 2\,E + F &=& 0\\    4 + 9 + 2\,D - 3\,E + F &=& 0\\    2\,D - 3\,E + F &=& -13 \end{eqnarray*}

Y finalmente para el punto R:

    \begin{eqnarray*}    (6)^2 + (3)^2 + 6\,D + 3\,E + F &=& 0\\    36 + 9 + 6\,D + 3\,E + F &=& 0\\    6\,D + 3\,E + F &=& -45 \end{eqnarray*}

Así hemos obtenido el siguiente S.E.L.:

    \begin{eqnarray*}    - 4\,D + 3\,E + F &=& -25\\    2\,D - 3\,E + F &=& -13\\    6\,D + 3\,E + F &=& -45 \end{eqnarray*}

Ahora debemos resolverlo. Escribimosel S.E.L. en forma matricial:

    \begin{equation*}    \left[    \begin{array}{rrr|r}    - 4 &  3 & 1 & -25\\      2 & -3 & 1 & -13\\      6 &  3 & 1 & -45    \end{array}    \right] \end{equation*}

Calculamos primero el determinante principal:

    \[\Delta_{p} =  \left|\begin{array}{rrr} -4 & 3 & 1\\ 2 & -3 & 1\\ 6 & 3 & 1 \end{array}\right| = 60\]

Ahora calculamos los determinantes auxiliares para las incógnitas del S.E.L. Determinante auxiliar para D:

    \[\Delta_D =  \left|\begin{array}{rrr} -25 & 3 & 1\\ -13 & -3 & 1\\ -45 & 3 & 1 \end{array}\right| = -120\]

Determinante auxiliar para E:

    \[\Delta_E =  \left|\begin{array}{rrr} -4 & -25 & 1\\ 2 & -13 & 1\\ 6 & -45 & 1 \end{array}\right| = -240\]

Determinante auxiliar para F:

    \[\Delta_F =  \left|\begin{array}{rrr} -4 & 3 & -25\\ 2 & -3 & -13\\ 6 & 3 & -45 \end{array}\right| = -1\,260\]

Finalmente, tenemos:

    \begin{eqnarray*}    D &=& \frac{\Delta_D}{\Delta_{p}} = \frac{-120}{60} = -2\\    E &=& \frac{\Delta_E}{\Delta_{p}} = \frac{-240}{60} = -4 \\    F &=& \frac{\Delta_F}{\Delta_{p}} = \frac{-1260}{60} = -21 \end{eqnarray*}

Entonces, D = -2 = -2\,h implica que: h = 1. También, si E = -4 = -2\,k se sigue que k = 2. Y si F = -21 = h^2 + k^2 - r^2 = (1)^2 + (2)^2- r^2. De donde:

    \begin{equation*}    r^2 = 26\qquad\Rightarrow\qquad r = \sqrt{26}\approx 5.099 \end{equation*}

Finalmente podemos calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos P(-4,3), Q(2,-3) y R(6,3):

    \begin{eqnarray*}    (x - h)^2 + (y - k)^2 &=& r^2\\    (x - 1)^2 + (y - 2)^2 &=& 26 \end{eqnarray*}

Se te queda como ejercicio graficar la circunferencia verificando que pase por los tres puntos y escribir la ecuación en su forma general.



Ejemplo 4

En un mapa se han localizado las escuelas E_1, E_2 y E_3 ubicadas en las coordenadas E_1(-4,-1), E_2(4,0) y E_3(2,3) medidas en kilómetros. Se planea construir un centro de apoyo escolar que esté ubicado a la misma distancia de las tres escuelas. ¿Cuáles son las coordenadas del punto donde deben ubicar el centro de apoyo escolar?, ¿y a qué distancia se encuentra de cada escuela?

Tenemos la siguiente situación gráfica:

Rendered by QuickLaTeX.com

Debemos calcular las coordenadas del punto que se encuentre a la misma distancia de las tres escuelas. Una vez que las conozcamos podremos calcular la distancia a cada escuela. Como el punto que buscamos está a la misma distancia de las escuelas podemos traducir el problema al siguiente:

Calcula las coordenadas del circuncentro del triángulo que tiene sus vértices en los puntos: E_1(-4,-1), E_2(4,0) y E_3(2,3).

El circuncentro corresponde al punto donde debemos ubicar el centro de apoyo escolar y los vértices del triángulo corresponden a las escuelas. Ahora vamos a resolver el problema usando el método de los ejemplos anteriores.

Ecuación para la escuela E_1:

    \begin{eqnarray*}    x^2 + y^2 + D\,x + E\,y + F &=& 0\\    (-4)^2 + (-1)^2 - 4\,D - E + F &=& 0\\    16 + 1 - 4\,D - E + F &=& 0\\    - 4\,D - E + F &=& -17 \end{eqnarray*}

Ecuación para la escuela E_2:

    \begin{eqnarray*}    (4)^2 + (0)^2 + 4\,D + (0)\,E + F &=& 0\\    16 + 4\,D + F &=& 0\\    4\,D + F &=& -16 \end{eqnarray*}

Y para la escuela E_3:

    \begin{eqnarray*}    (2)^2 + (3)^2 + 2\,D + 3\,E + F &=& 0\\    4 + 9 + 2\,D + 3\,E + F &=& 0\\    2\,D + 3\,E + F &=& -13 \end{eqnarray*}

Así hemos obtenido el siguiente S.E.L.:

\begin{linsys}{3}
– 4\,D &-& E &+& F &=& -17\\
4\,D & & &+& F &=& -16\\
2\,D &+& 3\,E &+& F &=& -13
\end{linsys}

Para resolverlo escribimos el S.E.L. en forma matricial:

    \begin{equation*}    \left[    \begin{array}{rrr|r}    - 4 & -1 & 1 & -17\\      4 &  0 & 1 & -16\\      2 &  3 & 1 & -13    \end{array}    \right] \end{equation*}

Calculamos primero el determinante principal:

    \[\Delta_{p} =  \left|\begin{array}{rrr} -4 & -1 & 1\\ 4 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right| = 26\]

Ahora calculamos los determinantes auxiliares para las incógnitas del S.E.L. Determinante auxiliar para D:

    \[\Delta_D =  \left|\begin{array}{rrr} -17 & -1 & 1\\ -16 & 0 & 1\\ -13 & 3 & 1 \end{array}\right| = 0\]

Determinante auxiliar para E:

    \[\Delta_E =  \left|\begin{array}{rrr} -4 & -17 & 1\\ 4 & -16 & 1\\ 2 & -13 & 1 \end{array}\right| = 26\]

Determinante auxiliar para F:

    \[\Delta_F =  \left|\begin{array}{rrr} -4 & -1 & -17\\ 4 & 0 & -16\\ 2 & 3 & -13 \end{array}\right| = -416\]

Finalmente, tenemos:

    \begin{eqnarray*}    D &=& \frac{\Delta_D}{\Delta_{p}} = \frac{0}{26} = 0\\    E &=& \frac{\Delta_E}{\Delta_{p}} = \frac{26}{26} = 1 \\    F &=& \frac{\Delta_F}{\Delta_{p}} = \frac{-416}{26} = 16 \end{eqnarray*}

Entonces, D = 0 = -2\,h implica que: h = 0. También, si E = 1 = -2\,k se sigue que k = -1/2. Y si F = 16 = h^2 + k^2 - r^2 = (0)^2 + (-0.5)^2- r^2, tenemos que:

    \begin{equation*}    r^2 = \displaystyle\frac{65}{4}\qquad\Rightarrow\qquad r = \displaystyle\frac{\sqrt{65}}{2}\approx 4.031 \end{equation*}

El punto C(h,k) donde se debe ubicar el centro de apoyo escolar para equidistar de las tres escuelas es: C(0,-0.5) La distancia a cada una de las tres escuelas es: D \approx 4.031 km.

Geométricamente se tiene la siguiente solución del problema:

Rendered by QuickLaTeX.com


Ejemplo 5

Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(x_a, m\,x_a + b), B(x_b, m\,x_b + b) y C(x_c, m\,x_c + b).

Observa que estos puntos están sobre la recta y = m\,x + b. Primero vamos a escribir el S.E.L. que obtenemos al sustituir las coordenadas de los puntos en la ecuación general:

    \begin{eqnarray*}    x_a\,D + (m\,x_a + b)\,E + F &=& -x_a^2 - (m\,x_a + b)^2\\    x_b\,D + (m\,x_b + b)\,E + F &=& -x_b^2 - (m\,x_b + b)^2\\    x_c\,D + (m\,x_c + b)\,E + F &=& -x_c^2 - (m\,x_c + b)^2 \end{eqnarray*}

Al reescribir este S.E.L. en forma matricial obtenemos:

    \[\left[    \begin{array}{ccc|c}    x_a & m\,x_a + b & 1 & -x_a^2 - (m\,x_a + b)^2\\    x_b & m\,x_b + b & 1 & -x_b^2 - (m\,x_b + b)^2\\    x_c & m\,x_c + b & 1 & -x_c^2 - (m\,x_c + b)^2    \end{array}    \right]\]

Vamos a calcular el determinante principal de este sistema de ecuaciones y veremos qué obtenemos:

    \begin{eqnarray*}    \left|    \begin{array}{ccc}    x_a & m\,x_a + b & 1\\    x_b & m\,x_b + b & 1\\    x_c & m\,x_c + b & 1    \end{array}    \right|     &=& x_a\,(m\,x_b + b) + x_b\,(m\,x_c + b) + x_c\,(m\,x_a + b) + \\    & & - x_c\,(m\,x_b + b) - x_a\,(m\,x_c + b) - x_b\,(m\,x_a + b)\\    &=& 0 \end{eqnarray*}

Ahora debemos observar que por tres puntos puede pasar a lo más una circunferencia. Por lo tanto, no es posible que tengamos un número infinito de soluciones para este caso, lo que indica que el S.E.L. no tiene soluciones. En otras palabras, no es posible trazar una circunferencia que pase por tres puntos que estén alineados.


Entonces, existe la posibilidad de que te encuentres con un problema de este tipo y los tres puntos estén alineados. En este caso, el último ejemplo nos indica que el determinante principal del S.E.L. será cero y así podremos concluir que la solución del problema consiste en la sentencia: No existe niguna circunferencia que pase por esos tres puntos, pues están alineados.

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